Différence de deux carrés

Bonsoir

$(n+1)²-n²=2n+1$
En d'autres termes, la différence de deux carrés consécutifs est un impair et réciproquement, tout impair est différence de deuxx carrés consécutifs.

Plus généralement, un entiers est différence de deux carrés ssi il peut s'écrire en somme d'impairs conséctifs
par exemple $7+9+11+13=40$ donc $40= 4²-3²+5²-4²+6²-5²+7²-6²=7²-3²$

à suivre...

La "vraie" question est : quel sont les nombres qui ne peuvent pas s'écrire comme différence de deux carrés. La réponse est : les nombres congrus à 2 modulo 4.

Effectivement si on regarde $(n+1)^2-n^2=2(n+1)$, on voit que les nombres impairs s'écrivent comme différence de deux carrés.

Si on regarde $(n+2)^2-n^2=4(n+1)$, on voit que les multiples de 4 sont différence de deux carrés.

Enfin si on regarde les "autres", i.e. $(n+k)^2-n^2=k(2n+k)$, alors si $k$ est impair, on voit que cette différence de deux carrés et impair. Si $k$ est pair, alors c'est un multiple de $4$.

Quel est le nombre de décompositions dans le cas ....?

C'est le nombre de façons d'écrire n comme somme d'entiers impairs consécutifs.

Reprenons l'exemple de $64$, il y a trois façons ce sont:

$64=31+33$
$64=13+15+17+19$
$64=1+3+5+7+9+11+13+15$

On part de $n=(x+1)^2-y^2$
donc $n=(x+y+1)(x-y+1)$
soit encore $n=(2x+2y+2)(x-y+1)/2$
ou encore $n=(2y+1) + (2y+3) + . . . +(2x+1)$
$n$ est la somme de $x-y+1$ impairs consécutifs de $2y+1$ à $2x+1$.

S(n)=1+3+5+..+(2n-1) = n²
Donc, S(n) - S(m) = (2m+1)+(2m+3)+..+(2n-1) = n² - m²
Par exemple: 10²=1+3+..+19; 6²=1+3+..+11
64=10²-6²=13+15+17+19.
Mais je ne vois pas en quoi on a fait avancer le problème..

Supposons x impair et x=(n+k)²-n²=k²+2kn=k(2n+k)
Donc k divise x et x>k² (donc k < racine(x)).
Réciproquement, si x = kd, avec k <racine(x) on a 2n+k=d et n=(d-k)/2 (d et k sont impairs).
Exemple: x =3*5*7=105. Les valeurs possibles de k sont 1,3,5,7.
1) k=1, d=105, 2n+1=105, n=53 et 53²-52²=105
2) k=3, d=35, 2n+3=35, n= 16 et 19²-16²=105
3) k=5, d=21, 2n+5=21, n= 8 et 13²-8²=105
4) k=7, d= 15, 2n+7=15, n= 4 et 11²-4²=105