Polynômes à racines entières
dans Arithmétique
Bonjour
Je suis en face d'UN POLYNOME à coefficients entiers, je cherche des CNS pour que ce polynôme possède des racines entières ? C'est Vital pour moi.
Des recherches ont déjà été faites ? Une bibliographie ?
Le livre de Mr BORDE Thèmes d'Arithmétique en parle un peu .
AA
Merci d'Avance
Cordialement
Je suis en face d'UN POLYNOME à coefficients entiers, je cherche des CNS pour que ce polynôme possède des racines entières ? C'est Vital pour moi.
Des recherches ont déjà été faites ? Une bibliographie ?
Le livre de Mr BORDE Thèmes d'Arithmétique en parle un peu .
AA
Merci d'Avance
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Réponses
C'est Vital pour moi. ::o
"je cherche des CNS pour que ce polynôme possède des racines entières" , ou bien "...exclusivement des racines entières" ?
Amicalement.
Si c'est à une variable, il est clair qu'une racine doit diviser le terme constant du polynôme. Tu peux juste essayer tous les diviseurs de ce nombre.
Si c'est à plusieurs variables, il y a un celèbre théorème disant qu'il n'existe aucun algorithme pour décider si un tel polynôme a ou non une ou des racines entières.
Le polynome est à une variable , mais cela importe peu car on peut passer d'un cas à l'autre ! Je crois que je connais les deux Théorèmes , on peut traiter les deux cas : aumoins une racine puis toutes les racines . Comment s'appelle le théorème de pluisieurs varaibles : un des problèmes de Hilbert ?
PS/ C'est Vital dans la mesure que j'y pense tous le temps .
Cordialement
AA
> Bonjour
>
> Je suis en face d'UN POLYNOME à coefficients
> entiers, je cherche des CNS pour que ce polynôme
> possède des racines entières ? C'est Vital pour moi.
bonsoir
ta condition doit porter sur quoi ? les coefficients du polynômes ou n'importe quoi d'autre ?
CNS sur les coefficients par exemple, ou autre chose. En d'autres termes caractériser ces polynômes.
AA
Merci
OUI
Merci
Un critère peu être donné par l'intermédiaire du groupe de Galois du polynôme : ce groupe d'automorphismes agit sur les n racines (distinctes ou pas) du polynôme. Via cette action, on identifie (à conjugaison près) le groupe de Galois du polynôme dans le groupe symétrique S(n) où n est le degré du polynôme.
Alors ton polynôme (unitaire, à coefficients entiers)
-- possède au moins une racine entière si et seulement si son groupe de Galois est inclus dans S(n-1) ;
-- possède exclusivement des racines entières si et seulement si son groupe de Galois est { identité }.
Je suis ému ,et content, car à chaque fois que la Théorie Galoisienne intervient , les choses avancent et deviennent sérieuses .Je vais commencer par essayer de démonter cela .
Merci
AA