Théorème de Dirichlet, progression arithmétique

AMA5 · January 2010

Bonjour,

On m'a conseillé ce forum car il paraît qu'il y a des gens très forts en théorie des nombres ici. Parfait !

Voici ma situation : je suis élève en MPSI, et pour les TIPE de sup j'ai choisi de travailler dans le domaine qui m'a toujours plu, à savoir la théorie des nombres. J'ai donc décidé d'étudier le théorème de Dirichlet sur la progression arithmétique. Je viens de commencer ce TIPE, donc pour avoir une idée claire et une vue d'ensemble, je fais appel à votre aide.

Je me base sur cette démonstration de l'IMO: http://gifted.hkedcity.net./Gifted/Download/notes/phase3/advance/Forth%20and%20Fifth%20Lecture%202007-03-10%20Dirichlet%20Theorem%20from%20CJ%20Lam.pdf.
J'ai vu une autre démonstration (celle de Chapman) mais on m'a conseillé d'étudier celle-ci.
D'où ma première question: Cette démonstration est-elle bien ? Est-elle à la portée d'un élève de sup (avec beaucoup de recherche) ? Il y a marqué en première page "IMO Training 2006-2007 Phase 3 Level 2" : ceci correspond à quel niveau d'étude ?

Je dois valider mon sujet et présenter un exposé oral bientôt, mais je n'ai pas encore eu beaucoup de temps d'étudier le pdf ci-dessus (mais je compte m'y mettre, ne vous inquiétez pas, je suis motivé B-)), d'où deuxième question: Pouvez-vous me faire un rapide aperçu des grandes lignes et des grandes étapes de la démonstration ?

Troisième question: Connaissez-vous des références incontournables (sites ou livres) qui me seront utiles ?

Et enfin, la dernière question, the last but not the least : Comment prononce-t-on "Dirichlet"? Dirischlet ou Diriklet? Dirichlé ou Dirichlette?

Voici mes premières questions, je pense que beaucoup d'autres suivront, qui concerneront plutôt la compréhension de la démonstration en elle-même.

Je vous remercie par avance de toute aide que vous apporterez !

Sylvain · January 2010

Curieusement je ne m'étais jamais posé la question de la prononciation. Mais comme il était allemenad me semble-t-il, j'aurais tendance à dire "Dirichelette" sans prononcer le premier "e".

Guego · January 2010

Pour la prononciation, personnellement, je dis "Diriklé", mais je ne sais pas si c'est comme ça qu'il faut dire.

Sinon, pour la démonstration que tu postes, j'ai parcouru rapidement : les notions abordées sont niveau bac+1 ou bac+2 (et quand ça ne l'est pas : la définition est donnée). Cela dit, je pense que peu d'élèves de prépa ou de premières années de fac seraient capables de la lire, parce que même si les notions abordées sont à leur niveau, ça mélange beaucoup de trucs différents, et ça demande un certain recul pour digérer tout ça. En plus, ça fait quand même 58 (!) pages. Donc, même pour des élèves motivés, faut s'accrocher, et s'accrocher longtemps.

IMO : Il s'agit des olympiades internationales de maths, qui sont réservées à des élèves qui n'ont encore commencé aucune étude supérieure, mais (et c'est un énorme mais) qui sont parmi les tous meilleurs de leur pays, donc la super élite mathématique des lycéens, en gros.

Namiswan · January 2010

Bonjour.
Bon je peux répondre à au moins une question: on dit Diriklé ( enfin je crois^^)..
Apres pour la démo à choisir, je n arrive pas à aller sur ton lien et je connais pas Chapman, donc ca aide pas, mais je crois que en gros, il n'existe que 2 démos :
L'une qui utilise un peu de théorie sur les séries de Dirichlet et donc sur les fonctions analytiques.
L'autre ( de Erdos je crois) qui a reussi a se passer des fonctions holomorphes et à faire une démo totalement élémentaire, mais qui du coup est assez technique ( qui a inspiré un sujet de concours d'entrée à ULM, si je ne dis pas de bétises )

Et honnetement, je te conseillerais plutôt la 1ere. Faudra peut être que tu admettes quelques trucs sur les fonctions analytiques ( tu pourras toujours poser des questions ici ), mais la démo est plus courte, il y a peu de calculs, et donc on comprend mieux les idées générales de la preuve..
Bon et sinon, une derniere question à se poser, c est : est ce que ca a un quelconque rapport avec le theme du tipe imposé?

Sylvain · January 2010

C'est curieux ce que tu dis Namiswan, car il me semblait qu'on était obligé de passer par les caractères de Dirichlet pour certains cas, je crois même avoir lu dans mon Borde qu'une méthode entièrement élémentaire était insuffisante. Mais l'auteur saura sûrement lever tout doute.

Namiswan · January 2010

http://medtib.free.fr/MathsUL93.pdf
Voila un scan du concours en question. Je suis pas rentré dans les détails, mais il semble qu il y ait bien des caracteres ( est ce qu on peut la qualifier du coup de "non élémentaire"?le débat est ouvert ), mais il ne semble n y avoir aucune analyticité qui entre en jeu..

