nombre superabondant
dans Arithmétique
Salut tous le monde
Ca fait presque une semaine que je cherche sur cette exercice mais aucun résultat :
Soit $n$ un nombre naturel non nul, appelons $\sigma(n)$ la somme $\sum\limits_{d/n}\,d$ de tous les diviseurs naturels $d$ de $n$ (y compris $1$ et $n$ ).
On appelle nombre superabondant tout entier $m\ge 1$ tel que
$\forall k\in\{ 1,2,3,\ldots,m-1 \} \colon \dfrac{\sigma(m)}{m} \succ \dfrac{\sigma(k)}{k}$
Démontrer qu'il existe une infinité de nombre superabondants
Je vous remercie d'avance pour toute votre aide.
Ca fait presque une semaine que je cherche sur cette exercice mais aucun résultat :
Soit $n$ un nombre naturel non nul, appelons $\sigma(n)$ la somme $\sum\limits_{d/n}\,d$ de tous les diviseurs naturels $d$ de $n$ (y compris $1$ et $n$ ).
On appelle nombre superabondant tout entier $m\ge 1$ tel que
$\forall k\in\{ 1,2,3,\ldots,m-1 \} \colon \dfrac{\sigma(m)}{m} \succ \dfrac{\sigma(k)}{k}$
Démontrer qu'il existe une infinité de nombre superabondants
Je vous remercie d'avance pour toute votre aide.
Réponses
-
Bonjour,
Ces nombresont été définis par l'incontournable Erdös et Alaoglu en 1944. Voici les grandes étapes d'une méthode élégante pour résoudre ton exercice:
$\sigma(n)= \sum_{d/n}\,d = \sum_{d/n} \frac{n}{d}$, puis tu écris:
$u_n=\frac{\sigma(n)}{n}= \sum_{d/n} \frac{1}{d}$.
Enfin, pour $n=m!$, tu as :
$u_n=\frac{\sigma(n)}{n}= \sum_{d/n} \frac{1}{d} > \sum_{d=1...m} \frac{1}{d} =H_m$
or, la série harmonique nest pas bornée.
Reste à conclure...
Amicalement. -
Supplément d'info à ce qu'a dit Bernard.
Ces nombres ont également été utilisés par G. Robin et J-L. Nicolas et servent essentiellement à démontrer des inégalités {\it effectives} entre fonctions arithmétiques usuelles (voir le dernier article de Nicolas dont on a parlé ici il y a quelques semaines et, plus généralement, voir les articles de Guy Robin des années 80--90).
L'idée d'utiliser de tels nombres remonte en fait à Ramanujan qui fut le premier à s'en servir pour déterminer les ordres extremaux de la fonction $\tau$, où $\tau(n) = \sum_{d \mid n} 1$.
Borde. -
Bonjour,
Merci pour toutes ces précisions Olivier.
Au début, lorsque j'étais en activité, c'est par l'intermédiaire des mathématiques ludiques et Martin Gardner que j'ai découvert ce monde envoûtant des nombres parfaits, plus que parfaits, abondants, super abondants, colossalement abondants, déficients, quasiparfaits, semiparfaits, singuliers, puissants, j'en passe et des meilleurs. Puis, je me suis aperçu qu'il y avait des théories construites par de grands mathématiciens gravitant autour de ces sujets.
Certainement connais-tu ce document de Erdös-Nicolas sur la répartition de nombres superabondants.
Que sait-on de la somme des inverses des nombres superabondants, finie ou non, ou on ne sait pas ?
Amicalement. -
SALUT TOUS LE MONDE
merci d'abord de me répondre
BS t'a dit que
"Enfin, tu considères la suite $ u_n$ pour les $ n=m!$ :
$ u_n=\frac{\sigma(n)}{n}= \sum_{d/n} \frac{1}{d} > \sum_{d=1...m} \frac{1}{d} =H_m$
or, la série harmonique nest pas bornée.
Reste à conclure..."
cette inégalité est presque vraie pour les $m $ non premier et pour le généraliser a tous les nombres il faut supérieur ou égale .
en suit monsieur Bs dans mon recherche j'ai fais cette étape mais je voix pas comment t'a fait pour conclure ... l' information que cette inégalité $ u_n \succeq H_m $ nous donnons c'est que la suite ($ u_n $) n'est pas borné donc tend vers $ +\infnty $ l'infini
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience
Xnur_dine09 -
Re,
D'abord, vérifie que cette inégalité est stricte également sur les nombres premiers, même si ce résultat n'est pas d'une importance capitale, par exemple: pour $m=3,n=6,u_6=2 >11/12$.
On a montré que la suite $(u_n)_n$ n'est pas bornée lorsque $n$ parcourt $\N$, par ailleurs, si $u_n$ est supérieur à tous les termes précédents $u_k$, alors $u_n$ est un nombre superabondant.
Comme la suite $(u_n)_n$ n'est pas bornée, il existe des termes $u_n$ de plus en plus grands, qui ne sont peut-être pas consécutifs, mais qui sont plus grands que tous les termes précédents. Ces nombres $n$ associés à cette suite extraite te fournissent une infinité de nombres superabondants.
Amicalement. -
bonjours,
merci beaucoup Bernard pour cette idée je veux d'abord essayer de faire une démonstration a ce que t'a dit.
