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résoudre une équation diophantienne

Envoyé par petite_soso 
petite_soso
résoudre une équation diophantienne
il y a douze années
Bonjour je cherche à résoudre l'équation :
ax+by = (a-1)(b-1) = ab-a-b

afin de montrer qu'il n'y a pas de solution dans les entiers positifs ou nuls pour a et b premiers entre eux.
Je sais que la solution existe dans Z car pgcd(a,b)=1 divise bien ab-a-b mais je n'arrive pas a démonter qu'il n'est pas positif ou nul



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a douze années et a été effectuée par AD.
Re: resoudre une equation diophantienne
il y a douze années
Rappelons que, lorsque $\mathrm{pgcd}(a,b)=1$, le nombre de solutions dans $\mathbb {N}^2$ de l'équation $ax+by = n$ vaut $\left [ \dfrac {n}{ab} \right ]$ ou bien $\left [ \dfrac {n}{ab} \right ] + 1$.

De plus, on montre que l'on est dans le second cas si $a \alpha + b \beta < ab$ où l'on a posé $\alpha, \beta$ tels que $0 \leqslant \alpha < b$, $0 \leqslant \beta < a$ et $a \alpha \equiv n \pmod b$ et $b \beta \equiv n \pmod a$.

Avec $n = (a-1)(b-1)= ab -a - b +1$ (ne pas oublier le $+1$), on a $\dfrac {n}{ab} = 1 - \dfrac {a+b-1}{ab} < 1$ pour $a,b \geqslant 1$, donc ton équation a au plus une solution. On vérifie rapidement que $\alpha = b-1$ et $\beta = a-1$ de sorte que $a \alpha + b \beta = 2ab - a - b \geqslant ab$ et donc le second cas ne peut se produire.

Il n'y a donc aucune solution à ton équation.

Borde.
petite_soso
Re: resoudre une equation diophantienne
il y a douze années
je ne connaissais pas ces formules

merci beaucoup
Re: résoudre une équation diophantienne
il y a douze années
Rebonjour Petite_Soso,

Voici une référence (à conserver) :

\lien {[citeseer.ist.psu.edu]}

Regarde en particulier la formule (2.1) qui donne le nombre {\it exact} de solutions.


Ce lien propose le preprint de Shiu qui date de 99, mais l'article est paru depuis. Voici ses références complètes :

{\bf Peter Shiu}, {\it Moment sums associated with binary linear forms}, Am Math. Mon. {\bf 113}(6) (2006), 545--550.

Borde.
tashka
ax+by = (a-1)(b-1)-1 = ab-a-b
il y a douze années
Bonjour

Je cherche a résoudre cette équation dans les entiers positifs ou nuls.
On me précise qu'elle s'écrit aussi a(b-1-x)=b(y+1)
Je n'ai aucune idée de comment faire pour la résoudre.
Pouvez-vous m'aider svp ?


[Petite-soso : Il ne faut pas ouvrir une nouvelle discussion avec un exercice que tu as déjà posé sur le forum.
Poster un message dans la discussion initiale fait remonter celle-ci en tête de liste et sera vue de nouveau par les intervenants. AD]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
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