Mais je trouve quand même curieux l'énoncé: "il est impossible de trouver une preuve élémentaire"
C est défini comment ,le mot "élémentaire"?

AMA5 · January 2010

Bonjour à tous,

Merci pour ces réponses rapides!

Guego a écrit:

IMO : Il s'agit des olympiades internationales de maths, qui sont réservées à des élèves qui n'ont encore commencé aucune étude supérieure, mais (et c'est un énorme mais) qui sont parmi les tous meilleurs de leur pays, donc la super élite mathématique des lycéens, en gros.

Oui, mais je parlais plutôt du "Phase 3 Level 2", ça correspond à quoi?

Namiswan a écrit:

Apres pour la démo à choisir, je n arrive pas à aller sur ton lien et je connais pas Chapman, donc ca aide pas, mais je crois que en gros, il n'existe que 2 démos :
L'une qui utilise un peu de théorie sur les séries de Dirichlet et donc sur les fonctions analytiques.
L'autre ( de Erdos je crois) qui a reussi a se passer des fonctions holomorphes et à faire une démo totalement élémentaire, mais qui du coup est assez technique ( qui a inspiré un sujet de concours d'entrée à ULM, si je ne dis pas de bétises )
Et honnetement, je te conseillerais plutôt la 1ere. Faudra peut être que tu admettes quelques trucs sur les fonctions analytiques ( tu pourras toujours poser des questions ici ), mais la démo est plus courte, il y a peu de calculs, et donc on comprend mieux les idées générales de la preuve..
Bon et sinon, une derniere question à se poser, c est : est ce que ca a un quelconque rapport avec le theme du tipe imposé?

Pour les TIPE de sup, il n'y a aucun thème imposé: c'est totalement libre!
Et je pense que le PDF que j'ai, utilise la première méthode, donc c'est bon.

Personne pour les question 2 et 3 ?

borde · January 2010

Si je peux me permettre, je dirais que, raisonnablement, toute preuve de ce théorème est à proscrire en $1$ère année (et même $2$nde année), même celle due à Shapiro (et non Erdös) qui évite le recours à l'analyse complexe.

Elle utilise néanmoins de façon profonde la théorie des caractères de Dirichlet, et plus généralement les caractères d'un groupe. Les notions de base d'Algèbre fondamentale en 1ère année (et aussi 2nde année) sont traitées de manière trop succinte pour être vraiment capable de comprendre les tenants et aboutissants de cette théorie.

En revanche, une preuve d'un cas particulier de ce théorème peut être accessible à ton niveau, comme par exemple l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers $p \equiv 1 \pmod n$ qui utilise les polynômes cyclotomiques. On peut trouver cette démonstration dans pas mal de livres dont l'ouvrage de \textsc{L.C. Washington}, {\it Introduction to cyclotomic fields}, Springer GTM 83, 1997 (2nde édition).

Toutefois, si tu y tiens vraiment, voici le schéma de la preuve de Dirichlet revue par Shapiro.

Soit donc à démontrer que l'ensemble des nombres premiers $p \equiv a \pmod q$ est infini.

1. Expliquer d'abord pourquoi la condition $(a,q)=1$ est nécessaire. Supposer dans la suite cette condition vérifiée.

2. Expliquer aussi pourquoi les méthodes euclidiennes échouent (théorème de Schur--Murty dont on a déjà parlé ici il n'y a pas bien longtemps).

3. L'invention cruciale de Dirichlet (prononcer "Diriklé").

Au milieu du 19ème siècle, Dirichlet a très vite compris qu'il fallait utiliser une méthode à la Euler (c'est-à-dire une méthode analytique) pour arriver au résultat. Il est nécessaire de définir une {\it fonction caractéristique} de l'ensemble des entiers $n \equiv a \pmod q$. C'est là le coup de génie de ce mathématicien : la création de ce que l'on appelle aujourd'hui {\it les caractères de Dirichlet}.

Il faut donc :

(i) Les définir. Définir le caractère principal $\chi_0$ à part.
(ii) Vérifier qu'ils fournissent bien la fonction caractéristique attendue (relations d'orthogonalité).
(iii) Bien définir les sommes à estimer dans lesquelles ces caractères apparaissent.

4. Pour estimer ces sommes, Dirichlet a eu l'idée d'utiliser les séries génératrices de ces caractères, donc il faut :

(i) Définir les fonctions $L(s,\chi)$ de Dirichlet (avec $s \in \mathbb{R}$, pour ne pas compliquer le propos).
(ii) Regarder le domaine de convergence (ceci fait appel à un critère de 2ème année : le critère d'Abel). En particulier, il est nécessaire de montrer que la série converge au point $1$ lorsque $\chi \not = \chi_0$.
(iii) Bien comprendre que le point crucial de la démonstration réside dans la non-annulation du nombre $L(1,\chi)$ lorsque $\chi \not = \chi_0$.

