Résoudre par disjonction des cas

boltzmann · December 2009

Titre initial : Résoudre par disjonction des cas une équation???

Je tiens à préciser que je n'ai pas de connaissance approfondie en arithmétique, cependant dans la partie logique de mon cours de mathématiques, je suis tombé sur un problème m'invitant à montrer que l'équation :
5x³+11x³+13x³=0 avec (x,y,z) appartenant à Z³
possède une unique solution dans Z³ à savoir (0,0,0).
Je dois démontrer cette affirmation via la méthode de disjonction des cas, or pour moi on résout une équation par le calcul et non par la logique pure, alors il doit bien avoir un théorème sur lequel m'appuyer afin de me permettre de démontrer l'assertion par une simple implication.
Avez-vous une idée ?

gerard0 · December 2009

Bonsoir.

pour moi on résout une équation par le calcul et non par la logique pur[sic!]

Sans logique, un calcul n'est pas un calcul. Et résoudre par logique pure une équation autre que logique est du domaine du fantasme.

Je dois démontrer cette affirmation via la méthode de disjonction des cas

Donc c'est ce qu'il faut faire. C'est à dire examiner les différents cas possibles et les calculs qui correspondent.

il doit bien avoir un théorème sur lequel m'appuyer afin de me permettre de démontrer l'assertion par une simple implication.

Pourquoi ? Et il te faudra démontrer ce théorème (par disjonction de cas, peut-être ?).

Cordialement.

NB : L'équation "5x³+11x³+13x³=0 avec (x,y,z) appartenant à Z3 " est équivalente à 29x³=0, donc il y a une infinité de solutions, x=0 et y et z valant ce qu'on veut.

Fin de partie · December 2009

5x3+11x3+13x3=0 avec (x,y,z) appartenant à Z3

Il n'y a pas une erreur dans l'écriture de l'équation?

boltzmann · December 2009

merci des quelques conseils et concernant l'écriture de l'équation c'est bien ce que j'ai dans mon bouquin

Si j'ai bien compris, la disjonction de deux propositions P et Q correspond à (P ou Q)
Dans le cadre d'une équation, l'utilisation de la technique de disjonction des cas intervient lorsque je me retrouve avec un produit de facteur et que je dois utiliser le théorème stipulant qu'un produit de facteur est nul ssi l'un de ces facteurs est nul (A*B=0), ainsi la solution est soit issue de A ou soit issue de B ou soit issue des deux en même temps, ce qui ressemble à la table de vérité de (P ou Q).
Dois-je utiliser se principe pour démontrer l'affirmation?
y a t-il une astuce pour factoriser l'équation?

gerard0 · December 2009

En fait, la disjonction de cas est le fait d'étudier, dans une situation donnée, les différents cas possibles un à un. C'est tout.

Pour l'équation, c'est probablement 5x³+11y³+13z³=0.
Par contre, je ne vois pas les cas !

Cordialement.

Christian Vassard · December 2009

Peut-être avec une congruence modulo 5, ou 11 ou 13, avec les différents restes possibles dans la division par ces entiers?
Mais il faudrait avoir précisément l'équation...
Bien cordialement,
Christian

Fin de partie · December 2009

merci des quelques conseils et concernant l'écriture de l'équation c'est bien ce que j'ai dans mon bouquin a écrit:

Il n'y a que des x dans ton équation ni y ni z et pourtant tu veux la résoudre dans zxzxz

boltzmann · December 2009

En effet, désolé pour l'erreur, je ne suis tellement pas habitué à manipuler des équations comportant des x,y,z que j'en oublie de les écrire donc en effet l'équation est bien:
5x³+11y³+13z³=0

Si j'ai bien compris, la méthode de "disjonction des cas" revient à trouver l'ensemble des solutions possibles en les classant dans divers situations, par exemple, en fonction du signe des inconnues ce qui me ramène à 4 cas à étudier. Le premier cas serait de prendre (x,y,z) appartenant à Z^3+*, il est evident qu'il ne peut avoir de solution hormis (0,0,0). Les autres cas sont coriace à traiter, cependant en visitant quelque site j'ai vite compris la puissance de la logique "modulaire" que Gauss inventa, hélas je ne sais pas encore l'utilisait.

nicolas.patrois · December 2009

Modulo 5, tu obtiens y³+3z³=0.

a 0 1 2 3 4
a³ 0 1 3 2 4
3a³ 0 3 4 1 2

Bref, les seules possibilités modulo 5 sont les couples suivantes.

y 0 1 2 3 4
z 0 2 4 1 3

Modulo 11, tu obtiens 5x³+2z³=0.

En Scilab, cela donne.
a=0:10;
b=modulo(a'.^3*ones(1,11)+2*ones(11,1)*a.^3,11);
Cherche quand b vaut 0.

Fais pareil modulo 13 et regarde si par hasard il reste des possibilités modulo 715=5×11×13.

ev · December 2009

Bonjour Nicolas.

Il restera toujours $ (0,0,0)$ modulo $p$.

amicalement,

e.v.

nicolas.patrois · December 2009

Ouais, mais d’autres ?

AD · December 2009

Bonjour

On peut aussi considérer les réductions modulo 2 et modulo 3, dans lesquelles pour tout x, x³=x. Ainsi
x + y + z = 0 (mod 2)
-x -y + z = 0 (mod 3)
D'où z = x + y + 6k, k € Z

Alain

PS : C'était pour faire avancer le Schilmik.. le sichmil.. :)o

jpdx · December 2009

On peut se ramener au cas $x,y,z$ non nuls et premiers entre eux 2 à 2.
De plus $x$ non divisible par 11 ni par 13.
$y$ non divisible par 5 ni par 13.
$z$ non divisible par 5 ni par 11.

ev · December 2009

jpdx,

Je vois bien pourquoi on peut choisir $x,y,z$ non nuls et premiers entre eux dans leur ensemble, mais pas pourquoi on peut choisir $x,y,z$ non nuls et premiers entre eux deux à deux.

amicalement,

e.v.

jpdx · December 2009

Si $p$ premier divise $x$ et $y$, alors $p^3$ divise $13\,z^3$ donc $p$ divise $z$.

StanN · January 2012

Je viens de chercher cet exercice, c'est le 2e ex du cours d'algèbre d'Arnaudiès-Fraysse (page 7, il y a de quoi rebuter le lecteur !!)
On peut effectivement travailler avec les congruences, ça marche modulo 13.
13z³ est congru à 0 donc 5x³ + 11y³ doit l'être aussi.
Or les seuls restes possibles pour 5x³ sont 0 ; 1 ; 5 ; 8 et 12,
et pour 11y³ : 0 ; 2 ; 3 ; 10 et 11.
La somme ne peut donc être congrue à 0 que si chaque terme l'est, c'est-à-dire si x et y sont divisibles par 13.
On en déduit que z est aussi divisible par 13. Si l'un des trois nombres n'était pas nul, on pourrait alors construire une suite infinie de triplets solutions en divisant par 13³, ce qui est absurde.
Je vous laisse combler les lacunes de cette démonstration un peu rapide.

Résoudre par disjonction des cas

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 3