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QDD n°9 : La question de Pâques : spécial Gauss

Envoyé par Norbert Verdier 
Norbert Verdier
QDD n°9 : La question de Pâques : spécial Gauss
il y a douze années
La « question du dimanche », 23 mars 2008 :


Ami(e)s du dimanche et des autres jours, bonjour

Nos amis de « La Chanson du Dimanche » [http://www.lachansondudimanche.com/] sont REVENUS ! A écouter sur leur site (mais moi je n’y parviens pas !) ou à l’adresse : [vids.myspace.com].

Sinon pour notre question à nous, c’est Bernard [BS] qui s’en charge. Il est en train de peaufiner. Ce sera de l’arithmétique. Patience. Amicalement et Joyeuses Pâques. Norbert.

[Titre complété à la demande des auteurs. :) AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a douze années et a été effectuée par AD.
bs
QDDn°9 (23 mars 2008) : Spécial Pâques et Gauss
il y a douze années
avatar
Bonjour à tous,

-> Lorsque j'ai rencontré l'énoncé qui suit, il y a quelques mois, j'ai pensé vous le proposer sur notre phorum5 le jour de Pâques 2008.
Entre-temps, Norbert a créé la QDD hebdomadaire ; j'ai proposé à Norbert de fusionner nos deux idées aujourd'hui...

-> L'exercice suivant, légèrement aménagé, a été proposé lors d'un concours d'entrée pour école d'ingénieurs ; vous connaitrez les références (année + école) ce soir.

La date de Pâques est un savant mixage de calendrier solaire et de calendrier lunaire: par décision du concile de Nicée (325), Pâques est le premier dimanche après la pleine lune qui suit (au sens large) l'équinoxe de printemps.

Carl-Friedrich Gauss a proposé une formule pour le calcul de cette date valable jusqu'en 2100:

Soit $M$ l'année,
$a$ est le reste de la division de $M$ par $19$,
$b$ est le reste de la division de $M$ par $4$,
$c$ est le reste de la division de $M$ par $7$,
$d$ est le reste de la division de $19a+24$ par $30$,
$e$ est le reste de la division de $2b+4c+6d+5$ par $7$,

si $d+e \leq 9$ , Pâques est le $(22+d+e)$ième jour de Mars,
si $d+e > 9$ , Pâques est le $(d+e-9)$ième jour d'Avril.

Questions:
1) Vérifier si cette formule est exacte cette année ?
2) La dernière fois où la formule était fausse, c'était en 1981: pourquoi ?
3) La prochaine fois où la formule sera fausse, ce sera en 2049: pourquoi ?
4) Pouvez-vous expliquer cet algorithme de Gauss à l'aide de congruences ?

[ j'ai ajouté (2),(3),(4), mais je ne connais pas la réponse de (4) ]

Joyeuses Pâques.
Re: QDDn°9 (23 mars 2008) : Spécial Pâques et Gauss [tous]
il y a douze années
avatar
Bonjour, bs.

Sur Gooooooogle, j'ai trouvé ceci:

Date de Pâques

Les erreurs seraient-elles dues à l'excentricité et la non-uniformité du mouvement de la Lune autour de la Terre? De ce fait, la durée d'une lunaison n'est pas constante. La moyenne est de 29,53... jours.

Là, je n'ai pas envie de refaire les calculs gaussiens.
Je m'étais intéressé à ces questions en 1999, je crois, puisqu'il y eut, cette année là un mois sans pleine lune (c'est assez exceptionnel).

Allez, bonnes fêtes!
[attachment 8628 Pques.jpg]
bs
Re: QDD n°9 : La question de Pâques
il y a douze années
avatar
Rebonjour Jacquot,

-> merci pour ton lien dont la formule magique ressemble étrangement à celle figurant dans la QDD.

-> voici un autre lien avec une autre formule concernant Pâques: [lwh.free.fr]

-> Le problème avait été proposé à l'École Spéciale des Travaux Publics du Bâtiment et de l'Industrie, en 1977.
On demandait alors de calculer la date de Pâques pour 1977 et 2000.

Amicalement.
Re: QDD n°9 : La question de Pâques
il y a douze années
avatar
Chers Bernard et Norbert,

Le problème de la date de Pâques et du mois sans Lune sont connexes, semble-t-il. En tous cas, ils ont ceci de commun qu'on y trouve ce cycle de 19 ans:

C'est bien en 1999 qu'il y a eu un mois sans pleine lune. Le prochain sera en 2018 puis en 2037.

Ce cycle de 19 ans est la durée nécessaire pour que la pleine lune retombe aux mêmes dates:
365,25 x 19 = 235 x 29,53 à peu de choses près, ce qui signifie que 19 ans font 235 lunaisons.
Après, pour la date de Pâques, faut encore voir quel est le jour de la semaine.

Voici un autre lien vers les lunaisons sur un site d'astro de mes favoris:
Phases lunaires
On pourra y chercher les mois sans (pleine) lune dans le calendrier dynamique (3).

@+
jacquot
bs
Re: QDD n°9 : La question de Pâques
il y a douze années
avatar
Cher Jacquot,

Remerci pour ces précisions.
Rappel de la formule:

Soit $M$ l'année,
-> $a$ est le reste de la division de $M$ par $19$; pourquoi 19 ?...car "le cycle de 19 ans est la durée nécessaire pour que la pleine lune retombe aux mêmes dates" (message précédent de Jacquot)
-> $b$ est le reste de la division de $M$ par $4$; pourquoi 4 ?....because années bissextiles ?
-> $c$ est le reste de la division de $M$ par $7$; pourquoi 7 ?... c'est le nombre de jours dans une semaine ?...