5. Ensuite, faire les calculs, ce qui signifie concrètement :

(i) Expliquer comment le nombre $L(1,\chi)$ apparaît dans le problème.
(ii) Faire un certain nombre d'estimations pas toujours simples.
(iii) Démontrer que $L(1,\chi) \not = 0$ lorsque $\chi \not = \chi_0$.

Bref, tout ceci est un gros travail, et il me paraît peu raisonnable de l'entreprendre dès la 1ère année.

Pour les références, n'importe quel livre sérieux de théorie analytique des nombres fait l'affaire. En voici deux exemples :

[1] \textsc{T. Apostol}, {\it Introduction to analytic number theory}, Springer UTM, 1976.

Très bon livre, facile à lire.

[2] \textsc{H. Davenport}, {\it Multiplicative number theory}, Springer GTM 74, 2000 (4ème édition).

La référence habituelle, mais plus difficile à lire que le précédent. Niveau M1/M2 requis.

Borde.

AMA5 · January 2010

Merci beaucoup borde, ton post m'a beaucoup aidé à voir clair les choses!

Je vais quand même essayer de l'étudier (il y a des gens qui l'ont fait les années précédentes et qui s'en sont pas mal sortis, donc je pense que c'est jouable).

aléa · January 2010

Namiswan écrivait:

> L'autre ( de Erdos je crois) qui a reussi a se
> passer des fonctions holomorphes et à faire une
> démo totalement élémentaire, mais qui du coup est
> assez technique ( qui a inspiré un sujet de
> concours d'entrée à ULM, si je ne dis pas de
> bétises )

Je ne peux pas te dire si ça vient d'Erdös, mais il y a effectivement ça dans le sujet Ulm/Lyon 1993 (j'ai planché dessus !)

ev · January 2010

Et la deuxième compo d'Ulm/Sèvres (groupe A) c'était sur la cueillette des fraises, peut-être ?

Le corrigé de la dernière question (RMS 90 (1979-80) p 366) est une référence du genre.

amicalement,

e.v.

Guego · January 2010

Ci-joint le sujet et un corrigé d'Ulm-Lyon 93 pour ceux qui ne l'aurait pas :

borde · January 2010

{\it Je ne peux pas te dire si ça vient d'Erdös}

Non, de Shapiro (voir mon message, certes un peu long, plus haut).

{\it Je vais quand même essayer de l'étudier}

Alors bon courage, et si tu as des questions, n'hésite pas $\dotsc$

Borde.

Namiswan · January 2010

Je ne pense pas que ce soit si infaisable que ça. De souvenir, tout ce qu'on utilise sur les caracteres, c est le fait ( fondamental) que la somme sur $\chi$ des $\chi(k)$ vaut 0 si k n est pas congru à 1 modulo n, et une constante positive sinon. Ceci permet de relier la somme des 1/p sur p premier congru à a mod n aux sommes des $\chi(p)/p$ sur $p$ premier. Si $\chi=\chi_0$ est le caractére trivial, l argument d'Euler montre que ca diverge. Donc il suffit de montrer que pour $\chi$ non trivial, la somme des $\chi(p)/p$ pour $p$ premier converge. Pour se faire, on réutilise la méthode d'Euler et on se ramene ainsi à prouver que $\sum_k \chi(k)/k$ converge (facile) vers un réel qui surtout doit etre non nul. Déja à cette étape, on peut vérifier facilement le théorème de Dirichlet directement si $n$ est donné. Suffit de calculer les sommes partielles suffisament loin pour vérifier que la limite est non nulle. Et pour montrer que c est non nul en toute généralité, on voit que s il existait un $\chi$ tel que cette limite est nulle, le produit su $\chi$ des $\sum_k\chi(k)/k$ serait fini, car en un certain sens la somme qui est nulle compense la somme infinie dûe à $\chi=\chi_0$. Puis là on utilise un peu d'analyse complexe sur les séries de Dirichlet pour vérifier que ceci n'est pas..

Donc voilà, y a probablement certaines profondeurs dans cette démo qui m'échappent ( n'étant pas du tout un spécialiste sur le sujet ), mais en surface en tout cas, la démo semble assez claire et l enchainement est assez logique ( je ne dis évidemment pas que c est facile, d'ailleurs pour moi c'est pas humainement trouvable par quelqu'un qui ne s'appelle pas Dirichlet ^^ ), et je pense qu'un bon éléve de taupe peut avec un certain investissement au moins en comprendre les grandes lignes. Mais p-e qu'il faudra quand même prévoir les 2 ans de taupe pour préparer ca...

borde · January 2010

Tout ce qui est dit ci-dessus a déjà été dit plus haut, mais en moins détaillé.

Dire {\it on réutilise la méthode d'Euler} est un raccourci qui cache pas mal de points de la démonstration.

Pour anticiper des éventuelles questions qu'un jury peut être amené à poser lors d'un oral quel qu'il soit, j'ai préféré mettre en garde d'éventuels candidats à une preuve de ce difficile résultat. Par exemple, combien d'étudiants peuvent être capables de répondre {\it correctement} à la question basique : {\it qu'est-ce qu'un caractère de Dirichlet de module $q$} ?

