résoudre une équation diophantienne
dans Arithmétique
Bonjour je cherche à résoudre l'équation :
Je sais que la solution existe dans Z car pgcd(a,b)=1 divise bien ab-a-b mais je n'arrive pas a démonter qu'il n'est pas positif ou nul
ax+by = (a-1)(b-1) = ab-a-b
afin de montrer qu'il n'y a pas de solution dans les entiers positifs ou nuls pour a et b premiers entre eux.Je sais que la solution existe dans Z car pgcd(a,b)=1 divise bien ab-a-b mais je n'arrive pas a démonter qu'il n'est pas positif ou nul
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Réponses
De plus, on montre que l'on est dans le second cas si $a \alpha + b \beta < ab$ où l'on a posé $\alpha, \beta$ tels que $0 \leqslant \alpha < b$, $0 \leqslant \beta < a$ et $a \alpha \equiv n \pmod b$ et $b \beta \equiv n \pmod a$.
Avec $n = (a-1)(b-1)= ab -a - b +1$ (ne pas oublier le $+1$), on a $\dfrac {n}{ab} = 1 - \dfrac {a+b-1}{ab} < 1$ pour $a,b \geqslant 1$, donc ton équation a au plus une solution. On vérifie rapidement que $\alpha = b-1$ et $\beta = a-1$ de sorte que $a \alpha + b \beta = 2ab - a - b \geqslant ab$ et donc le second cas ne peut se produire.
Il n'y a donc aucune solution à ton équation.
Borde.
merci beaucoup
Voici une référence (à conserver) :
\lien {http://citeseer.ist.psu.edu/cache/papers/cs/13765/http:zSzzSzwww.lboro.ac.ukzSzdepartmentszSzmazSzpreprintszSzpapers99zSz99-40.pdf/moment-sums-associated-with.pdf}
Regarde en particulier la formule (2.1) qui donne le nombre {\it exact} de solutions.
Ce lien propose le preprint de Shiu qui date de 99, mais l'article est paru depuis. Voici ses références complètes :
{\bf Peter Shiu}, {\it Moment sums associated with binary linear forms}, Am Math. Mon. {\bf 113}(6) (2006), 545--550.
Borde.
Je cherche a résoudre cette équation dans les entiers positifs ou nuls.
On me précise qu'elle s'écrit aussi a(b-1-x)=b(y+1)
Je n'ai aucune idée de comment faire pour la résoudre.
Pouvez-vous m'aider svp ?
[Petite-soso : Il ne faut pas ouvrir une nouvelle discussion avec un exercice que tu as déjà posé sur le forum.
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