Différence de deux carrés
dans Arithmétique
Bonjour
Je me pose la Question :
AA
Cordialement
J'ai déjà trouvé les nombres impairs .
Merci
Je me pose la Question :
Quels sont les entiers différences de deux carrés entiers ?
AA
Cordialement
J'ai déjà trouvé les nombres impairs .
Merci
Réponses
-
Bonsoir
$(n+1)²-n²=2n+1$
En d'autres termes, la différence de deux carrés consécutifs est un impair et réciproquement, tout impair est différence de deuxx carrés consécutifs.
Plus généralement, un entiers est différence de deux carrés ssi il peut s'écrire en somme d'impairs conséctifs
par exemple $7+9+11+13=40$ donc $40= 4²-3²+5²-4²+6²-5²+7²-6²=7²-3²$
à suivre... -
Bonjour,
Ce sont les nombres qui ne sont pas de la forme $4k+2$ -
La "vraie" question est : quel sont les nombres qui ne peuvent pas s'écrire comme différence de deux carrés. La réponse est : les nombres congrus à 2 modulo 4.
Effectivement si on regarde $(n+1)^2-n^2=2(n+1)$, on voit que les nombres impairs s'écrivent comme différence de deux carrés.
Si on regarde $(n+2)^2-n^2=4(n+1)$, on voit que les multiples de 4 sont différence de deux carrés.
Enfin si on regarde les "autres", i.e. $(n+k)^2-n^2=k(2n+k)$, alors si $k$ est impair, on voit que cette différence de deux carrés et impair. Si $k$ est pair, alors c'est un multiple de $4$. -
Ou bien comme ceci:
$a²-b²=(a+b)(a-b)$
Il faut et il suffit en notre entier puisse sécrire ne produit de deux nombres de même parité $p$ et $q$ pour que le système
$a+b=p$
$a-b=q$
ait un couple d'entiers solution ($p$ étant le plus grand)
en d'autres termes, il faut et il suffit qu'il soit impair ou multiple de 4... -
RE
La solution : Tous les entiers sauf ceux de la forme
2 ( 2k+1) ; entier .
Je ne connais pas le LATEX .
Quel est le nombre de décompositions dans le cas ....?
Quel est le niveau minimal du Lycée , pour poser cette question comme Devoir ou Thème de Recherche ?
Merci d'avance pour votre collaboration
AA -
Si n=u2-v2=r2-s2, alors :
u2+s2=r2+v2
Exemple 102+152=62+172, donc 64=82-02=102-62=172-152. -
Quel est le nombre de décompositions dans le cas ....?
C'est le nombre de façons d'écrire n comme somme d'entiers impairs consécutifs.
Reprenons l'exemple de $64$, il y a trois façons ce sont:
$64=31+33$
$64=13+15+17+19$
$64=1+3+5+7+9+11+13+15$ -
RE
OUI , mais comment le démontrer ?
Merci -
On part de $n=(x+1)^2-y^2$
donc $n=(x+y+1)(x-y+1)$
soit encore $n=(2x+2y+2)(x-y+1)/2$
ou encore $n=(2y+1) + (2y+3) + . . . +(2x+1)$
$n$ est la somme de $x-y+1$ impairs consécutifs de $2y+1$ à $2x+1$. -
RE
Formidable , je vais essayer de trouver une Formule explicite ! si elle existe ?
AA
Merci -
S(n)=1+3+5+..+(2n-1) = n2
Donc, S(n) - S(m) = (2m+1)+(2m+3)+..+(2n-1) = n2 - m2
Par exemple: 102=1+3+..+19; 62=1+3+..+11
64=102-62=13+15+17+19.
Mais je ne vois pas en quoi on a fait avancer le problème.. -
Oui, Richard ce point de vue est plus simple que ma démo.
Et c'est vrai que nous ne sommes pas plus avancés. -
RE
Je parle de la Formule qui donne le nombre de décompositions .
Merci
Merci Cidrolin ça se voit que vous enseignez. -
Bonjour,
AITJOSEPH, regardez cette [size=large]suite sur le site de N. Sloane[/size]
Je suis enseignant encore pendant [size=large]à peu près . . .[/size] -
Supposons x impair et x=(n+k)2-n2=k2+2kn=k(2n+k)
Donc k divise x et x>k2 (donc k < racine(x)).
Réciproquement, si x = kd, avec k <racine(x) on a 2n+k=d et n=(d-k)/2 (d et k sont impairs).
Exemple: x =3*5*7=105. Les valeurs possibles de k sont 1,3,5,7.
1) k=1, d=105, 2n+1=105, n=53 et 532-522=105
2) k=3, d=35, 2n+3=35, n= 16 et 192-162=105
3) k=5, d=21, 2n+5=21, n= 8 et 132-82=105
4) k=7, d= 15, 2n+7=15, n= 4 et 112-42=105
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