Derrière cette question, il y a la structure fondamentale de $\mathbb{Z} / q \mathbb{Z}$ qui n'est officiellement plus enseignée en cpge.

Quand tu dis qu'il est "facile" de prouver que la série $\sum_{k \geqslant 1} \chi(k)/k$ converge lorsque $\chi \not = \chi_0$ (ce dernier étant traditionnellement nommé caractère "principal" en théorie analytique, alors que les théoriciens algébriques l'appellent plutôt caractère "trivial"), c'est vrai à condition :

(i) d'avoir compris ce qu'est la convergence d'une série.

(ii) de disposer du bon outil, ici la règle d'Abel. Cette régle impose le contrôle des sommes partielles $\left | \sum_{n \leqslant x} \chi(n) \right |$ pour tout caractère non principal de Dirichlet. Ces caractères étant périodiques au moins de période le module, un petit calcul montre que ces sommes sont effectivement bornées, mais il faut le faire.

Alors, c'est vrai, quand on a l'habitude, tout ceci est de la routine, mais justement : les $1$ère (et même $2$nde) année ont-ils l'habitude de ces techniques d'analyse ?

Borde.

leg0 · January 2010

bonjour

Mr Borde, si je comprends bien, on a pas le droit dans un cas précis : montrer l'infinité des premiers $p \equiv a \pmod q$ de faire par exemple: référence aux suites en progression arithmétiques.
exemple du cas: montrer l'infinité des premiers $p \equiv 3 \pmod 8$ en montrant simplement que cette suite est équivalente à la suite des entiers $p \equiv 19\ [480]$.

soit la suite: 19, 499 , 979......+k480.

("cette suite est congrue 3 mod 8"), si le premier terme est premier et qui il ne divise la raison, ou que le premier terme n'a pas, de facteur P qui divise la raison.
soit la raison = 480 = K 30 pour K = 16 = n.8

cette suite contient donc une infinité de premiers.

Le contraire,
contredirait le théorème de Chebotarev sur la densité des premiers en progression arithmétique, et qui généralise le théorème de Dirichlet sur l'infinité de premiers, de telle suite.
on peut simplement faire appel à de telle suite en progression arithmétique. pour démontrer ces cas ...non?

ou par exemple: montrer l'infinité des premiers $p \equiv a \pmod q$
avec par exemple : p = 19 mod 30, a = 2 et q =7.

cette suite est équivalente à la suite des entier $p \equiv 79\ [210]$ ils sont tous congrus 2 mod 7,
79 est premier, il ne divise pas la raison la suite contient une infinité de premiers

cela revient à montrer qu'il s'agit de la suite 77 + k30, avec k = 7 à laquelle j'ai rajouté 2 à tous les termes.;

77 a pour facteur P 11 et 7 la raison étant 210 qui est divisible par 7.
cette suite ne contient donc que des entiers non premiers.

il est simple de montrer que la suite 7 * 7[30] donne la suite 49 [210] (entièrement composée, sans nombre premier)

les deux suites 79 et 49 mod 210, sont de même raison, avec un écart de 30, elle appartienne à la suite P = 19 [30], et ne peuvent pas converger l'une vers l'autre.

sinon la suite 79 mod 210 serait finie en nombre premiers, et contredirait Chebotarev ainsi que Dirichlet.

voila la question qui pose problème, peut on procéder comme ceci tout simplement ?
merci

borde · January 2010

Bonjour Leg,

Je ne suis pas sûr d'avoir tout compris...

Mais invoquer le théorème de Chebotarev ici (qui, effectivement, généralise le théorème de Dirichlet) revient à utiliser un marteau-piqueur pour écraser un canari.

Borde.

leg0 · January 2010

pauvre bête ...:)

Namiswan · January 2010

J'avoue, je me suis peut etre un peu enflammé ( la fatigue sans doute lol ). Il est vrai qu'en sup, a priori on sait même ce que c est qu'une série, donc c'est pas gagné...Donc remplacez dans mon post "bon éléve" par "très bon éléve qui a l habitude d'aller plus loin que le programme"( ce qui n est pas évident avec tout le boulot de prépa..)

En fait Borde, je pensais que en spécialiste, que tu disais que la preuve du théo. de Dirichlet était trop "profonde" pour être abordée sérieusement sans tout un bagage de théoricien des nombres qui permet de comprendre "ce qui se passe réellement" ( à l instar d un célebre mathématicien-Yves Meyer- qui a dit qu il n avait toujours pas compris ce que c'était qu un espace de Hilbert ) et donc j'ai voulu rétorquer qu'il n y avait pas besoin de comprendre tout le fond du probleme pour comprendre la preuve et pouvoir faire un bon exposé..J étais donc plus ou moins HS.

Voila pour mon mea culpa

AMA, ca ne veut pas dire que je t encourage a abandonner. Si tu es motivé, essayer de comprendre cette preuve ne peut que t être bénéfique. Ca te montrera ce que sont "des vraies maths". Mais n'hésite pas à poser autant de questions que tu le souhaites sur le forum..

