Par sommation partielle, on a :
$$\sum_{p \leqslant x} p = x \pi(x) - \int_{2}^{x} \pi(t) \mathrm{d}t.$$
Ainsi, toute estimation sur $\pi(t)$ entraînera une estimation pour la somme $\sum_{p \leqslant x} p$.
{\bf Exemple}. Si $x \geqslant 17$ (minoration), alors on a :
$$\frac{x}{\log x} \leqslant \pi(x) < 1,26 \frac{x}{\log x}.$$
Ainsi, on a pour $x \geqslant 2$ :
$$\sum_{p \leqslant x} p \leqslant \frac{1,26 x^2}{\log x}$$
et pour $x \geqslant 17$ :
$$\sum_{p \leqslant x} p \geqslant \frac{x^2}{\log x} - 1,26 \int_{2}^{x} \frac{t \mathrm{d}t}{\log t}.$$
Par IPP on doit pouvoir montrer par exemple que, pour $x \geqslant 17$, on a :
$$\int_{2}^{x} \frac{t \mathrm{d}t}{\log t} < \frac{x^2}{2} \left ( \frac{1}{\log x} + \frac{1}{\log^2 x} \right )$$
de sorte que pour $x \geqslant 17$, on a :
$$\sum_{p \leqslant x} p \geqslant \frac{0,37x^2}{\log x} - \frac{0,63x^2}{\log^2 x} \geqslant \frac{0,2x^2}{\log x}$$
la dernière inégalité étant valide pour $x \geqslant 41$.
Plus généralement, on a pour $\alpha > -1$ :
$$\sum_{p \leqslant x} p^{\alpha} = \frac{x^{\alpha+1}}{(\alpha+1) \log x} + O \left ( \frac{x^{\alpha+1}}{\log^2x} \right ).$$
Borde.
