Un article sur les zéros de zeta
dans Arithmétique
Bonjour,
Un article qui conclue à la simplicité des zéros de zeta. A voir...
Un article qui conclue à la simplicité des zéros de zeta. A voir...
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Réponses
qu'on résout une conjecture un peu costaude sur zeta.
Ca tombe d'ailleurs à un moment symbolique vu qu'on est au 150e anniversaire de la conjecture de Riemann...
A+
Eric
Je n'ai pas le temps ni la patience de lire les détails de leur preuve mais je n'y crois pas trop. J'aimerais avoir une bonne surprise ceci dit, moi qui crois en la puissance de l'analyse complexe pour l'étude de la fonction dzéta (je suis très minoritaire).
Eric
Pour ses délires sur la fonction dzéta, même son meilleur éléve est contre lui...
Je donne juste ma raison philosophique: le TNP a été prouvé de manière essentiellement arithmétique (théorie analytique des nombres) , puis est venue une preuve beacoup plus simple de DJ Newman à base d'analyse complexe. C'est la preuve la plus courte du TNP à ma connaissance:
http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Chauvenet/Zagier.pdf
olib, pour autant que je sache, toutes les preuves du TNP faisaient recours à l'analyse complexe, avant la preuve élémentaire d'Erdös-Selberg en 1949.
bruno
Hadamard utilisait l'analyse complexe à plein pot. Mais je considère, à tort ou à raison que ce genre de preuves fait aujourd'hui partie de la théorie analytique des nombres. Celle de DJ Newman (synthétisée par Don Zagier) me semble utiliser beaucoup plus exclusivement l'analyse complexe.
Disons que j'appelle TAN l'étude de la théorie des nombres avec beaucoup d'approximations, de développements asymptotiques et où l'analyse complexe joue un rôle important mais pas exclusif. Je pense que la démonstration de Newman utilise en proportion beaucoup plus d'analyse complexe. Ca m'a intéressé parce que c'est la preuve la plus courte. J'avoue qu'on peut aussi la classer en TAN.
J'ai aussi remarqué que les livres d'analyse complexe qui ne parlaient dans le temps pas ou peu de la démo du TNP, l'incluent souvent aujourd'hui avec des démonstrations basées sur celle de DJ Newman. On peut aussi dire évidemment que c'est uniquement une question de commodité parce que la preuve a été raccourcie.
Enfin, pour en revenir à mon opinion sur la possibilité d'utiliser essentiellement l'analyse complexe pour prouver HR, ça ne change rien.
en musique :
zeros of zeta
les paroles
Aldo
On a déjà souvent débattu ici, notamment avec Bruno et Bob, sur le champ traditionnellement reconnu de la TAN.
Elle peut être dispatchée en plusieurs sous-groupes, mais grosso modo on peut en donner la définition suivante : étudier, {\bf en utilisant tout moyen analytique} à notre disposition, les problèmes liés à la double structure multiplicative et additive des entiers.
On appelle {\it preuve élémentaire}, resp. {\it analytique}, toute démonstration n'utilisant pas, resp. utilisant, la variable complexe.
Ainsi, la preuve de Newman, qui est donc analytique, s'inscrit dans l'un des champs de la TAN.
Selon moi, elle a un avantage et un inconvénient :
{\it Avantage} : elle simplifie quelque peu la preuve originelle de Hadamard et de la Vallée Poussin (étendue par la suite par de nombreux auteurs, dont Landau, Littlewood, Ingham, Titchmarsh, etc).
{\it Inconvénient} : elle n'apporte aucun renseignement sur le terme d'erreur, et elle est donc battue en cela par des méthodes {\it élémentaires} (notamment développées par Erdös et Diamond), qui, elles, arrivent à obtenir des termes d'erreur (voir un article de Diamond de 1971) qui restent néanmoins en-deçà de ceux obtenus par les estimations d'intégrales sur un contour.
Bref, d'un point de vue "recherche", la preuve de Newman est inutile, mais d'un point de vue "pédagogie et présentation de la théorie", elle permet à des non-spécialistes de se plonger dans le TNP sans avoir trop de prérequis.
Je signale quand même que Titchmarsh, dans son ouvrage (qui date quand même d'une cinquantaine d'années), proposait déjà une preuve du style de celle de Newman.
Borde.
Donc j'arrive un peu après la guerre et merci de me faire un petit exposé récapitulatif. J'ai aussi dit qu'on peut inclure ce genre de démo en TAN puisque c'est le sens original de la TAN: appliquer de l'analyse en général à des problèmes de th. des nombres.
Mais, l'impression générale, l'angle global d'attaque en TAN est bien la présence d'approximations, de développements asymptotiques et tu en conviens toi même quand tu trouves la preuve de DJ Newman "inutile" au point de vue recherche. Et c'est pour cela qu'elle trouve place dans de nombreux livre d'analyse complexe comme application alors qu'on ne la trouve pas en général dans les livres de TAN. Voilà pourquoi aussi que je pense qu'elle ressort plus à l'analyse complexe, même si formellement elle fait partie de la TAN.Et il se pourrait très bien que la preuve de HR soit dans ce cas: à base d'analyse complexe sans approximations ou pas assez au goût des spécialistes en TAN. J'ai pensé à cela à cause de l'article d'Arxiv cité (qui n'est pas vérifié donc sujet à caution) qui utilise essentiellement des méthodes standard de surfaces de Riemann.
Pour l'antériorité historique, merci de la source. Je remarque de plus en plus que des résultats publiés comme "neufs" dans les revues sont souvent des choses qu'on connait depuis 50 ans voire plus de 100 ans mais qui étaient écrites dans un autre langage. Il serait temps que des spécialistes en histoire des mathématiques utilisent leur compétence et soient consultés dans leur domaines de spécialisation par ces mêmes revues pour éviter qu'on pense découvrir du "neuf". A noter cependant qu'une reformulation en langage modernes est souvent un travail en soi et qu'il peut aussi impliquer une généralisation et des démonstrations plus explicites.
Combien de fois, j'ai été intrigué par un résultat et un spéciliaste qui connaît bien l'histoire de son domaine m'a dit que c'était connu depuis 50 ans ou 100 ans, voire plus...(sous une autre terminologie, un autre formalisme bien sûr). Et j'ai été vérifié.
Les referees sont en général de très bon lecteurs de preuves dans leur domaine, ils vérifient avant tout la justesse de la preuve. Certains connaissent aussi l'historique de leur domaine, mais c'est plus rare quand les domaines de recherche ne sont pas récents.
Il y a des tas d'articles complétement oubliés de la fin du XIX et du début du XX-ième que plus personne ou presque ne connaît. Parce que le langage n'est plus le même.Il serait donc bon que les gens qui connaissent l'histoire de domaines mathématiques en détail soient plus consultés. Ca diminuerait aussi conséquemment le nombre de publications.