anneaux quotienté par des idéaux
dans Arithmétique
bonjour,
Je me demandais si j'ai bien compris le notion d'anneaux quotient:
soit A un anneau, a et b deux élément de A
peut-on dire A/(a,b)= A/(a)/(b)
auquel cas si A/(a)~B alors A/(a,b)~B/(b)
Je me demandais si j'ai bien compris le notion d'anneaux quotient:
soit A un anneau, a et b deux élément de A
peut-on dire A/(a,b)= A/(a)/(b)
auquel cas si A/(a)~B alors A/(a,b)~B/(b)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Encore une petite question pour étoffer un peu cette nouvelle discussion :
Si I est un idéal de A (un anneau unitaire) A/I n'est pas un sous anneau de A ??
Dans un groupe abélien les sous-groupes ont tous une propriété (au moins) en commun.
Quelle est-elle?
PS:
La réponse n'est pas qu'ils sont abéliens.
> >
>
> Dans un groupe abélien les sous-groupes ont tous
> une propriété (au moins) en commun.
> Quelle est-elle?
>
> PS:
> La réponse n'est pas qu'ils sont abéliens.
Moi je sais moi je sais moi je sais ! Ce sont tous des groupes. Bon ok j'arrête.
Mais après pour conclure t'utilises le théorème de structure des groupes abéliens ? Je vois pas comment faire plus facile (plus simple).
Maintenant tu peux répondre à ta question initiale tout seul.
Un groupe simple abélien peut-il être infini?
Un peu plus de detail serait la bienvenue !
La réponse à la question initiale suit immédiatement.
Maintenant, est-ce que $G=<a>$ peut être simple abélien et infini?
Il est je pense simple, car s'il existe un sous groupe propre, ça veut dire que son ordre divisera l'orde de $ G $ qui est infini, ce qui n'est pas possible , donc $ G $ est simple ! doncx c'est infini !
Par contre, je comprends pas ta replique : Et donc, la reponse à la question initiale ne me semble pas être immediat ! Désolé en tous cas !
Merci d'avance !
C'est si difficile de considérer $<b>$ ?
Définition d'un groupe-simple?
Ben un groupe simple est un groupe dont les seuls sous groupes sont $ \{ e \} $ et $ G $ ! mais je suis encore bloqué !
Es-tu sûr?
Tu devrais relire la définition.
Je suis un peu perdu devant ses moultes données qu'on a trouvé jusqu'à maintenant ! peux tu me faire une petite sysntèse pour savoir ou je suis !
Merci infiniment !
Un groupe simple abélien n'a pas de sous-groupes hormis lui-même et {e}.
Faire des mathématiques ce n'est pas que se gargariser de mots et de définitions.
Si G n'est pas monogène alors il existe a et b de G différents de e tels que b n'appartient pas à $<a>$
$<b>$ est un sous-groupe de G qui est différent de G.
Ainsi G possède un sous-groupe propre qui est distingué (tous les sous-groupes d'un groupe abélien le sont) et donc il ne peut être simple.
Supposons que ce groupe n'est pas fini.
Soit b de G.
Si $b=a^n=a^{n'}$ avec n et n' différents alors $a^n=a^{n'}$ donc $a^{n-n'}=e$ ( e étant l'élément neutre de G)
Ce qui signifierait que G est cyclique et donc fini ce qui est exclus par hypothèse.
Donc il existe n entier unique tel que $b=a^n$
Considérons l'application:
f: G->$\Z$
telle que: $f(a^n)=n$
Soient b,c de G ils existent n,n' uniques tels que $b=a^n$ et $c=a^{n'}$
$f(bc)=f(a^na^{n'})=f(a^{n+n'})=n+n'$ d'une part.
$f(b)f(c)=f(a^n)f(a^{n'})=n+n'$ d'autre part.
Ainsi f est un homomorphisme de groupes.
Soit n entier on a vu que $a^n$ était l'unique antécédent de n par f.
le noyau de f est $\{e\}$.
f est donc un isomorphisme de groupes.
G est donc isomorphe à $\Z$ qui n'est pas un groupe simple puisque quelque soit a entier non nul et différent de 1 et -1 on a $a\Z$ est un sous-groupe propre de $\Z$.
Ainsi G ne peut pas être fini.