anneaux quotienté par des idéaux

..à condition de bien voir que le $\langle b \rangle$ du membre de droite n'est pas un idéal de $A$, mais l'idéal de $A/ \langle a \rangle$ engendré par la classe de $b$.

"Ensemblistement" c'est toujours non, il faudrait poser la question sous la forme "$A/I$ est-il (canoniquement) isomorphe à un sous-anneau de $A$ ?". En regardant des exemples très simples je pense que tu pourras répondre à cette question.

svp, pourquoi un groupe abelien simple est monogène ? a écrit:

Dans un groupe abélien les sous-groupes ont tous une propriété (au moins) en commun.
Quelle est-elle?

PS:
La réponse n'est pas qu'ils sont abéliens.

Je ne sais pas ! ben, distingué ! :S

Je ne sais pas ! ben, distingué ! a écrit:

Maintenant tu peux répondre à ta question initiale tout seul.

svp, j'arrive pas à trouver la reponse ! 8-)
Un peu plus de detail serait la bienvenue !

Ben $ G = <a> = \{ e , a , a^2 , ... \} $ est abelien ( evident ) !
Il est je pense simple, car s'il existe un sous groupe propre, ça veut dire que son ordre divisera l'orde de $ G $ qui est infini, ce qui n'est pas possible , donc $ G $ est simple ! doncx c'est infini !
Par contre, je comprends pas ta replique :

Supposons (G,+) abélien. S'il n'est pas engendré par un élément a, cela signifie qu'il existe b de G tel que b n'appartient pas $<a>$. 
La réponse à la question initiale suit immédiatement

Et donc, la reponse à la question initiale ne me semble pas être immediat ! Désolé en tous cas !
Merci d'avance !

D'accord ! alors, on a $ G $ abelien simple, et $ <a> $ et $ <b> $ distingué ! après, on fait quoi, on doit-t-on arriver ? :S

Ben un groupe simple est un groupe dont les seuls sous groupes sont $ \{ e \} $ et $ G $ ! mais je suis encore bloqué !

Ah d'accord, il est distingué en jetant un oeil sur un article de wikipedia qui parle de groupes simples !
Je suis un peu perdu devant ses moultes données qu'on a trouvé jusqu'à maintenant ! peux tu me faire une petite sysntèse pour savoir ou je suis !
Merci infiniment !

stp, "fin de partie", donne moi la reponse sans que je reflechit encore, car je ne peux plus ! :-( Dr

Ah, c'est vrai ! Merci !

Si G est un groupe simple abélien alors il est de la forme $<a>$ (voir plus haut)

Supposons que ce groupe n'est pas fini.

Soit b de G.
Si $b=a^n=a^{n'}$ avec n et n' différents alors $a^n=a^{n'}$ donc $a^{n-n'}=e$ ( e étant l'élément neutre de G)
Ce qui signifierait que G est cyclique et donc fini ce qui est exclus par hypothèse.
Donc il existe n entier unique tel que $b=a^n$

Considérons l'application:
f: G->$\Z$
telle que: $f(a^n)=n$

Soient b,c de G ils existent n,n' uniques tels que $b=a^n$ et $c=a^{n'}$
$f(bc)=f(a^na^{n'})=f(a^{n+n'})=n+n'$ d'une part.
$f(b)f(c)=f(a^n)f(a^{n'})=n+n'$ d'autre part.

Ainsi f est un homomorphisme de groupes.
Soit n entier on a vu que $a^n$ était l'unique antécédent de n par f.
le noyau de f est $\{e\}$.
f est donc un isomorphisme de groupes.

G est donc isomorphe à $\Z$ qui n'est pas un groupe simple puisque quelque soit a entier non nul et différent de 1 et -1 on a $a\Z$ est un sous-groupe propre de $\Z$.

Ainsi G ne peut pas être fini.