Factoriel et récurrence

Bonsoir

Voici un exercice tiré d'un livre que les membres de se forum mon conseillé, (que je remercie au passage même si je dors en moyenne une a 2 heurs de moins qu'avant )

Démontrer par récurrence l'inégalité suivante (2n)! < 2²ⁿ (n!)² , n un entier positif.

Donc pour n = 1 c'est bon, je suppose l'inégalité vrai pour n et j'écris l'inégalité pour n+1 : (2(n+1))!=(2n)!(2n+1)(2n+2) < 2²⁽ⁿ⁺¹⁾ ((n+1)!)² = 2²ⁿ (n!)² 2² (n+1)².
Seulement le problème c'est que (2n+1)(2n+2) > 2² (n+1)², ce qui ne m'avance pas vraiment. En consultant la solution du livre il est dit de multiplier l'inégalité par cette autre inégalité (2n+1) < 2² (n+1)². Ce qui nous donne (2n+1)!=(2n)!(2n+1)< 2 ²⁽ⁿ⁺¹⁾ ((n+1)!)² qui là est juste.
Bref (2n)! s'écrit (2n+1)! pour n+1 et non (2(n+1))! , contrairement au 2²ⁿ qui lui s'écrit 2²ⁿ⁺².
Et c'est cela que je ne comprends pas.

Merci pour ceux qui auront la patience de m'aider.

[En français, induction se dit récurrence. AD]