nième nombre premier

Au hasard : le $n$-ième nombre premier est $p_n$ ?

Le rang d’un nombre premier ?

nombre premier : 2 3 5 7 11 ...
rang : 1er 2ème 3ème 4ème 5ème ...

A ce propos, qui connaitrait un pdf vers la plus simplissime de chez simplissime preuve du TNP, sans trop de prérequis??

D'accord.

PS : ton lien ne marche pas : erreur 404.
[Recommence. AD]

Ces démonstrations sont tout à fait classiques et se trouvent dans {\bf tous} les ouvrages de TAN. $\theta(x) := \sum_{p \leqslant x} \log p$ désigne la première fonction de Tchebichef.

Borde.

Je reposte la preuve la plus courte (je crois) de D.J Newman:

http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Chauvenet/Zagier.pdf

Merci pour ces liens, et merci Egoroff pour le latex $\vartheta$, j'ai corrigé directement...

Bonjour,

Christophe, on peut démontrer l'existence de $c$, et même lui donner une valeur.

1/ Si $d_n$ est le ppcm des $n$ premiers entiers, alors $\pi(n)\geqslant\ln(d_n)/\ln(n)$. En effet, si $d_n=\prod p^{\alpha_p}$, alors $\alpha_p\leqslant\ln(n)/\ln(p)$, donc $\ln(d_n)\leqslant \sum_{p\le n}\ln n = \pi(n)\ln n$ (car tous les facteurs premiers de $d_n$ sont $\leqslant n$.

2/ On a $d_{2n+1}\geqslant 4^n$. Pour ça on peut considérer $I_n=\int_0^1x^n(1-x)^n{\rm d}x$. Vu que $x(1-x)\leqslant 1/4$ pour $x\in[0,1]$, on a $I_n\leqslant 1/4^n$. D'autre part,
\[I_n=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k\binom{n}{k}}{n+k+1}.\]
Mais $d_{2n+1}$ est multiple de $n+k+1$ pour $k\in[0,n]$, donc $d_nI_n\in\Z$. Comme $d_nI_n>0$, on a $d_nI_n\geqslant1$, d'où la majoration recherchée.

3/ Vu que $d_{2n+2}=d_{2n+1}$ et vue la minoration précédente, $\ln(d_n)\geqslant\left[\frac{n-1}2]\ln 4\geqslant (n+1)\ln 2$, d'où
\[\pi(n) \geqslant \frac{n+1}{\ln n}\ln 2.\]

Si quelqu'un a une idée de l'endroit d'où sort ce truc, je suis intéressé. Je l'avais noté dans un coin, mais je n'ai pas noté la source :-(.

A c'est gigantesque: 2 preuves accessibles en terminale établissant que:

il existe des nombres positifs réels $0<a<b$ et un nombre $M$ tel que pour $x\in \R$ avec $x>M$

le nombre de nombres premiers compris entre 0 et $x$ est compris entre $a \frac{x}{ln(x)}$ et $b \frac{x}{ln(x)}$

A priori à l'heure actuelle, ne sont pas connues de preuves simples du TNP...

Merci pour ces preuves!!!

N' y aurait-il pas un argument simple et court, pas une preuve valable, mais simplement une "idée" vague qui le rendrait le TNP intuitif???

Je pense à un argument, par exemple, où on se fiche que les séries formelles ne convergent pas, etc... où on se contente d'identifications formelles symboliques??

{\it Il va falloir que je me décide un jour à l'acheter, ce livre d'O. Bordellès}

C'est une bonne idée, ça ! -D


Borde.

*

Voici par contre un axiome qui peut être utilisé à volonté, et qui serait peut-être utile dans ces sujets d'arithmétique. Habituellement, ces axiomes servent à autre chose et il n'y a pas de communication, c'est dommage. Attention, il est incompatble avec l'axiome du choix, mais accepté et sécurisé par les grands cardinaux

Soit $T$ l'ensemble des parties finies de $\N$ et $U$ l'ensemble des suites d'éléments d'un ensemble fini $F$.

