démonstration lemme d'Euclide
dans Arithmétique
Bonjour,
Dans une démonstration du lemme d'Euclide, il me reste à montrer le point suivant :
"Soit $p$ un nombre premier et soient $\alpha$ et $\beta$ des
entiers tels que $0<\alpha<p$ et $0<\beta<p$. Alors, $p$ ne divise pas $\alpha\beta$."
J'ai une preuve dans le traité de Gauss, les Disquisitiones arithmeticae.
Mais j'aimerais me raccrocher et utiliser le théorème vu en terminale S :
"Si $n$ (supérieur ou égal à 2) n'est pas premier, il admet au moins un diviseur premier $p$ tel que $p\leq \sqrt{n}$."
En effet, j'ai la vague impression que ces deux propositions peuvent être proches (étant donné que $\sqrt{\alpha\beta}<\sqrt{p^2}=p$)....
Une idée ? merci.
Dans une démonstration du lemme d'Euclide, il me reste à montrer le point suivant :
"Soit $p$ un nombre premier et soient $\alpha$ et $\beta$ des
entiers tels que $0<\alpha<p$ et $0<\beta<p$. Alors, $p$ ne divise pas $\alpha\beta$."
J'ai une preuve dans le traité de Gauss, les Disquisitiones arithmeticae.
Mais j'aimerais me raccrocher et utiliser le théorème vu en terminale S :
"Si $n$ (supérieur ou égal à 2) n'est pas premier, il admet au moins un diviseur premier $p$ tel que $p\leq \sqrt{n}$."
En effet, j'ai la vague impression que ces deux propositions peuvent être proches (étant donné que $\sqrt{\alpha\beta}<\sqrt{p^2}=p$)....
Une idée ? merci.
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Réponses
Et tout simplement $ 0<\alpha<p$ donc tous les diviseurs premiers de $\alpha$ sont strictement $< p$, idem pour $\beta$, donc aussi pour le produit $\alpha.\beta$ (dont les diviseurs premiers sont la réunion des diviseurs premiers de chacun des facteurs)
Alain
En fait, je pense que scientifiquement, c'est plutôt l'autre sens qui est acceptable faut d'abord prouver la div euclidienne (ce qui n'est pas dur) et ENSUITE prouver ton lemme:
Soit $u,v$ tel que $ua+vp=1$
Si $ab=rp$ alors en multipliant par $b$ tu obtiens $b=uab+vpb=urp+vpb=p(ur+vb)$ et donc $p$ divise $b$. Avec les valeurs absolues ça te donne que $b$ est négatif ou $b=0$ ou $b\geq p$
Pour l'existence de $u,v$ tu prends le plus petit nombre entier positif non nul qui soit de la forme $ua+vp$ et en divisant euclidiennement $p$ par ce nombre, tu obtiens que ça ne peut être que $1$.
Or pour justifier qu'elle est unique, n'a-t-on pas tellement d'autre moyen que d'utiliser l'énoncé de Tesla?
Qu'elle existe est plu simple, je pense, mais l'unicité?
J'ai oublié de préciser le contexte de ma preuve :
Je souhaite démontrer le lemme d'Euclide sans utiliser le lemme de Gauss, ni le théorème de Bachet-Bézout.
Je suis arrivé au point du premier poste juste en utilisant quelques bases sur la divisibilité (division euclidienne/congruences).
Que de noms savants... Perso je ne connais pas les théorèmes (leur association aux noms)
Es-tu satisfait des réponses?
Lemme d'Euclide : Si un nombre premier $p$ divise le produit de deux nombres entiers $b$ et $c$, alors $p$ divise $b$ ou $c$.
Lemme de Gauss : Si un nombre entier $a$ divise le produit de deux autres nombres entiers $b$ et $c$, et que $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $c$.
Théorème de Bezout : Deux entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers relatifs $x$ et $y$ tels que $ax+by=1$.
Je cherche à démontrer le lemme d'Euclide sans utiliser le lemme de Gauss (celui cité ci-dessus
En effet, le lemme d'Euclide parait élémentaire et ne nécessite que la définition de "diviseur" pour être énoncé. Je me demandais donc s'il est nécessaire d'introduire le pgcd (via Bezout) pour le montrer.
J'ai suivi ta réponse jusqu'au "en divisant euclidiennement $p$ par ce nombre"... Je me suis alors dit qu'on était en train de démontrer Bezout, et que ma question initiale n'avait peut être pas grand sens...
Bonne fin de soirée.
Par l'absurde :
Notons p le plus petit premier capable de diviser un produit de 2 facteurs sans diviser aucun de ces 2 facteurs
Parmi tous les produits de 2 facteurs que p divise sans diviser aucun des 2 facteurs considérons le plus petit (#) : ab (minimal !) avec a et b non divisibles par p.
a et b coïncident nécessairement avec leur reste dans la div euc par p ( en notant ra et rb ces restes, ils sont non nuls et p divise ra rb...) donc a et b appartiennent à [1,p-1]
p divise ab donc il existe n tel que pn=ab (*)
n=0 ou 1 est impossible (..) donc n est divisible par au moins un nombre premier p' (résultat plus élémentaire que la décomposition en produit de facteur premier)
p' ne peut diviser ni a ni b sinon en simplifiant (*) par p' on contredirait (#)
p' divise ab sans diviser ni a ni b donc p'>=p puis pn>=p^2 or ab<=(p-1)^2 contradiction