En attendant...
Re: QDD n°9 : La question de Pâques
il y a douze années
avatar
bonsoir, je tiens à faire remarquer l'intérêt de tout ceci en rapport avec les horloges astronomiques telles qu'il en existait dans certaines de nos cathédrales, lesquelles horloges étaient censées prédire la date de Pâques (voir Strasbourg et Beauvais par exemple...)
Re: QDD n°9 : La question de Pâques
il y a douze années
Bonsoir,
Quelques idées en regardant les formules... A la louche donc...

d doit donner le nombre de jours qui s'écoulent après le 21 mars pour qu'arrive la pleine lune... La lune d'une année sur l'autre avance de 11 jours (car 12 lunaisons = 12*29,5 = 354 jours)... ou 12 les années bissextiles... argh... Si elle a lieu à un jour j une année, la pleine lune arrive au jour j-11 l'année suivante...
e doit donner le nombre de jours pour arriver au dimanche qui suit...

a est à 1 près le nombre d'or de l'année considérée (on trouve 13 et le nombre d'or de 2008 est 14... voir le mois de février du calendrier des postes). On est dans la quatorzième année du cycle de Méton...

On utilisait aussi autrefois la lettre dominicale. En associant depuis le 1er janvier à chaque jour une lettre A B C D E F G A B C D E F G, la lettre dominicale est la lettre qui correspond à tous les dimanches de l'année: elle était par exemple égale à G en 2007 (voir le mois de février du calendrier des postes). Sans les années bissextiles, on a un cycle de 7 ans... mais de 28 ans avec... d'où les congruences de b et c... Sans doute que le calcul de e permet de préciser autour de ces idées la place des dimanches...

Bon je ne vois pas plus, il est tard, je vais me coucher!

Cordialement,

Christian V
Norbert Verdier
Re: QDD n°9 : La question de Pâques
il y a douze années
Che[è]r[e]s ami[e]s;

En ce lundi de Pâques, une question me brûle les lèvres [chocolatées comme il se doit] : où Gauss a-t-il publié ces travaux ? Sur ce bonne journée. Amicalement. Norbert.
Norbert Verdier
Re: QDD n°9 : La question de Pâques
il y a douze années
Ma "Bible" [les "Catalogue of scientific papers"] répond à ma question : Carl avait 23 ans quand il publie en 1800 sa "Berechnung des Osterfestes" [Zach. Monat. Corresp. II, 1800, pp. 121-130]. Deux plus tard, il publie en sa "Berechnung des Jüdischen Osterfestes [Zach. Monat. Corresp. II, 1802, pp. 435-437]. Il faudrait aller ensuite voir dans le corps de ces textes, semble-t-ils jamais publiés en français. Tant de gestes restent à faire. Sinon je signale le site allemand : [home.nikocity.de]

relatif à notre sujet. Amicalement. Norbert.
Norbert Verdier
Re: QDD n°9 : La question de Pâques
il y a douze années
Pour accéder au texte source : [webdoc.sub.gwdg.de]

Ensuite, il n'y a plus qu'à traduire. Amicalement. Norbert.
Re: QDD n°9 : La question de Pâques
il y a douze années
Bonjour,

Convenons d'appeler nombre d'or de l'année le reste dans la division de son millésime par 19: le nombre d'or est compris entre 0 et 18. En réalité, il faut ajouter 1 pour retrouver le nombre d'or de notre calendrier des postes (qui figure en bas du mois de février... le mois le moins rempli qui laisse le plus de place pour ce genre d'information).
Comme dit plus haut, le nombre d'or est donc le rang de l'année dans un cycle lunaire de 19 ans, au bout duquel les lunaisons reviennent à la même date (cycle de Méton, mis en évidence dans la Grèce Antique).

Par conséquent, une année de nombre d’or 0, comme 1957, mon année de naissance (noter que ma carcasse se fait un peu vieille ces derniers temps!), il faut attendre 24 jours après le 21 mars pour voir la pleine lune… J’ai vérifié sur un calendrier des postes de cette année-là : la pleine lune arrive le 14 avril, soit 24 jours après le 21 mars (j'ai compté 1 à partir du 22).
L’année suivante, donc de nombre d’or 1, cette pleine lune surviendra 11 jours plus tôt donc on n’attendra plus que 24 – 1*11 = 13 jours après le 21 mars.
L’année d’après, nombre d’or 2, on n’attendra plus que 24 – 2*11 = 2 jours.
L’année d’après, nombre d’or 3, la pleine lune aura lieu 9 jours avant le 21 mars (car 24 – 3*11 = -9), donc c'est la pleine lune suivante qui nous intéresse pour Pâques: elle aura lieu – 9 + 30 = 21 jours après le 21 mars (la lune de mars dure 30 jours).
Et ainsi de suite…
D’où la formule générale, pour une année de nombre d’or N :
mod(24-N*11,30) = mod(24+19N,30)
… qui est celle qui est donnée dans d…

Je confirme bien que cette formule donne le nombre de jours qu’il faut attendre depuis le 21 mars pour voir arriver la pleine lune ! Ouf...

C'est la première partie de la définition de la date de Pâque: il reste à repérer le dimanche qui suit... c'est sans doute le terme qui suit...

Amicalement,

Christian



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a douze années et a été effectuée par Christian Vassard.
Norbert Verdier
Re: QDD n°9 : La question de Pâques
il y a douze années
Les apports de Gauss sur ses "Berechnung" sont largement discutés ici :

[www.geocities.com]

Amicalement. N

PS : Merci Chrsitian pour ces éclaircissements.
bs
Re: QDD n°9 : La question de Pâques
il y a douze années
avatar
Bonjour,

:) merci Christian, merci Norbert pour vos précisions et liens.

