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Théorème de Tchebychev

Envoyé par Elsa 
Elsa
Théorème de Tchebychev
il y a douze années
Bonjour à tous,
on peut montrer à l'aide du théorème des nombres premiers que
$$
\sum_{p\leq z}p\sim\dfrac{z^2}{2\log z}.
$$
Peut-on obtenir des inégalités du genre
$$
\dfrac{C_1z^2}{\log z}\leq\sum_{p\leq z}p\leq\dfrac{C_2z^2}{\log z}
$$
à l'aide du théorème de Tchebychev et si oui, avec quelles constantes $C_1$ et $C_2$ ?

Merci beaucoup à tous pour vos réponses et bonne journée.

Elsa
Re: Théorème de Tchebychev
il y a douze années
Par sommation partielle, on a :

$$\sum_{p \leqslant x} p = x \pi(x) - \int_{2}^{x} \pi(t) \mathrm{d}t.$$

Ainsi, toute estimation sur $\pi(t)$ entraînera une estimation pour la somme $\sum_{p \leqslant x} p$.

{\bf Exemple}. Si $x \geqslant 17$ (minoration), alors on a :

$$\frac{x}{\log x} \leqslant \pi(x) < 1,26 \frac{x}{\log x}.$$

Ainsi, on a pour $x \geqslant 2$ :

$$\sum_{p \leqslant x} p \leqslant \frac{1,26 x^2}{\log x}$$

et pour $x \geqslant 17$ :

$$\sum_{p \leqslant x} p \geqslant \frac{x^2}{\log x} - 1,26 \int_{2}^{x} \frac{t \mathrm{d}t}{\log t}.$$

Par IPP on doit pouvoir montrer par exemple que, pour $x \geqslant 17$, on a :

$$\int_{2}^{x} \frac{t \mathrm{d}t}{\log t} < \frac{x^2}{2} \left ( \frac{1}{\log x} + \frac{1}{\log^2 x} \right )$$

de sorte que pour $x \geqslant 17$, on a :

$$\sum_{p \leqslant x} p \geqslant \frac{0,37x^2}{\log x} - \frac{0,63x^2}{\log^2 x} \geqslant \frac{0,2x^2}{\log x}$$

la dernière inégalité étant valide pour $x \geqslant 41$.

Plus généralement, on a pour $\alpha > -1$ :

$$\sum_{p \leqslant x} p^{\alpha} = \frac{x^{\alpha+1}}{(\alpha+1) \log x} + O \left ( \frac{x^{\alpha+1}}{\log^2x} \right ).$$


Borde.
Elsa
Re: Théorème de Tchebychev
il y a douze années
Wahouu, merci Borde !!!!
C'est bien plus que ce que j'espérais.
Bonne fin de journée

Elsa
Re: Théorème de Tchebychev
il y a douze années
De rien, Elsa.

Il faut surtout bien retenir qu'à partir du TNP et/ou des estimations obtenues par Tchebichef, puis par Rosser \& Schoenfeld (comme celles que j'ai utilisées ici), tu peux obtenir des estimations de sommes se rapportant à $\pi(x)$ par sommation d'Abel (ou sommation partielle ou sommation par parties), de la même manière qu'une IPP permet d'obtenir des estimations pour des intégrales.


Borde.
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