entier naturel et inconnue

mike21 · September 2008

bonjour,

Voila j'ai 2 problemes su lequel je bloque

I- Trouvez tous les entiers naturels tels que

Citation:
xyz= 4 ( x+y+z ) avec 0 < x ≤ y ≤ z

II - Etude de l’équation d’inconnue a

Citation:
a²+9 = 5ⁿ

où « a » appartient à N (différent de 0), n appartient a N, n≥2

1.En raisonnant modulo 3, montrez que l’équation est impossible si n est impair.
2.on pose n=2p, démontrez qu’il existe un unique entier naturel a tel que a²+9 est une puissance entière de 5.

Je suis en pleine chute libre
merci de m'aider

Pour le 1 j'ai pu remarquer que si x,y et z sont plus grands que 4 l'égalité est impossible.
Pour le 2, j'ai essayer les valeurs possibles pour a² modulo 3, et pour 5^n mais sans succes

ryo. · September 2008

Pour le 2), passant modulo $3$, l'équation devient $a^2=2^n$, or $2^n=(-1)^n$ donc vaut $1$ si $n$ est pair, $-1$ sinon.
Mais $-1$ n'étant pas un carré modulo $3$ (ou plus simplement, l'équation $a^2=-1$ est impossible dans $\Z/3\Z$), on a forcément $n$ pair

Pour le 1) grace à ta remarque, tu vas pouvoir conclure en testant les cas

ryo. · September 2008

Si j'ai bien compris, il faut prouver qu'il existe un unique couple d'entiers naturels $(a,p)$ tels que $a^2+9=5^{2p}$ pour la 2)2. ?

Alors $(a,p)=(1,1)$ convient et l'unicité se règle en passant modulo $5$ et en utilisant le fait qu'on veut des solutions positives.

ryo. · September 2008

Excuse moi, ce n'est pas $(1,1)$ la solution mais $(4,1)$

jacquot · September 2008

Salut Mike,

Je ne suis pas un spécialiste de l'arithmétique.

Il me semble que ta remarque concernant le 1 est un bon début.
Sûrement le nombre de cas à envisager est restreint. Peut-être peut-on le justifier par une considératiion géométrique: les solutions sont à chercher sur l'intersection d'un hyperboloïde (?) avec un plan. Ne s'agirait-il pas d'un cercle? J'ai peut-être dit une connerie, un géomètre pourra me corriger.

Partant de là on peut faire une étude systématique. les triplets solution seront permutables. On pourra donc prendre x le plus petit des 3 nombres...

Ainsi, j'ai trouvé une première classe de 6 solutions modulo leurs permutations.
Les as-tu aussi? Y en a-t-il d'autres?
en

Richard André-Jeannin · September 2008

a²+9=5^(2n) peut s'écrire: (5^n-a)(5^n+a)=9. Comme a>=1, on a:
5^n+a=9 et 5^n-a=1, ce qui entraîne par addition: 5^n=5, donc n=1 et a=4.

jacquot · October 2008

Bonjour Mike & co

jacquot a écrit:

...l'intersection d'un hyperboloïde (?) avec un plan. Ne s'agirait-il pas d'un cercle? J'ai peut-être dit une connerie...

C'en était au moins une!

Mais je voudrais préciser cette idée:
Notons P le produit xyz et prenons cette grandeur comme paramètre.
Pour un produit P donné, les solutions sont alors à rechercher sur l'intersection de la surface xyz =P (que j'ai peut-être appelée à tort hyperboloïde) avec le plan x+y+z=4P.

Cette intersection sera une courbe dont la forme se rapprochera d'autant plus d'un triangle que P sera grand, because les plans asymptotes xyz=P.
C'est ce que tu constatais qd tu affirmais que x, y et z ne peuvent pas être tous trois plus grands que 4.

Je donne ci-dessous une illustration en 2D.
9953

Richard André-Jeannin · October 2008

xyz=4(x+y+z) avec 0<=x<=y<=z.

4(x+y+z)<=12z
Si 4<=x<=y, on a xyz>=16z et l'égalité est impossible.
Il reste à examiner les cas x=1, x=2 et x=3.

z(xy-4)=4(x+y), donc xy>4.
De plus y(xy-4)<=z(xy-4)=4(x+y),
Donc y(xy-4)-4(x+y)<=0.
Ceci est une inéquation du second degré en y:
x*y²-8y-4x<=0
Les racines de x*y²-8y-4x=0 sont:
a<0 et b=(4+2*racine(4+x²))/x
On en déduit que y<=b.

Si x= 1, on a b=8,4 et y<=8
Comme xy>4, on peut avoir 5<=y<=8.
Les solutions (x,y,z) sont (1,5,24), (1,6,14) et (1,8,9).

Si x=2, on a b=4,8 et on peut avoir y=3 ou y=4.
Les solutions (x,y,z) sont (2,3,10) et (2,4,6)

Si x=3,on a b=3,7 et y=3 serait la seule valeur possible mais elle conduit à z=4,8, non entier.

entier naturel et inconnue

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