... et en pièce jointe, les commentaires rédigés par M.Dourakine dans Fastes de Mathématiques (Collection Dia-Belin) , relatifs à notre problème de Pâques.
[attachment 8633 PquesGauss.pdf]

Amicalement.
Re: QDD n°9 : La question de Pâques
il y a douze années
Re!

Mille excuses anticipées, pour ne pas avoir su utiliser Latex... Suite et fin de mon aventure pascale... Il vaut mieux régler ceci maintenant: après, Pâques sera quelque peu éventée...

Adoptons la correspondance lundi 0, mardi 1, etc., dimanche 6 et cherchons une formule donnant le jour de la semaine du 21 mars. En repartant de 1957, on constate que le 21 mars était un mercredi (2) ; en 1958, c’était un jeudi (3) ; en 1959, un vendredi (4) mais en 1960 un dimanche (6)… à cause du jour supplémentaire de l’année bissextile.
On peut alors vérifier que la formule suivante donne bien le jours de la semaine que tombe le 21 mars de l’année de millésime N :

mod(N+int(N/4),7).

Au moment d’une année bissextile, la partie entière de N/4 augmente de 1 et permet d’incorporer le décalage observé précédemment. On retrouve par exemple le fait qu’en 2007, le 21 mars est tombé un mercredi car :

mod(2007+int(2007/4),7)=2.

Ceux qui ont un calendrier des postes sous la main pourront le confirmer! ;)


Peut-on simplifier un peu cette formule ? Qui n'est pas très compliquée mais qui demande une division par 4... Les propriétés des congruences, découvertes par Gauss dans son célèbre traité Disquisitiones arithmeticae, viennent à notre secours (au passage l’inverse de 4 dans Z/7Z est 2). L'ami Gauss a dû s'en donner à coeur joie avec son bel et nouveau outil:

mod(N+int(N/4),7) = mod(N,7)+mod(int(N/4,7) = mod(N,7) + mod(1/4*(N-mod(N,4)),7)
= mod(N,7) + mod(2(N-mod(N,4)),7)
= mod(N,7) + mod(2N-2mod(N,4)),7)
= mod(N,7) + mod(2N,7)-mod(2mod(N,4)),7)
= 3*mod(N,7)- 2mod(mod(N,4)),7)

Nous voici donc avec le jour du 21 mars...

À ceci, il faut rajouter le nombre de jours d (calcul justifié plus haut) qui s’écoulent entre le 21 mars et la pleine lune pascale, nombre de jours compté modulo 7 aussi, pour avoir le jour de la semaine de la pleine lune pascale. On arrive à :


3*mod(N,7)- 2mod(mod(N,4)),7) + mod(d,7)



Si l’on trouve par exemple comme résultat 2 (un mercredi), on sait qu’il manque 6-2 = 4 jours pour arriver au dimanche suivant. Il faut donc rajouter 4 jours à la pleine lune pascale pour avoir la date de Pâques : c’est la variable e de notre formule.
Plus généralement, le nombre de jours e à rajouter à la pleine lune pascale pour arriver au dimanche de Pâques est :

6 - 3*mod(N,7) + 2mod(mod(N,4)),7) - mod(d,7) = 6 +4*mod(N,7) + 2mod(mod(N,4)),7) + 6 mod(d,7)

On joue sur les congruences modulo 7 pour ne faire que des additions... et on retrouve la formule proposée par Gauss...

Je trouve un 6, au lieu d'un 5, car je décompte les jours à partir du 21 mars, tandis qu’ils sont donnés à partir du 22 mars dans la formule proposée ici. Mais cela revient bien sûr au même.

Ouf!! Merci de m'avoir lu!

Amicalement,

Christian

PS: c'est sans doute l'occasion de faire de la pub des excellents "La sage des calendriers" de Jean Lefort et du petit que sais-je Les calendriers...
Il valent vraiment la peine d'être lus, leurs auteurs sont d'une clarté remarquable sur un sujet qui sans précaution peut vite devenir difficile...



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a douze années et a été effectuée par Christian Vassard.
bs
Re: QDD n°9 : La question de Pâques
il y a douze années
avatar
Bonjour,

Merci Christian d'avoir autant déblayé le terrain ;)

Rapelons que de 1900 à 2099 incluses, la formule de Gauss n'est seulement fausse que quatre années: 1954, 1981, 2049 et 2046. 2100 n'étant pas bissextile, la formule doit alors être modifiée pour le prochain siècle.

Bonne journée.
Re: QDD n°9 : La question de Pâques : spécial Gauss
il y a douze années
avatar
Et forcément Gauss s'est trompé pour mon année de naissance...Pour le punir je n'apprendrai pas l'allemand !:D
Cynthia
Re: QDD n°9 : La question de Pâques
il y a onze années
La méthode de Gauss ne fontionne pas pour l'année 2000 non pus.
bs
Re: QDD n°9 : La question de Pâques : spécial Gauss
il y a neuf années
avatar
Bonjour,

En ce dimanche de Pâques, la QDD n°9 a droit à un petit tour de yoyo ;)

Amicalement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été effectuée par bs.
Re: QDD n°9 : La question de Pâques : spécial Gauss
il y a neuf années
Merci de ce petit coup de yoyo, bs! Déjà 2 ans!
J'ai vu réapparaître aussi le passionnant problème des nombres brésiliens, que je n'avais pas vu passer en son temps. Dès que possible, j'achète Quadrature...
:)
Bon week-end de Paques,
Christian
bs
Re: QDD n°9 : La question de Pâques : spécial Gauss
il y a six années
avatar
Bonjour,

Pour les bizuths du forum ;) remontons cette QDD gaussienne en ce dimanche de Pâques.