Gilles old · January 2010

Bon en résumé AMA c'est ce que je t'avais dit par mail avant de l'aiguiller sur le forum.

borde · January 2010

Salut Namiswan,

Inutile de faire un mea culpa, j'avais compris ton propos.

{\it En fait Borde, je pensais que en spécialiste, que tu disais que la preuve du théo. de Dirichlet était trop "profonde" pour être abordée sérieusement sans tout un bagage de théoricien des nombres}

Tu as mis le doigt sur ce que je pense, effectivement.

Mais je tiens à signaler que je n'ai jamais prétendu avoir la vérité absolue et que tout avis sur la question est au moins aussi "valable" que le mien, évidemment. Je trouve même cela plutôt bien, car le débat a été largement alimenté, ce qui va permettre à AMA de se faire sa propre opinion.

Pour l'anecdote, je dirais que, si j'étais un membre de jury de TIPE et si je voyais un élève de prépa (1ère ou 2ème année, peu importe) traiter correctement l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers de la forme $p \equiv 1 \pmod n$ avec $n \geqslant 2$ entier quelconque, je serais très favorablement impressionné.

Borde.

AMA5 · February 2010

Bonjour, me voici de retour porteur d'une petite nouvelle: comme me l'a conseillé borde, je vais finalement étudier le cas particulier de l'infinitude des p congrus a 1 mod m.

Au fait j'ai reçu le livre d'Apostol, la preuve de l'IMO (cf mon premier post pour lien) est un copier-coller du livre. J'ai passé un
peu plus d'une semaine a étudier le pdf, a apprendre les démos et tout, mais franchement il y a des trucs qui me dépassent, comme par exemple les longs calculs pour montrer la convergence des sommes avec les séries L, ou encore pour montrer qu'elles ne s'annulent pas pour un caractère non principal. Par contre je pense avoir bien compris les caractères de Ditichlet (pour répondre a un post de borde, les Z/pZ, théorème de Lagrange sont enseignés dans ma prepa, en hors programme bien sûr).

Je me suis dit qu'il fallait mieux faire un sujet que je maitrise parfaitement qu'une démo que je ne comprends que superficiellement.
Bref, je repart de (presque) zéro, direction le cas particulier du théorème de Dirichlet pour m=1.

Je redemande donc votre aide. J'ai trouvé deux sources sur le net:
http://auriolg.free.fr/doc/dirichlet.pdf
http://www.thehcmr.org/issue1_1/igor.pdf
Ce sera à peu près les mêmes questions:
1. Ces deux démonstrations sont-elles abordables pour un sup? Laquelle privilégier? (à vue de nez elles me semblent compréhensibles)
2. Pouvez-vous me faire un très rapide résumé du plan de la preuve?
3. Des références qui montrent et expliquent clairement ce cas particulier du théorème de Dirichlet?

Pour la question 3, borde tu m'as conseillé Introduction to Cyclotomic Fields de Washington, je suis allé sur Google Books mais je n'ai pas trouvé la démo dans le livre en question, c'est dans quel chapitre ?

Dernière chose, j'ai vu qu'il y avait un fil sur ce forum sur exactement mon sujet, donc les questions je les pose ici ou dans
l'autre fil?

Merci beaucoup pour votre patience et aide.

Gilles old · February 2010

La référence que j'ai utilisée est le Gozard. Il y a aussi cela dans les Francinou-Gianella. A mon humble avis, munis-toi d'un livre d'algèbre de L3, c'est là qu'est l'essentiel du boulot. La preuve dudit théorème en elle-même n'est pas bien compliquée une fois les outils nécessaires maîtrisés.

Le Washington ne t'apportera rien à ce sujet, tu peux l'oublier. Si tu y tiens vraiment, il doit se trouver sur les serveurs hongrois... (un modérateur pourra censurer s'il le souhaite

)

borde · February 2010

{\it Le Washington ne t'apportera rien à ce sujet, tu peux l'oublier}

Comment ça ?

Il démontre quand même l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers $p \equiv 1 \pmod n$ via les polynômes cyclotomiques (proposition 2.10 et corollary 2.11 page 13).

Alors, certes, le texte n'est peut-être pas suffisant, et il faudra penser à se munir d'autres documents, mais de là à s'en séparer, ce serait dommage, non ?

Par ailleurs, je ne peux que répéter mon plan que j'avais mis l'autre jour, mais simplifié.

1. En guise d'introduction, je pense qu'il faut commencer par poser le problème, à savoir qu'il s'agit d'une généralisation du théorème d'Euclide sur les nombres premiers. D'où les premières questions :

(a) Condition(s) nécéssaire(s) au problème ?

(b) Pourquoi a-t-on mis plus de 20 siècles pour passer du cas "simple" des nombres premiers (Euclide, -200 av JC) au cas des nombres premiers en progression arithmétique (Dirichlet, vers 1850) ?