Soit $f$ une application de $T$ dans $U$.

Alors il existe une suite $S$ de couples $(v_n;A_n)\in U\times T$ et un entier $p$ telle que:

Les ensembles $A_n$ partitionnent l'ensemble des entiers $>p$

Pour tout entier $n$ et toute partie $B\subseteq A_n$, pour tout entier $q<min(B)$:

$f(B)(q)=v_n(q)$


En général, en choisissant bien $f$, la $S$ obtenue rigidifie plein de phénomènes de convergence de manière naturelle et "facile" à établir. C'est une généralisation du Ramsey prouvable.

On peut par exemple à essayer avec $f$ qui à $A$ associe la fonction caractéristique de l'ensemble des premiers qui divisent au moins un élément de $A$.

Exact, Bernard, je n'ai pas cherché à obtenir les meilleures constantes possibles, car il faut le recours à l'analyse complexe et à des estimations fines du nombre de zéros non triviaux de $\zeta$.

En revanche, je suis assez surpris par ton $b = \log 4$ sachant que la meilleure constante valide pour tout $x > 0$ est de $1,25506$, obtenue en 1962 par Rosser \& Schoenfeld en utilisant les méthodes que je viens d'indiquer. Ainsi, plusieurs scénarii sont possibles pour cette valeur de $\log 4$ :

(i) Ou bien il y a un terme d'erreur, du genre :

$$\pi(x) \leqslant \frac{x \log 4}{\log x} + O \left ( \log x \right ).$$

(ii) Ou bien l'estimation est vraie pour des valeurs de $x$ assez grandes.

Peux-tu nous en dire plus ?

Merci,


Pour BadWolf,

Je poursuis le message de qg77.

La méthode que tu cites a été introduite par Mohan Nair en 1982 et peut être généralisée de la manière suivante, sachant que tout repose sur l'égalité $d_n = e^{\Psi(n)}$ avec $d_n = \mathrm{ppcm}(1,\dotsc,n)$ et $\Psi(x) = \sum_{n \leqslant x} \Lambda(n)$ est la seconde fonction de Tchebichef :

(i) Si $P_n \in \mathbb{Z}[X]$ est un polynôme de degré $\leqslant n - 1$, alors on a :

$$d_n \int_{0}^{1} P_n(x) \mathrm{d}x \in \mathbb{Z}.$$

(ii) Si $\int_{0}^{1} P_n(x) \mathrm{d}x > 0$, alors on en déduit que :

$$\Psi(n) \geqslant \log \left ( \frac{1}{\int_{0}^{1} P_n(x) \mathrm{d}x} \right ).$$

Nair a choisi un polynôme de la famille des $P(x) = x^k(1-x)^k$ ce qui entraîne une estimation du type $\displaystyle{\liminf_{x \rightarrow \infty} \frac{\Psi(x)}{x} \geqslant \log 2}$. On peut obtenir un peu mieux par d'autres choix de polynômes, mais il est connu que tout polynôme en une variable positif ou nul sur $[0,1]$ ne permet pas d'atteindre la minoration $\displaystyle{\liminf_{x \rightarrow \infty} \frac{\Psi(x)}{x} > 0,9}$.

{\bf Référence}. {\bf H.G. Diamond}, {\it Elementary methods in the study of the distribution of prime numbers}, Bull. Amer. Math. Soc. {\bf 7} (1982), 553--589.


Borde.

OK, c'est bien ce que je pensais, il s'agit d'une estimation asymptotique (assez faible, d'ailleurs, car on ne donne pas la dépendance en $\varepsilon$ de l'entier $N=N(\varepsilon)$, et on ne fournit pas non plus la valeur des $\varepsilon$ en terme de fonctions de $n$). J'ai voulu éviter de mettre de telles estimations dans mon livre, leur préférant des inégalités effectives, quitte à perdre sur les constantes ($5/2$ n'est pas optimale). La méthode de Nair s'est alors imposée naturellement.

{\it Le record de Rosser & Schoenfeld tient toujours}

Il sera difficile de faire mieux.


Borde.