Amicalement.
Re: QDD n°9 : La question de Pâques : spécial Gauss
il y a six années
avatar
La date de Pâques est la seule survivance de l'influence de la Lune dans notre calendrier, qui est par ailleurs exclusivement solaire, ce qui est une bonne chose car l'agriculture, qui était jusqu'à il y a peu l'activité fondamentale, et qui l'est encore par bien des côtés, a besoin d'un calendrier dans lequel les rythmes naturels se traduisent par des dates fixes, et c'est bien le Soleil qui produit ces rythmes. Un calendrier lunaire est impropre à toute activité humaine.

Le Concile de Nicée en 325 a décidé que Pâques est le premier dimanche suivant (strictement) la première pleine lune qui se produit à l'équinoxe de printemps ou juste après, laquelle est dénommée pleine lune pascale.

Une sage disposition de ce Concile est de déterminer Pâques non d'après des phénomènes astronomiques effectifs, mais d'après leur fixation conventionnelle décidée une fois pour toutes en approchant au mieux les phénomènes réels. Képler a dit : "Pâques est une fête et non une planète". Ainsi, pour l'équinoxe de printemps, on prend le 21 mars, et pour la pleine lune, on définit une fois pour toutes un calendrier périodique des lunaisons. C'est pourquoi l'on peut calculer la date de Pâques en n'importe quelle année, pourvu que les mêmes règles s'appliquent encore. A contrario, des fêtes chômées qui sont sensées s'appuyer sur la nécessaire observation du phénomène astronomique par un croyant conduisent à une incertitude peu propice à l'activité économique ...

Si la pleine lune tombe le 21 mars, c'est la pleine lune pascale, et si c'est un samedi, Pâques sera le dimanche 22 mars. Si je ne me trompe, ceci s'est produit pour la dernière fois en 1818 et ne se reproduira plus d'ici 2199, et après, je ne sais, il faut que je regarde.
Si la pleine lune tombe le 20 mars, la pleine lune pascale est la suivante, 29 jours après, le 18 avril, et si c'est un dimanche, il faudra attendre le dimanche suivant, le 25 avril. Si je ne me trompe, ceci s'est produit pour la dernière fois en 1943 et se reproduira en 2038, j'aurai 93 ans, c'est jouable.
Telles sont les dates limites de la fête de Pâques.

Notre calendrier est issu du calendrier julien, édicté par Jules César soi-même : c'est certainement le plus ancien objet de notre environnement, un témoin sans pareil de nos racines culturelles, jusque dans les noms des mois et des jours de la semaine. Il a subi une réforme de détail en 1582, par le pape Grégoire XIII, c'est pourquoi notre calendrier est dénommé calendrier grégorien. Le calendrier julien stricto sensu est encore utilisé par l'église orthodoxe et d'autres églises autocéphales, d'où la différence de date pour les fêtes, fixes comme mobiles.

Le calcul de la date de Pâques et de la correspondance entre date et jour de la semaine se fait au moyen des éléments du comput ecclésiastique, que l'on trouve encore (Dieu merci) en petits caractères sous le mois de février du calendrier des PTT (qui ne se dénomme plus ainsi, mais bon). Ce sont la Lettre Dominicale, le Nombre d'Or et l'Epacte (le Cycle Solaire et l'Indiction sont là à titre purement traditionnel).

Gauss a donné un procédé de calcul, valable de 1900 à 2099, généralement correct, mais qui ne tient pas compte de deux cas particuliers pour l'Epacte, d'où quelques années où elle est fausse.

Il y a beaucoup d'autres choses dans le fil précédent, et je pourrais développer le présent propos, mais je préfère m'en tenir là.

Sources : Roger Cuculière, Les mathématiques du calendrier, Pour la Science, juin 1986.
Le calendrier perpétuel du Petit Archimède, octobre 1979.

Joyeuses Pâques.
RC
31/03/2013
[attachment 27854 CalendrierPTT.pdf]



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par Raymond Cordier.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Calendrier PTT.pdf (893.7 KB)
Re: QDD n°9 : La question de Pâques : spécial Gauss
il y a six années
Bonjour,
En pj en trois morceaux, l'article de Gauss trouvé un jour sur la toile.
Cordialement.
[attachment 27856 GaussPaques1.pdf]
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - GaussPaques1.pdf (1.85 MB)
Re: QDD n°9 : La question de Pâques : spécial Gauss
il y a six années
2ème partie de l'article de Gauss.
[attachment 27857 GaussPaques2.pdf]
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - GaussPaques2.pdf (1.74 MB)
Re: QDD n°9 : La question de Pâques : spécial Gauss
il y a six années
3ème partie de l'article de Gauss.
[attachment 27858 GaussPaques3.pdf]
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - GaussPaques3.pdf (1.77 MB)
Re: QDD n°9 : La question de Pâques : spécial Gauss
il y a six années
Par curiosité, de quelle Pâques s'agit-il, comme il y a une grande étoile de David, en haut du tombeau de Gauss, voir là.
[denise.vella.chemla.free.fr]