(c) Dire pourquoi les méthodes d'Euclide ne s'adaptent plus dans le cas général (ce qui, au passage, répond en grande partie à la question précédente) et citer le thèorème de Schur-Murty.

(c) Il faut alors se mettre dans la peau de Dirichlet : qu'a-t-il fait ?

Réponse : tenter d'adapter la méthode d'Euler au cas des progressions arithmétiques, i.e. estimer la somme

$$\sum_{\substack{p \leqslant N \\ p \equiv a \pmod q}} \frac{1}{p}.$$

2. On peut ensuite revenir au cas plus simple des nombres premiers $p \equiv 1 \pmod n$ et signaler qu'eux peuvent se démontrer par un argument à la Euclide via les polynômes cyclotomiques, d'où :

(a) Définir ces polynômes et leurs principales propriétés.

(b) Montrer comment ces polynômes peuvent être utilisés dans la démonstration de l'infinitude des nombres premiers $p \equiv 1 \pmod n$.

Borde.

AMA5 · February 2010

Merci encore une fois à vous deux pour ces réponses rapides, et surtout un grand merci à borde pour ce plan très clair.
Je voulais demander une chose : dans le lien thehcmr que j'ai donné deux posts plus haut, ils partent de la démo des nombres premiers congrus à 1 mod 4, et de là, ils disent que cette démo nous incite à utiliser les polynômes pour montrer l'infinitude des p congrus à 1 mod 4. Je ne comprends pas trop ce passage... En gros d'où vient l'idée d'utiliser des polynômes cyclotomiques ?

Sinon pour l'étape 1a borde la condition nécessaire c'est que les entiers a et b soient premiers entre eux, c'est tout ?

Pour la question b, je ne sais pas... Pourquoi au fait ?

Gilles old · February 2010

Borde,

Ce que je voulais dire c'est que notre ami AMA ne gagnera rien à se décarcasser à trouver le Washington (je doute qu'il soit dans les CDI des lycées, encore que...), alors que tout ce dont il a besoin figure dans des ouvrages où la façon dont c'est exposé est sans aucun doute plus détaillée (je n'ai pas l'ouvrage sous les yeux pour consulter les alinéas 2.10 et 2.11, mais le style de Washington est plutôt à la concision pour les souvenirs que j'en ai), notamment dans le Francinou-Gianella qui lui doit figurer dans les CDI.

Amicalement,
Gilles.

borde · February 2010

OK, je suis d'accord sur la forme, et il est vrai que ce n'est pas le souci premier de Washington que de démontrer cela. Et curieusement, je viens de vérifier sur Google Scholar que les pages 13-14 sont interdites d'accès (alors que les pages 12 et 15 ne le sont pas, pas de bol !).

Mais ses démonstrations sont suffisamment claires pour un bon élève de cpge. Et je pense qu'AMA devrait pouvoir aller dans une BU, non ?

AMA,

{\it Sinon pour l'étape 1a borde la condition nécessaire c'est que les entiers a et b soient premiers entre eux}

C'est exact, mais c'est important. Du coup, le théorème de Dirichlet est de montrer que la condition est également {\it suffisante}, ce qu'a fait ce génie qu'était Dirichlet.

La question (c) répond à la question (b). On peut par exemple imaginer que des mathématiciens antérieurs aient été tentés de généraliser aux suites arithmétiques l'argument d'Euclide sans pouvoir y arriver. Et pour cause : théorème de Schur-Murty.

Je n'osais pas trop en parler, mais mon livre traite de l'infinitude des nombres premiers $p \equiv 1 \pmod q$ (voir page 70), avec $q$ {\it premier} impair. Ce cas particulier permet sans doute de mieux voir pourquoi ces polynômes cyclotomiques interviennent dans ce débat.

Enfin, un must serait également de conclure ce travail par ouvrir le débat en parlant de deux directions possibles :

1. Le TNPPA (théorème des nombres premiers en progressions arithmétiques), i.e estimation de la fonction de compte $\pi(x;q,a)$ : différences et analogies avec la fonction $\pi(x)$ et le TNP.

ou bien

2. Existe-t-il des suites moins denses que les progressions arithmétiques et dans lesquelles on est capable de mesurer la "proportion" des nombres premiers ?

Théorème de Piatetski-Shapiro (1953), théorème de Friedlander \& Iwaniec (1997) pour les nombres premiers de la formes $a^2+b^4$, théorème de Heath-Brown (2001) pour les nombres premiers de la forme $a^3+2b^3$ (voir mon livre page 83).

Problèmes ouverts : on ne sait toujours pas s'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $n^2+1$ ou de Mersenne (de la forme $2^n-1$). Pour ces derniers, on ne pense pas que ce problème puisse être résolu actuellement (!)

