Un premier long
dans Arithmétique
Un nombre entier dont l'écriture décimale commence
par $47$ (à gauche) se trouve divisé par $8$ quand
on déplace le $47$ à la fin (à droite).
Quel est ce nombre ?
Ce n'est pas $47192$ car $19247$ est différent de $47192/8$
Amicalement
Cucherat
par $47$ (à gauche) se trouve divisé par $8$ quand
on déplace le $47$ à la fin (à droite).
Quel est ce nombre ?
Ce n'est pas $47192$ car $19247$ est différent de $47192/8$
Amicalement
Cucherat
Réponses
-
bonjour Cucherat,
deux méthodes "naïves" sont possibles pour trouver ton nombre n proche en proche
1°) appliquer l'algorithme de multiplication 7x8 = 56 ... donc le dernier chiffre de n est 6 , ensuite 4x8 +5 = 37 donc le chiffre précédent est 7 etc ...
2°) appliquer l'algorithme de division: comme 47 = 5x8 + 7 le chiffre de tête de n est 5 etc... ( en supposant que le chiffre de tête n'est pas 0 ... sinon un tel cas s'étudie de façon analogue)
Il est clair que si ton problème admet une solution, ces méthodes montrent qu'il en existe une infinité ... en concaténant les chiffres d'une solution et de n .
N.B. j'ai utilisé déjà une méthode analogue pour résoudre un autre problème sur ce forum
Sincèrement,
Galax -
Bonjour Galax
Ma réponse donne un nombre (je pense que c'est le plus petit)
Cordialement
Cucherat -
bonjour
59047
47*8=376
472/8=59
il suffit de placer le 0 entre 59 et 376
bonne journée -
salut Cucherat,
J'arrive avoir une minute,
on a bien
4705882352941176 = 8 x 0588235294117647 en admettant que le chiffre de tête peut être 0
Ce problème induit des questions suivantes:
Trouver des nombres entiers dont l'écriture décimale commence
par ab (à gauche) se trouve divisé par c quand
on déplace le ab à la fin (à droite).
Trouver des nombres entiers dont l'écriture décimale commence
par a (à gauche) se trouve divisé par c quand
on déplace le a à la fin (à droite).
....
Sincèrement,
Galax -
Bonsoir,
Oui Galax, c'est bien mon nombre.
C'est l'écriture de 8/17 dans un
précédent fil qui a été le point
de départ.
Soit $N=47ab...m$ le nombre initial.
On pose $x=0,47ab..m47ab..m47ab..m....$
Alors $100x=47+\frac{x}{8}$
soit $799x=47.8$ donc $x=\frac{8}{17}$
Pour trouver $N$ on calcule $\frac{8}{17}$
Le titre vient du fait que $\frac{8}{17}$ est
de période 16
Amicalement
Cucherat -
Bonsoir,
On peut aussi procéder ainsi :
On écrit $10^k\alpha+\beta=c(100\beta+\alpha)$, soit $(10^k-c)\alpha=(100c-1)\beta$.
Dans le problème posé par Cucherat, $\alpha=47$ et $c=8$ d'où $100c-1=799=47\times 17$. On en est donc à $10^k-8=17\,\beta$. Arrivé là, comme je suis flemmard, je demande à Maple
> msolve(10^k=8, 17);
et il me répond ${k = 14+16\, Z1}$. Je trouve donc la première solution comme ci-dessus
$$10^{14}\times 47+ (10^{14}-8)/17 = 4705882352941176$$
et les suivantes s'obtiennent bien par répétition.
Si on modifie légèrement le problème de Cucherat en remplaçant 8 par 7, la première solution est
470672389127324749642346208869814020028612303290414878397711015736766809\
72818311874105865522174535050071530758226037195994277539341917024320\
45779685264663805436337625178826895565092989985693848354792560801144\
492131616595135908440629
Cordialement,
MC -
Merci, Michel Coste, pour les précisions.
Amicalement
Cucherat
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Bonjour!
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