Cordialement.
Re: QDD n°9 : La question de Pâques : spécial Gauss
il y a six années
avatar
Bravo pour ces documents. D'après le titre, il s'agit de la date de Pâques des calendriers julien et grégorien, que bizarrement l'auteur orthographie sans "s" final, c'était peut-être ainsi à l'époque ? Il me semble que Gauss a aussi conçu un calcul de la date de la Pâque juive. Par contre j'ignore s'il était de cette confession et pour tout dire, je ne m'étais jamais posé la question.
Bonne soirée.
RC
Re: QDD n°9 : La question de Pâques : spécial Gauss
il y a six années
Bonsoir,
Ravie des remerciements.
J'avais relevé dans l'annexe 6 du document joint des différences orthographiques entre l'orthographe de Gauss dans les Recherches arithmétiques et l'actuelle orthographe.
A défaut de comprendre les raffinements mathématiques d'un tel volume...
Pour ma part, je ne me suis posée cette question de la religion qu'en voyant la photo du tombeau sur la toile, suite à la lecture de l'article suivant du site Images des mathématiques, qui présente la promenade d'un mathématicien à Göttingen.
[images.math.cnrs.fr]
Voyager en restant chez soi, un émerveillement !
Cordialement.
[attachment 27861 orthoGauss2.pdf]



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par denise chemla.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - orthoGauss2.pdf (581.4 KB)
bs
Re: QDD n°9 : La question de Pâques : spécial Gauss
il y a six années
avatar
Bonjour,

Merci Denise et Raymond pour ces nouveaux documents relatifs à ce fil.

Amicalement.
bonjour, pouvez vous m'aider j'ai appliqué la formule pour l'année 2014 et je trouve que Paques serait le 15 avril et ca sera le 20 comment se fait il me suis je trompé sur les calculs Merci de répondre rapidement
Re: QDD n°9 : La question de Pâques : spécial Gauss
il y a cinq années
Tu revérifies tes calculs:

2014 = 106*19 + 0 donc a=0
2014 = 503*4 + 2 donc b=2
2014 = 287*7 + 5 donc c=5

19 * 0 + 24 = 24 = 0*30 + 24 donc d=24
2*2 + 4*5 +6*24 + 5 = 4+20+144+5 = 173 = 24*7 + 5 donc e=5

si 24 + 5 <= 9: c'est le 22+24+5 mars (non)
sinon: c'est le 24+5-9 = 20 avril = date correcte
Je n'arrive pas à trouver le calcul exact pour trouver les dates de Pâques de 2010, 2011 et 2012 avec le calcul de Gauss.
Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait. Merci.

[Carl Friedrich Gauss (1777-1855) prend toujours une majuscule. AD]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: QDDn°9 (23 mars 2008) : Spécial Pâques et Gauss
il y a cinq années
Comment fonctionne le calcul de Gauss de la date de Pâques ?

Soit $a$ le millésime, soit $c=\left\lfloor \frac{a}{100}\right\rfloor$ (début de millésime).
Par exemple pour l'année 2014, on a : $a=2014$, $c=20$.
Pour les 100 années qui ont le même début de millésime $c$, de $a=100c$ à $a=100c+99$, on définit les constantes $A=15+c-\left\lfloor \frac{c}{4}\right\rfloor -\left\lfloor \frac{c}{3}\right\rfloor $ et $B=4+c-\left\lfloor \frac{c}{4}\right\rfloor $. Veine : elles n'ont pas changé en 2000, et restent à : $A=24$ et $B=5$ pour les années de 1900 à 2099.

Alors, le calcul est le suivant.

On divise $a$ par $19$, soit $r_1$ le reste.
On divise $a$ par $4$, soit $r_2$ le reste.
On divise $a$ par $7$, soit $r_3$ le reste.
On divise $19r_1+A$ par $30$, soit $r_4$ le reste.
On divise $2r_2+4r_3+6r_4+B$ par $7$, soit $r_5$ le reste.

Alors la date de Pâques est : $22+r_4+r_5$ mars si ce nombre est inférieur ou égal à 31, ou bien : $r_4+r_5-9$ avril sinon.

Pour l'année 2014, il vient : $r_1=0$, $r_2=2$, $r_3=5$, $r_4=24$, $r_5=5$, $r_4+r_5-9=20$, et Pâques est bien le 20 avril.
Vous appliquerez sans mal cet algorithme aux autres années. Donnez-nous vos résultats.

Cette méthode est fausse pour certaines très rares années, notamment : $1954$, $1981$, $2049$, $2076$.
Par exemple pour l'année 2049, il vient : $r_1=16$, $r_2=1$, $r_3=5$, $r_4=28$, $r_5=6$, d'où la date $r_4+r_5-9=25$ avril, alors que Pâques tombera cette année-là le 18 avril. Comment le savoir ? Voir par exemple le calendrier perpétuel du Petit Archimède :


Attention, il y a aussi une faute d'impression dans ce calendrier, signalée sur le site
[www.lepetitarchimede.fr]



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Rouletabille.
Re: QDDn°9 (23 mars 2008) : Spécial Pâques et Gauss
il y a cinq années
La date de Pâques peut se calculer avec les éléments du comput ecclésiastique, qui sont des éléments caractérisant une année : lettre dominicale, nombre d'or, Epacte. Ils sont généralement portés sur les calendriers sous le mois de février, où il y a la place. Du moins pour le calendrier des PTT, qui se dénomme aujourd'hui l'almanach du facteur.






Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Rouletabille.
Re: QDDn°9 (23 mars 2008) : Spécial Pâques et Gauss
il y a cinq années
Dans le cadre de mes deux précédents messages, et en complément du message de Raymond Cordier du 31 mars 2013 (voir plus haut), je précise les éléments du comput ecclésiastique.

