nombre superabondant

Salut tous le monde

Ca fait presque une semaine que je cherche sur cette exercice mais aucun résultat :

Soit $n$ un nombre naturel non nul, appelons $\sigma(n)$ la somme $\sum\limits_{d/n}\,d$ de tous les diviseurs naturels $d$ de $n$ (y compris $1$ et $n$ ).
On appelle nombre superabondant tout entier $m\ge 1$ tel que
$\forall k\in\{ 1,2,3,\ldots,m-1 \} \colon \dfrac{\sigma(m)}{m} \succ \dfrac{\sigma(k)}{k}$
Démontrer qu'il existe une infinité de nombre superabondants

Je vous remercie d'avance pour toute votre aide.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.

Bonjour,

Ces nombresont été définis par l'incontournable Erdös et Alaoglu en 1944. Voici les grandes étapes d'une méthode élégante pour résoudre ton exercice:

$\sigma(n)= \sum_{d/n}\,d = \sum_{d/n} \frac{n}{d}$, puis tu écris:

$u_n=\frac{\sigma(n)}{n}= \sum_{d/n} \frac{1}{d}$.

Enfin, pour $n=m!$, tu as :
$u_n=\frac{\sigma(n)}{n}= \sum_{d/n} \frac{1}{d} > \sum_{d=1...m} \frac{1}{d} =H_m$
or, la série harmonique nest pas bornée.
Reste à conclure...


Amicalement.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par bs.

Supplément d'info à ce qu'a dit Bernard.

Ces nombres ont également été utilisés par G. Robin et J-L. Nicolas et servent essentiellement à démontrer des inégalités {\it effectives} entre fonctions arithmétiques usuelles (voir le dernier article de Nicolas dont on a parlé ici il y a quelques semaines et, plus généralement, voir les articles de Guy Robin des années 80--90).

L'idée d'utiliser de tels nombres remonte en fait à Ramanujan qui fut le premier à s'en servir pour déterminer les ordres extremaux de la fonction $\tau$, où $\tau(n) = \sum_{d \mid n} 1$.


Borde.

SALUT TOUS LE MONDE

merci d'abord de me répondre

BS t'a dit que

"Enfin, tu considères la suite $ u_n$ pour les $ n=m!$ :
$ u_n=\frac{\sigma(n)}{n}= \sum_{d/n} \frac{1}{d} > \sum_{d=1...m} \frac{1}{d} =H_m$
or, la série harmonique nest pas bornée.
Reste à conclure..."

cette inégalité est presque vraie pour les $m $ non premier et pour le généraliser a tous les nombres il faut supérieur ou égale .

en suit monsieur Bs dans mon recherche j'ai fais cette étape mais je voix pas comment t'a fait pour conclure ... l' information que cette inégalité $ u_n \succeq H_m $ nous donnons c'est que la suite ($ u_n $) n'est pas borné donc tend vers $ +\infnty $ l'infini

En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience


Xnur_dine09

Re,

D'abord, vérifie que cette inégalité est stricte également sur les nombres premiers, même si ce résultat n'est pas d'une importance capitale, par exemple: pour $m=3,n=6,u_6=2 >11/12$.

On a montré que la suite $(u_n)_n$ n'est pas bornée lorsque $n$ parcourt $\N$, par ailleurs, si $u_n$ est supérieur à tous les termes précédents $u_k$, alors $u_n$ est un nombre superabondant.

Comme la suite $(u_n)_n$ n'est pas bornée, il existe des termes $u_n$ de plus en plus grands, qui ne sont peut-être pas consécutifs, mais qui sont plus grands que tous les termes précédents. Ces nombres $n$ associés à cette suite extraite te fournissent une infinité de nombres superabondants.

Amicalement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par bs.

Bonsoir,

En fait, tu considères la suite $(w_n)_n$ strictement croissante extraite des $u_n$.

Amicalement.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par bs.

Bonsoir Bernard,

Je connais l'article d'Erdös-Nicolas que tu fournis ici, il m'a servi dans l'étude de fonctions de diviseurs du type

$$f(n) = \max_{k=1,\dotsc,n} \sum_{\substack{d \mid n \\d \leqslant k}} d.$$

Il y est démontré ici que

$$f(n) \ll \tau(n) \left ( \frac{\log \log n}{\log n} \right )^{1/2}.$$

En revanche, je n'ai pas, sauf oubli, de résultats en tête concernant les sommes d'inverses de nombres superabondants.


Borde.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par borde.

Bonsoir

Je pense que c'est facile à démontrer ce que Bernard a dit : "extrait de la suite $(u_n )$ une suite $(w_n )$ telle que : $\forall n,\ \forall j \prec n $ on a : $u_n \prec w_n $.
Il suffit de remarquer qu'aucun terme de la suite $(u_n)_n $ ne peut majorer cette suite (puisqu'il est n'est pas majorée !) soit par exemple $u_1 $ donc on pose $w_1=u_1 $ ensuite on considère la partie $X_2 = \{n \in \mathbb{N} \mid u_n \succ w_1=u_1 \} $ on a $X_2 $ est non vide donc admet un plus petit élément soit $w_2 $, ensuite on considère
$X_3 =\{n \in \mathbb{N} \mid u_n \succ w_2 \} $ qui est non vide puisque $w_2$ ne majore pas la suite $(u_n)$ ...
et ainsi de suite on construit la suite extraite $(w_n)$

PS : dans la recherche pour cette exercice j'ai trouvé que $u_p =1+\frac{1}{p} $ ce qui montre que cette suite est décroissante sur les nombres premiers ce qui montre aussi que tous les nombres premiers > 2 ne sont pas superabondants. Moi j'ai pris cette remarque mon point de départ pour une solution mais j'ai perdu ... Je ne sais pas si quelqu'un peut démontrer l'exercice à partir de cette remarque ?...
Et un question supplémentaire les nombres $1,2,6$ sont des nombres superabondants et ils s'écrivent aussi comme $1=1!,\ 2=2!,\ 6=3!$ est-ce que $p!$ est superabondant avec $p$ premier ? En général

En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience.

[Un ']' au lieu d'une '\}'. AD]



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.

bonsoir,

je sais pas pourquoi mon dernier message ne s'affaiche pas mais j'ai just démontrer la se que Bernard a dit et je pose cette remarque:

PS: dans la recherche dans cette exercice j'ai trouvé que $u_p =1+\frac{1}{p} $ ce qui montre que cette suite est décroissantes sur les nombres premiers ce qui montre aussi que tous les nombres premiers > 2 ne sont pas superabondants moi j'ai pris cette remarque mon point de debart pour une solution mais j'ai perdu .... je sais pas si quelqu'un peut demontrer l'exercice a partire de cette remarque ?.... et un question supplémentaire les nombres 1,2,6 sont des nombres superabondants et il s'écrivent aussi comme 1=1!,2=2!,6=3! est ce que p! est superabondant avec p premier ? en général

En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience.