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Ensemble Diophantien

Envoyé par TigerFou 
Ensemble Diophantien
il y a onze années
avatar
Bonjour,

Je rencontre un simple problème de définition. Comme je suis (très) étranger à l'arithmétique, je ne sais même pas dans quel ouvrage la trouver (ie si vous avez une référence plutôt qu'une réponse, je suis preneur).

J'ai rencontré les deux définitions suivantes, qui me semblent carrément différentes :

$D\subset \mathbb N^p$ est \emph{diophantien} $\Longleftrightarrow
\forall a\in D,\quad \exists x_1,...,x_n \in \mathbb N :\quad
P(a,x_1,...,x_n)=0$

Jusque là, pas de surprise. Si ce n'est que la notation $P(a,x_1,...,x_n) $ m'est étrangère :
les $a$ sont-ils les coefficients du polynôme (on aurait aucune information sur les degrés) ou le contraire ?

genre $P\in\mathbb Z[X_1,...,X_n]$ avec $P(a_1,..., a_p,X_1,...,X_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^na_iX_i^{c_i}$

ou bien $P\in\mathbb Z[X_1,...,X_n]$ avec $P(a_1,..., a_p,X_1,...,X_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^nc_iX_i^{a_i}$

Merci d'avance pour votre aide

Cordialement,
Johann
Re: Ensemble Diophantien
il y a onze années
Bonjour TigerFou,

Je pense que la page de PlanetMath ci-dessous, si tu ne l'as pas déjà consultée, devrait t'aider :

[planetmath.org]


Borde.
Re: Ensemble Diophantien
il y a onze années
avatar
Ah ouais j'avais compris complètement de travers !

Merci pour le lien, il a l'air bien détaillé... je ne connaissait pas ce site.

Cordialement,
Johann
Re: Ensemble Diophantien
il y a onze années
Citation


$D\subset \mathbb N^p$ est {\bf diophantien} $\Longleftrightarrow \forall a\in D,\quad \exists x_1,...,x_n \in \mathbb N :\quad P(a,x_1,...,x_n)=0$

Jusque là, pas de surprise.

Bin, si quand-même:

C'est $D\subset \mathbb N^p$ est {\bf diophantien} si et seulement si, il existe un entier $n$ et un polynôme $P$ à $n+p$ variables tel que pour tout $a\in \N ^p$:

($a\in D\Longleftrightarrow \exists (x_1,...,x_n) \in \Z ^n: P(a_1,...,a_p,x_1,...,x_n)=0$)
Re: Ensemble Diophantien
il y a onze années
avatar
Oui merci pour la correction Christophe, j'ai vu ça en suivant le lien de Borde...

En fait j'avais lu une définition très ambigüe dans un document trouvé sur le net et je ne la comprenais pas du tout (on peut même dire qu'elle était fausse en fait).
Comme quoi il faut bien se documenter quand on sort de ce qu'on connait, même la définition de Wikipédia était plus claire...

Cordialement,
Johann



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