$\bullet $ La Letttre Dominicale d'une année s'obtient en affectant la lettre $A$ au premier janvier, et $B$ au 2 janvier, et ainsi de suite jusqu'à $G$ au 7 janvier, et ensuite on revient à $A$, etc., période de 7. La lettre dominicale de l'année est la lettre des dimanches. Sur le calendrier envoyé avec mon précédent message, vous voyez pourquoi la lettre dominicale de 2014 est $E$.
Une année bissextile a deux lettres dominicales consécutives dans l'ordre alphabétique inverse : pour 2016 ce sera $CB$ ; la première de ces deux lettres est celle des les dimanches de janvier et février et le seconde est celle des dimanches des mois suivants.
Si vous connaissez la lettre dominicale d'une année, vous connaissez donc le jour de la semaine de tous les jours de cette année.
Les lettres dominicales des années successives se suivent dans l'ordre alphabétique inverse : $E$ pour 2014, $D$ pour 2015, $CB$ pour 2016, $A$ pour 2017, $G$ pour 2018, $F$ pour 2019, etc.

$\bullet $ Le Nombre d'Or d'une année est son rang dans le cycle de Méton, un astronome de l'Antiquité qui avait remarqué que les lunaisons reviennent à peu près périodiquement tous les 19 ans. Les années sont numérotées successivement 1, 2, ..., 19, et ensuite on revient à 1. Le Nombre d'Or $n$ de l'année de millésime $a$ est donc le reste de la division de $a$ par $19$, augmenté de 1.

$\bullet $ L' Épacte d'une année est l'âge de la Lune au 1er janvier, c'est-à-dire le nombre de jours écoulés depuis la précédente Nouvelle Lune, égale à 0 si cette Nouvelle Lune se produit au 1er janvier, à 1 si cette Nouvelle Lune se produit au 31 décembre précédent, etc. C'est un entier compris entre 0 et 29.
Grosso modo, l'Épacte augmente de 11 tous les ans, ce qui représente l'excédent de l'année solaire sur l"année lunaire, et elle est censée suivre le cycle de Méton, et s'il en était toujours ainsi, l'Épacte serait le reste de $1+11(n-1)$ par 30, où $n$ est le Nombre d'Or. Ce calcul convient au calendrier julien, mais la réforme grégorienne de 1582 a introduit des termes correctifs (proemptose et métemptose), ce qui complique la formule.

La réforme grégorienne de 1582 ayant édicté un calendrier perpétuel des lunaisons, l'Épacte permet de déterminer la Pleine Lune Pascale, c'est-à-dire celle qui se produit au 21 mars ou juste après. La Lettre Dominicale permet alors de déterminer le jour de la semaine de cette Pleine Lune Pascale, et l'on en déduit la date de Pâques qui est le premier dimanche suivant (strictement) cette Pleine Lune Pascale.
............................................
06/05/2014



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Rouletabille.
Re: QDDn°9 (23 mars 2008) : Spécial Pâques et Gauss
il y a cinq années
Au cas où cela intéresserait quelqu'un, voici un programme Turbo-Pascal qui donne les éléments du comput ecclésiastique, et par suite la date de Pâques, pour une année donnée, julienne ou grégorienne.
Pour la petite histoire, ce programme donne l'Epacte 3 pour 2009, or mon calendrier des PTT de cette année-là donne 4. Pris d'un doute, j'ai fait une recherche sur Internet et dans une doc papier, et ... c'est bien 3. Ouf ! A qui se fier, mon Dieu ?
(*****************************************************************)
(****************    COMPUT ECCLESIASTIQUE     *******************)
(*****************************************************************

(*****************************************************************
(***************      R. C., 17 janvier 1991        **************)
(*****************************************************************)
(***********      Programme Turbo-Pascal 5.5        **************)
(*****************************************************************)

PROGRAM COMPUT;

USES Crt;

VAR   a,c,u,n,cy,i,biss,L,k,e,r,p:integer;
      sty,ex :char;
      LD,mois:string[5];

BEGIN

   ClrScr;

(********************  Entree des donnees  ************************)

   write('       ANNEE  :  ');readln(a);

   repeat
      write('Calendrier julien ou grégorien ? (j/g) : ');readln(sty);
   until (sty='j')or(sty='g'); {sty : style de calendrier, julien ou grégorien}

   writeln;

(************************  Traitement  ****************************)

   c:=a div 100;u:=a mod 100;
   n:=a mod 19;                {       n+1 : NOMBRE D'OR       }
   cy:=((a+8) mod 28)+1;       {        cy : CYCLE SOLAIRE     }
   i:=((a+2) mod 15)+1;        {      i : INDICTIO ROMANA      }
   biss:=0;                     {         année normale         }
   ex:=' ';                    {         Epacte normale        }

   if sty ='j' then
     begin
       L:=6*c+u+(u div 4)+4;   { L :code numérique de la lettre dominicale }
         if a mod 4=0 then biss:=1;    { année bissextile   }
         k:=8;                 { terme correctif de l'Epacte }
     end;

   if sty='g' then
      begin
          L:=5*c+(c div 4)+u+(u div 4 )+6;
          if ((u<>0)and(u mod 4=0)) or(a mod 400=0) then biss:=1;
          k:=((8*c+13)div 25)+(c div 4)+338-c  ;
      end;                   {     idem pour L,biss,k     }

   L:=L mod 7 ;
   LD:=copy('AGFEDCBA',L+2-biss,biss+1);    {  LD :  LETTRE(S) DOMINICALE(S)  }

   e:=(11*n+k)mod 30;            {               e : EPACTE                 }
      if e<=23 then r:=23-e;     {          r : retard de la Pleine Lune    }
      if e=24 then r:=28;        {           pascale sur le 21 mars        }
      if e=25 then if n+1<=11 then r:=28
            else begin ex:='*';r:=27 end;   {  Epacte exceptionnelle 25*  }
      if e>=26 then r:=53-e;

   p:=22+r+((38-L-r) mod 7);mois :='MARS';   {  p : DATE DE PAQUES EN MARS  }
       if p>31 then  begin p:=p-31; mois:='AVRIL' end;

