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Olympiades de maths

Envoyé par randi 
Olympiades de maths
il y a onze années
Salut,
Je bute sur cet exercice d'olympiade:

La période du développement décimal de 1/97 étant de longeur 96, déterminer ses 3 derniers chiffres.

J'avoue ne pas avoir la moindre idée, de l'aide serait appréciée!

Merci d'avance,
bibe
Re: Olympiades de maths
il y a onze années
On peut essayer de poser la division en "remontant".
Le dernier reste doit être égal à 1 (celui du 96ème chiffre après le virgule), et le dividende correspondant finit par 0.
Je ne sais pas si ce que je dis est très compréhensible et très rigoureux mathématiquement.
Re: Olympiades de maths
il y a onze années
J'avoue que je ne comprends pas trop ce que tu veux dire par poser en remontant?
bs
Re: Olympiades de maths
il y a onze années
avatar
Bonsoir,

Soit N cette période de 96 chiffres, alors:
N x 97 = 99.....999 ( avec 96 fois le chiffre 9),
le premier chiffre de N est 0, et,
le dernier chiffre de N est 7, à toi de trouver les autres qui sont demandés...

97 est un nombre premier long, c'est le neuvième: [fr.wikipedia.org]

Année et référence de cet exercice, merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a onze années et a été effectuée par bs.
Re: Olympiades de maths
il y a onze années
En supposant que la suite des décimales est périodique dès la première décimale: soit N l'entier constitué des 96 premières décimales de x=1/97 , il est facile de voir que:
$$x=\frac{N}{10^{96}-1}$$
d'où $97N=-1+10^{96}$ et donc $97N\equiv -1 \pmod{10^{96}}$
un coup de Bezout et (sauf erreur de calcul) $N\equiv -433 \equiv 567 \pmod{10^3}$
Re: Olympiades de maths
il y a onze années
avatar
A supprimer



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a onze années et a été effectuée par Cucherat.
Re: Olympiades de maths
il y a onze années
avatar
Pour rebondir sur le message de bs, j'aimerais savoir si les nombres premiers longs en base 10 sont en nombre infini.
bs
Re: Olympiades de maths
il y a onze années
avatar
Sylvain, Artin te répond: [pagesperso-orange.fr] ;)
Maintenant, si tu pouvais me dire où trouver la démonstration et/ou l'existence de cette constante d'Artin, mille mercis.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a onze années et a été effectuée par bs.
bibe
Re: Olympiades de maths
il y a onze années
Cet exercice est tombé aux olympiades de quatrième cette année, donc hier, au moins dans l'académie de Versailles. Ils seront sûrement disponibles bientôt sur le site [euler.ac-versailles.fr]
Pour revenir à la solution que j'ai essayé d'exposer, quand on pose la division, le dernier reste avant que le motif ne recommence est 1. Le dividende correspondant finit par 0, donc la dernière division euclidienne est de la forme xx0= 1 + 97 * x, où les x sont des chiffres, soit, xx9 = 97 *x. On recherche dans la table de 7 un nombre qui finit par 9 et on retrouve le 7 de 567: on a donc 680 = 1 + 97*7. On continue pour retrouver les autres chiffres. C'est une solution acccessible (très difficilement) au niveau quatrième

Pour revenir à ce qu'a dit Cucherat, c'est ce que certains élèves ont vu.
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