Noureddine -
Bonsoir,
En fait, tu considères la suite $(w_n)_n$ strictement croissante extraite des $u_n$.
Amicalement. -
Bonsoir Bernard,
Je connais l'article d'Erdös-Nicolas que tu fournis ici, il m'a servi dans l'étude de fonctions de diviseurs du type
$$f(n) = \max_{k=1,\dotsc,n} \sum_{\substack{d \mid n \\d \leqslant k}} d.$$
Il y est démontré ici que
$$f(n) \ll \tau(n) \left ( \frac{\log \log n}{\log n} \right )^{1/2}.$$
En revanche, je n'ai pas, sauf oubli, de résultats en tête concernant les sommes d'inverses de nombres superabondants.
Borde. -
Bonsoir
Je pense que c'est facile à démontrer ce que Bernard a dit : "extrait de la suite $(u_n )$ une suite $(w_n )$ telle que : $\forall n,\ \forall j \prec n $ on a : $u_n \prec w_n $.
Il suffit de remarquer qu'aucun terme de la suite $(u_n)_n $ ne peut majorer cette suite (puisqu'il est n'est pas majorée !) soit par exemple $u_1 $ donc on pose $w_1=u_1 $ ensuite on considère la partie $X_2 = \{n \in \mathbb{N} \mid u_n \succ w_1=u_1 \} $ on a $X_2 $ est non vide donc admet un plus petit élément soit $w_2 $, ensuite on considère
$X_3 =\{n \in \mathbb{N} \mid u_n \succ w_2 \} $ qui est non vide puisque $w_2$ ne majore pas la suite $(u_n)$ ...
et ainsi de suite on construit la suite extraite $(w_n)$
PS : dans la recherche pour cette exercice j'ai trouvé que $u_p =1+\frac{1}{p} $ ce qui montre que cette suite est décroissante sur les nombres premiers ce qui montre aussi que tous les nombres premiers > 2 ne sont pas superabondants. Moi j'ai pris cette remarque mon point de départ pour une solution mais j'ai perdu ... Je ne sais pas si quelqu'un peut démontrer l'exercice à partir de cette remarque ?...
Et un question supplémentaire les nombres $1,2,6$ sont des nombres superabondants et ils s'écrivent aussi comme $1=1!,\ 2=2!,\ 6=3!$ est-ce que $p!$ est superabondant avec $p$ premier ? En général
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience.
[Un ']' au lieu d'une '\}'.
AD] -
bonsoir,
je sais pas pourquoi mon dernier message ne s'affaiche pas mais j'ai just démontrer la se que Bernard a dit et je pose cette remarque:
PS: dans la recherche dans cette exercice j'ai trouvé que $u_p =1+\frac{1}{p} $ ce qui montre que cette suite est décroissantes sur les nombres premiers ce qui montre aussi que tous les nombres premiers > 2 ne sont pas superabondants moi j'ai pris cette remarque mon point de debart pour une solution mais j'ai perdu .... je sais pas si quelqu'un peut demontrer l'exercice a partire de cette remarque ?.... et un question supplémentaire les nombres 1,2,6 sont des nombres superabondants et il s'écrivent aussi comme 1=1!,2=2!,6=3! est ce que p! est superabondant avec p premier ? en général
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience. -
Bonsoir,
Merci Olivier pour les compléments que tu apportes.
Content Noureddine que tu aies résolu ton exercice.
Cadeau: les plus petits superabondants pour vérifier ta conjecture: http://www2.research.att.com/~njas/sequences/A004394
Amicalement. -
bonsoir a tous,
merci beaucoup Bernard pour le lien et aussi a Olivier ... et pour éclaire un petit peut mon remarque ci-dessus que je tente de résoudre l'exercice par une autre méthode de point de départ : il existe une infinité de nombres non superabondants (puisque tous les nombre premiers >2 ne le sont pas)
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience.
Noureddine -
Bonsoir,
Si un GM passe dans le coin, merci de bien vouloir reverser ce fil en Arithmétique
[Voilà qui est fait. Je ne l'avais pas remarqué ! AD][Merci Alain]
D'après le lien OEIS précédent, l'acte de naissance des nombres superabondants se trouve ici:
L. Alaoglu and P. Erdos, On highly composite and similar numbers, Trans. Amer. Math. Soc., 56 (1944), 448-469.
Si l'un d'entre-vous possède ce document, merci de le proposer.
A la lecture du lien suivant sur les nombres abondants: http://www2.research.att.com/~njas/sequences/index.html?q=abundant&language=english&go=Search , apparemment:
-> Tout nombre superabondant supérieur ou égal à 12 est abondant, et
-> Tout nombre factoriel est superabondant.
Amicalement. -
Salut tous le monde,
SVP si quelqu'un possède des exercices ou des articles sur ces nombres, qu'il les pose ici. Je voudrais vraiment savoir tout (!) sur ce genre de nombres.
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience.
Noureddine -
bonsoir à tous
l'acte de naissance des nombres superabondants se trouve ici:
L. Alaoglu and P. Erdos, On highly composite and similar numbers, Trans. Amer. Math. Soc., 56 (1944), 448-469.
le voila http://www.renyi.hu/~p_erdos/1944-03.pdf -
Bonjour,
(tu) et merci Noureddine sans oublier MAM.
Amicalement.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 9
9 Invités