(*******************  Edition des resultats  **********************)

   write('         ANNEE  ',a,' (CALENDRIER  ');
   if sty='j' then writeln ('JULIEN)')  else writeln ('GREGORIEN)');
   writeln;
   write('ANNEE ');
   if biss=0 then writeln('NORMALE')  else writeln('BISSEXTILE');
   writeln ('LETTRE DOMINICALE : ',LD);
   writeln('CYCLE SOLAIRE : ',cy);
   writeln('NOMBRE D`OR : ',n+1);
   writeln('INDICTIO ROMANA : ',i);
   writeln ('EPACTE : ',e,ex);
   writeln ;
   writeln('DATE DE PAQUES : ',p,'  ',mois);
   writeln ;
   writeln('(Code numérique de la Lettre Dominicale : L = ',L);
   writeln ('Retard de la Pleine Lune pascale sur le 21 mars : R = ',r,')'); { ... pour mémoire  }
  
   writeln;

   readln  

 END.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Rouletabille.
Re: QDD n°9 : La question de Pâques : spécial Gauss
il y a cinq années
Bonjour Rouletabille,
Vraiment intéressantes tes explications.
Je me suis fait un petit exercice, j'ai transposé ton code en C.
Je n'ai jamais développé en Pascal, mais j'ai pas eu de soucis.
Après correction des fautes de frappe, j'ai pu vérifier de Pâques était bien le 20 avril cette année.
Bien-sûr, si le code C t'intéresse, je le mettrai en copie ou en lien.
Re: QDDn°9 (23 mars 2008) : Spécial Pâques et Gauss
il y a cinq années
Bien content que cela ait intéressé quelqu'un.
Malheureusement, je n'ai pas appris d'autres langages que ce vieux Turbo Pascal. Je veux bien le voir en C par curiosité.
Il faudrait le traduire en Python pour les taupins de notre époque.
Noter qu'il faut supprimer la variable rep, survivance d'une autre rédaction. Je l'ai fait.
Re: QDD n°9 : La question de Pâques : spécial Gauss
il y a cinq années
Volontairement j'ai conservé le pascal, paragraphe par paragraphe.
J'ai mis le Pascal en commentaire (/* ... */) et j'ai mis ma transpo en-dessous. Le but est de bien montrer que ce n'est qu'une question de syntaxe et que la différence de langage n'est pas énorme.
[www.dlzlogic.com]
D'ailleurs, j'ai volontairement fait un traduction (presque) à l'identique.
Par contre, sauf pour 2014 où j'ai vérifié que mon facteur ne s'était pas trompé dans les différentes valeurs sur son almanach, je n'ai pas fait d'autres tests.
Bonne lecture.
Re: QDDn°9 (23 mars 2008) : Spécial Pâques et Gauss
il y a cinq années
Bravo, on attend Python smiling smiley ...

Pour la vérification, on peut utiliser le Calendrier perpétuel du Petit Archimède cité plus haut. Le tableau J donne la Lettre Dominicale et le tableau R donne le retard de la Pleine Lune pascale sur le 21 mars. Je rappelle qu'il y a une faute d'impression : il faut changer en 18 le 28 donné pour l'année 2001.

Ce calendrier perpétuel ne donne pas l'Epacte, mais voici un tableau qui la donne :



Ce tableau est extrait de l'Annuaire du Bureau des Longitudes pour l'année 1965.
Voici encore un tableau de même origine, pour la date de Pâques :



Cette publication donnait de la sorte plusieurs formules et tableaux relatifs au calendrier, j'ignore si c'est toujours le cas, et si l'on peut trouver ceci sur Internet. Le papier a encore du bon.
Re: QDDn°9 (23 mars 2008) : Spécial Pâques et Gauss
il y a cinq années
avatar
@Rouletabille : les élèves de prépa ECE et ECS ont encore le Pascal à leur programme !
Re: QDDn°9 (23 mars 2008) : Spécial Pâques et Gauss
il y a cinq années
Tien, ce serait intéressant de faire transposer le code (pascal ou c) en Python, par des élèves.
Ça remplacerait assez bien les versions latines qu'on nous faisait faire avant que l'informatique n'existe.
La démarche intellectuelle est à peu près la même, on a un texte écrit dans un langage qu'on connait mal ou pas du tout et on doit le traduire dans un langage qu'on est censé connaitre.
La première étape serait l'analyse (écriture de l'algorithme), puis l'écriture d'un code bon.
Re: QDD n°9 : La question de Pâques : spécial Gauss
il y a cinq années
avatar
Pour calculer la date de Pâques, le pascal s'impose. winking smiley

Ah oui, pour la petite histoire, un programme capable de calculer la date de Pâques est installé de base sur la grande majorité des systèmes Unix/Linux

ncal -e 2014
20 avril 2014



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par aléa.
Re: QDD n°9 : La question de Pâques : spécial Gauss
il y a cinq années
Bonjour Aléa,
Tu as raison : à rajouter dans les blagues mathématiques.
Re: QDDn°9 (23 mars 2008) : Spécial Pâques et Gauss
il y a cinq années
Encore un mot sur l'année en cours 2014, Epacte 29.

D'après le tableau du calendrier perpétuel du Petit Archimède, ou d'après le programme ci-dessus, ou d'après d'autres sources, le retard de la Pleine Lune pascale sur l'équinoxe de printemps du 21 mars est : $R=24$ pour cette année 2014. Cela signifie que cette Pleine Lune se produit le 21+24=45 mars, autrement dit le 14 avril. Ce 14 avril est un lundi, et Pâques est donc le dimanche suivant, le 20 avril.