Leg,

Je ne suis pas sûr de comprendre ta question. Je vais tenter une réponse, mais peut-être ne sera-t-elle pas satisfaisante pour toi :
\begin{enumerate}
\item D'un point de vue historique, Tchebichef avait déjà obtenu, au milieu du XIXème siècle, deux constantes $0 < c_1 \leqslant 1 \leqslant c_2$ et un nombre réel $x_0$ tels que :
$$\frac{c_1 x}{\log x} \leqslant \pi(x) \leqslant \frac{c_2 x}{\log x}$$
pour tout réel $x \geqslant x_0$. Il a paru donc naturel aux chercheurs qui lui ont succédé de voir si l'on pouvait améliorer $c_1,c_2$ et/ou $x_0$, voire d'arriver à un résultat optimal en terme de ces constantes.

\item On s'est aperçu que ce problème, en apparence anodin, était hautement non trivial. Les chercheurs US Rosser \& Schoenfeld ont finalement abouti (en 1962) à des résultats presqu'optimaux avec l'aide :

(i) de bons ordinateurs,

(ii) de la connaissance d'un nombre de plus en plus grand de zéros non triviaux de $\zeta$, d'où l'on déduit que ce problème n'est pas élémentaire,

(iii) d'une version effective de la célèbre formule explicite de Von Mangoldt.

\item Les résultats précédents ont par la suite été améliorés puis généralisés à la fonction $\pi(x;a,q)$ notamment par McCurley, Ramaré et Dusart. D'autres spécialistes les ont utilisés pour obtenir des ordres de grandeur explicites d'autres fonctions de nombre premier, dont $p_n$.
\end{enumerate}
Cela répond-il à ta question ?

Borde.

OK.

Rappelons que Titchmarsh a proposé une notation pour ce type d'encadrement, très souvent utilisée :

$$\pi(x) \asymp \frac{x}{\log x}$$

valide pour $x \geqslant x_0$, car les constantes impliquées sont rarement indispensables en pratique. Attention toutefois à ne pas confondre cette notation avec :

$$\pi(x) \sim \frac{x}{\log x}$$

pour $x \rightarrow \infty$, car cela reviendrait à dire que Tchebichef avait démontré le TNP, ce qu'il n'a pas réussi à faire, et ce même si conceptuellement il n'en était pas très loin !


Borde.

Pendant qu'on est dans les notations et que Borde est dans le coin, l'implication

$$\forall f,g \ \ f(x) \sim g(x)\Longrightarrow f(x) \asymp g(x)$$

est-elle vraie ?

Si $c$ est supérieur à $1$, c'est faux, mais je pensais que ces deux constantes devaient encadrer $1$, d'où ma question.

Sylvain fait un dessin.

Non Rémi, je ne fais pas de dessin, j'écoute de la musique ! (:D

@egoroff : c'est pourtant simple : si avec tes notations $c=2$ et $C=3$ (par exemple), $f/g$ ne peut pas tendre vers $1$. Donc la réponse à ma question est "non, c'est faux".

Sylvain si tu part de la conclusion sans avoir les hypothèse de départ, que compte-tu prouver. Oui egoroff il y a un souci de logique.
Sylvain bois un café cinq minutes et repenses-y après, tu verras.

Tu as écrit :

C'est pourtant simple : si avec tes notations $ c=2$ et $ C=3$ (par exemple), $ f/g$ ne peut pas tendre vers $ 1$.

Là il n'y a pas un souci de logique. On suppose que $f/g$ tend vers un 1 et tu si $ c=2$ et $ C=3$ alors c'est pas possible. Ben peut-être que c'est sûr qu'on va pas tomber sur ces valeurs ?? J'ai l'impression que tu cherches un contre-exemple mais que tu oublies l'hypothèse de départ.

Tu supposes que tu as $f\sim g$ donc que $f/g\longrightarrow 1$ et tu te demandes juste si tu peux trouver deux constantes pour encadrer $f/g$ en jouant avec des epsilon, ça doit se faire non ?

[La case LaTeX. AD]
[Merci Alain]