Une autre référence qui peut éventuellement être utile : les cours de Chen (qui est un spécialiste)

http://rutherglen.ics.mq.edu.au/wchen/lndpnfolder/dpn04-pap.pdf

Borde.

leg1 · February 2010

borde écrivait:

> Problèmes ouverts : on ne sait toujours pas s'il
> existe une infinité de nombres premiers de la
> forme $n^2+1$

> Borde.

bonjour
est ce que l'on a chercher....?

car n, est forcément pair on obtient de suite "entre autre":

les entiers 41[60] or on sait que cette suite en contient une infinité, et une densité équivalente à la suite 11[60]
("famille 11[30]")

$n^2+1$ donne : 41 + K60

101 ... .......... 401
1601 ............. 2501
4901 ............ 6401
10001........... 12101
16901........... 19601
25601........... 28901
36101........... 40001
48401........... 52901
62501........... 67501

ces deux suites, ont deux suites de différence d, en progression arithmétique de raison 1800
.
ce qui nous donne modulo K 60 , k ayant pour différence deux suites de raison 30

K = 1,26 ;81 ;166; 281 ;....etc
K = 6, 41 ; 106 ; 201 ; 326...etc

dire que ces suites ne contienne pas une infinité de premiers, est équivalent à dire,

que la suite arithmétique 41 de raison modulo 60 ne contient pas une infinité de premiers!

ce qui est impossible (Chébotarev et Dirichlet)

et il est facile de construire les suites de même raison dans la suite 41[60]
par exemple:" autrement dit d'utiliser toute la famille 41[60]

K = 3, .... 18; 63; 138......543 +(165+30) ..+...(195+30) etc
41 +180 +1080....etc

K = 2,..12; 52 ;122;...

K = 5, 35, 95; 185...

K = 4, 9 ;44 ; 109 ; 204 ;...etc

tableau excel joint en exemple.

On gagne une bouteille...:)o

leg0 · February 2010

le tableau est resté coincé...

borde · February 2010

{\it est ce que l'on a cherché}

Oui, et on cherche toujours...

Borde.

leg0 · February 2010

donc si deux suites ayant pour différence chacune, une différence qui est une suite en progression arithmétique de raison k30 les suites en question ayant comme premier terme 101 et 401,ne contiendraient pas une infinité de premiers ?

et ni les 4 autres ? pourtant équivalentes....

AMA5 · February 2010

Bonjour,

J'ai une petite question: Comment montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme$4n+1$ ?
J'ai lu que les nombres premiers $p$ de la forme $4n+1$ peuvent être caractérisés par l'existence d'une solution à l'équation $x^2\equiv -1 \pmod p$, mais je n'ai pas trop compris. Merci.

leg0 · February 2010

si une suite en progression arithmétique de raison k entier positif et où le premier terme ne divise pas la raison, cette suite contient une infinité de premier, et ce quelque soit le point de départ dans une suite arithmétique contenant une infinité d'entier.

en supprimant les multiples de 2.3 et 5 il te reste les entier de l'ensemble Z/30Z soit 8 suites en progression arithmétiques de raison 30 contenant l'infinité de tous les entiers congru P[30] et > 5

$4n+1$ te donne déjà la première suite 13[60] qui contient une infinité de premier = 13[30] et une densité de premiers équivalent à 43[60], car il est évident de remarquer que la suite 13[30] se partage de façon équivalente en deux suites arithmétiques de raison 60....

la deuxième étant 17[60].

En supprimant de la suite $4n+1$; les 2n, et les entiers impairs 3m et 5m il reste bien les entiers P[60].
soit une infinité de premiers $4n+1$.

AMA · February 2010

J'ai trouvé pour les $4n+1$, merci leg mais ce n'était pas tout a fait une démo comme ça que je cherchais.

Je me base donc sur le pdf du site auriolg (cf plus haut pour lien), et voici mes premières questions :
1) Au Lemme 1.5, j'ai saisi la première partie, mais je lâche après le "autrement dit".
2) Comment passe-t-on de ce lemme a la proposition 1.6?
3) Dans la preuve du lemme 1.7, je ne comprends plus grand chose a partir du "et d'après le lemme de Gauss. Au passage, la fonction gamma dans ce lemme désigne bien le coefficient dominant d'un polynôme?

Je passe ce samedi pour le premier "vrai" essai, donc je ne vais bosser que ça , et j'ai vraiment besoin de votre aide.

Merci.

ps: J'envoi d'un iPhone donc désole pour les accents...

qadassi · February 2010

Est-ce qu'un exemple ne te suffirait pas?
Comment cela se passe-t-il dans $\mathbb{U}_{12}$?
Essayes d'illustrer ligne par ligne ta démonstration avec les éléments de cet exemple

De même pour le lemme 1.7, que ce passe-t-il dans $\mathbb{Z}_2[X]$ ou $\mathbb{Z}_3[X]$?
Pareil, essayes d'illustrer ta démonstration avec les éléments de cet exemple.

borde · February 2010

Bonjour,

Pour le lemme 1.7, $\gamma(P)$ désigne le {\it contenu} du polynôme $P$, i.e. le pgcd de ses coefficients. Un polynôme est dit primitif si son contenu est égal à $1$.

Borde.

AMA · February 2010

Bonjour,

Oui après de nouvelles recherches (et quelques exemples) j'ai compris les 3 questions ci-dessus.