Bon, mais si vous regardez le calendrier ex-PTT que j'ai communiqué précédemment, vous voyez que d'abord le printemps cette année n'est pas le 21 mars mais le 20 mars. Et la pleine lune suivante n'est pas le 14 avril mais le 15 avril. Notez, cela ne change pas la date de Pâques, mais cela aurait pu la changer.

Il faut bien comprendre que le comput fonctionne avec un calendrier perpétuel des lunaisons établi lors de la réforme grégorienne en 1582, conçu par Aloysius Lilius et édicté par le pape Grégoire XIII. Il s'agit de lunaisons conventionnelles définies une fois pour toutes, l'Annuaire du Bureau des Longitudes que j'ai cité en donne le tableau perpétuel.

Le calendrier de ces lunaisons est fait pour approcher au mieux les phénomènes astronomiques réels, et pour cette année 2014, on observe seulement une "erreur" d'un jour. Pas mal pour une construction vieille de plus que quatre siècles ! Mais il est fait surtout pour que la date de Pâques soit calculable et prévisible n'importe quelle année, pourvu que les mêmes règles demeurent en vigueur, ce qui convient au mieux à l'activité économique et sociale.

Un calendrier qui fixerait ses fêtes chômées sur l'observation (réelle ou supposée) d'un phénomène astronomique par un témoin "digne de foi" serait peut-être bon pour des croyants endoctrinés, mais il serait incapable de régir l'activité économique de toute une société laborieuse. C'est sans doute la raison pour laquelle le calendrier grégorien s'est imposé dans le monde entier.
Re: QDDn°9 (23 mars 2008) : Spécial Pâques et Gauss
il y a cinq années
Bonsoir Rouletabille.

Ton dernier paragraphe m'a fait sourire, car de nombreux pays fixent certaines fêtes chômées "sur l'observation (réelle ou supposée) d'un phénomène astronomique par un témoin "digne de foi" ". Et certains sont des pays où le PNB par habitant est plus élévé qu'en France (Qatar, Brunei).

Le calendrier grégorien ne s'est pas imposé partout, non plus. Va voir en extrême orient (chine, ..) ou au moyen orient (Israel, égypte, ...)

Cordialement.
Re: QDDn°9 (23 mars 2008) : Spécial Pâques et Gauss
il y a cinq années
avatar
@Rouletabille: incorrigible...
Citation
Rouletabille
Un calendrier qui fixerait ses fêtes chômées sur l'observation (réelle ou supposée) d'un phénomène astronomique par un témoin "digne de foi" serait peut-être bon pour des croyants endoctrinés, mais il serait incapable de régir l'activité économique de toute une société laborieuse.

Pourrais-tu développer l'argument ?
ev
Re: QDDn°9 (23 mars 2008) : Spécial Pâques et Gauss
il y a cinq années
avatar
Je développe un peu :

La république d'Irlande - pays à 95% catholique dont la constitution, écrite par ce bigot de De Valera, commence par "in the name of the holy trinity" - a décidé que la pentecôte tomberait le premier lundi de juin pour éviter le bordel des jours chômés qui se baladent de façon erratique comme dans ce pays laïque, la France.

e.v.
Re: QDD n°9 : La question de Pâques : spécial Gauss
il y a cinq années
Effectivement, les fêtes comme Mardi-Gras, la Pentecôte, l'Ascension, se déduisent de la date de Pâques et sont donc mobiles, ce qui peut sembler faire désordre. Il en est de même pour la variabilité de la correspondance entre date et jour de la semaine d'une année à l'autre, ce qui a pour conséquence que les fêtes fixes aussi sont en quelque sorte mobiles, par coïncidence ou non avec un dimanche et ponts ou pas-ponts, etc.

Cette question avait attiré l'attention avant guerre, et des commissions de parlements nationaux, et même de la SDN avaient étudié des projets de stabilisation du calendrier, comme par exemple un "calendrier universel" de 364=7 x 52 jours, avec un "jour blanc" plus un second jour blanc tous les quatre ans, et fixation de Pâques, et ainsi le calendrier serait identique tous les ans. Plus besoin de nos petits calculs, nous devrions trouver d'autres passe-temps winking smiley ...

Malgré son apparente commodité, ce système de "jours blancs" est à rejeter parce qu'il rompt le cours immémorial de la semaine qui structure notre vie et qui est indispensable aux chronologistes. C'est sans doute pourquoi il n'a pas été retenu, et le calendrier grégorien continue, bon an mal an, sur toute la Terre.

L'important est comme j'ai dit que les variations du calendrier soient facilement prévisibles pour toujours - sous réserve que s'appliquent les mêmes règles - contrairement à cette stupide nécessité d'observer un phénomène astronomique pour décider du début de l'année ou même d'un mois ! D'ailleurs cette "observation" est plus fictive que réelle et ne trompe personne ... Dans ce système, vous pouvez vous endormir le soir sans savoir s'il faudra aller au boulot demain, alors que nous, nous pouvons prévoir les dates de toutes nos fêtes pour toute la vie.

Qatar et Brunei n'ont pas le monopole de ce ridicule, puisque notre propre "calendrier républicain" faisait commencer l'année à l'équinoxe d'automne dûment observé (peut-être par un croyant en la déesse Vertu ...). Avec sa pléthore de jours blancs ("sans-culottides" !), sa décade substituée à la semaine pour faire bosser en plus le pauv'monde, et ses jours aux dénominations extravagantes, il a la palme du grotesque. Je n'en sauverais que les noms des mois, aux puissantes sonorités poétiques. Cela n'a pas réussi à leur concepteur, Fabre d'Eglantine, fini raccourci comme les autres.

Ô Corse à cheveux plats ! que ta France était belle
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