J'ai juste deux petites questions :
- Dans la démo du théorème 1.10, 1), je ne comprends pas le passage "si $w< n$, il existe $d$ diviseur strict de $n$ tel que $p$ divise $\phi_d(a)$"
- Dans mon cours, le théorème de Lagrange me dit que tout sous-groupe de $G$ fini a pour cardinal un diviseur de $\mathrm{card\,}G$. Mais dans ce même théorème 1.10, on me dit que d'après le théorème de Lagrange l'ordre d'un élément divise le cardinal du groupe. Comment passer de l'un à l'autre ?

Merci !

borde · February 2010

{\it Comment passer de l'un à l'autre ?}

Par définition de l'ordre d'un élément : si $G$ est un groupe fini et $a \in G$, l'ordre de $a$ est le cardinal du sous-groupe de $G$ engendré par cet élement (si ce cardinal est fini).

Borde.

AMA · February 2010

Ok, merci encore une fois. Une remarque: la réciproque du théorème de Dirichlet est-elle vraie? Si non, un contre-exemple ?

ryo. · February 2010

Tu veux donc savoir si le fait qu'il existe une infinité de nombres premiers congru à a modulo b implique que a et b sont premiers entre eux ?
Si c'est bien cela, le mieux est de regarder la contraposée de ce que je viens de marquer...

AMA · February 2010

Ah oui c'est vrai , merci.

AMA · February 2010

Dans le lemma 5 du pdf thehcmr, je ne comprends pas où sert l'hypothèse :
"let p be a prime, a and m>0 be integers prime to p."

Merci.

AMA · March 2010

Bonjour, je suis de retour après mon premier oral qui s'est très bien passé (oubliez le post juste au-dessus de celui ci, c'est une question due au stress avant le passage).

Me voilà donc motivé, mais malheureusement je possede toutes les demonstrations de mon TIPE (il reste néanmoins à les apprendre par coeur), donc il n'y a plus de challenges...

J'ai donc pensé a approfondir. Dans le papier du gars d'Harvard, il y a à la fin de la section sur les nombres premiers une petite étude quantitative pour obtenir ces nombres premiers en exprimant explicitement les polynômes cyclotomiques. Pensez-vous que cette voie soit possible? Intéressant ? Abordable pour moi?

Sinon un truc qui m'intéresserais c'est de démontrer le théorème de Schur Murty. Avez-vous une démonstration qui serait de mon niveau?

Sinon si vous avez des idées originales pour approfondir mon Tipe, n'hésitez pas!

Merci!

Hors-sujet · March 2010

Pour quel concours y a-t-il des oraux en mars ?

borde · March 2010

Le théorème de Schur-Murty, qui a pris près de 70 ans, Schur ayant démontré la condition nécessaire dans les années 1910 (1912, sauf erreur) alors que Murty a obtenu la condition suffisante à la fin des années 80, n'est pas une chose aisée.

On doit cependant trouver le résultat de Murty en ligne, si ma mémoire ne me joue pas des tours.

Ceci étant, je t'avais donné quelques exemples d'extensions possibles de ce TIPE, qui ne sont certes pas faciles non plus. La plus naturelle est de s'occuper de la fonction de compte $\pi(x;q,a)$, ce qui a donné naissance au TNPPA (de la même manière que la fonction de compte $\pi(x)$ a finalement donné naissance au TNP).

Le problème est assez difficile, mais est très bien traité dans le livre de Davenport.

D'autres extensions sont possibles comme par exemple déterminer des nombres premiers dans des suites moins denses qu'une suite arithmétique (exemple : théorème de Piatetski-Shapiro).

Borde.

AMA · March 2010

Le livre de Davenport dont tu parles borde, c'est bien "Multiplicative number Theory"? Si oui je l'ai feuilleté sur Google Books et il m'a semblé assez costaud pour une extension à un sujet de Tipe. Au passage borde je me suis procuré ton excellent livre il y a quelques jours.

Pour revenir au TNPPA, je l'ai évoqué en conclusion lors de mon dernier passage, mais j'ai l'impression qu'il demande un trop gros investissement par rapport à ce que j'ai déjà fait et au temps qu'il me reste (3 mois, c'est-a-dire que j'en suis à la moitié). De plus mon TIPE s'intitule "Etude d'un cas particulier du théorème de Dirichlet", et le TNPPA est le grand cas général dont mon TIPE, j'ai juste l'impression qu'il est un peu trop large, et trop difficile comme tu le dis, par rapport à la démonstration du théorème de Dirichlet pour a=1 (qui reste le cœur de mon sujet). D'ailleurs je n'ai même pas osé entreprendre la démonstration du théorème de Dirichlet complet, donc je crains que le TNPPA soit un peu hors de ma portée. A moins que tu me contredises (car je n'y connais rien pour l'instant, ce sont juste des "impressions"...)
Aussi, pour les nombres premiers dans des suites moins denses qu'une suite arithmétique, je pense que cela s'éloigne un peu trop de mon sujet...

Donc ce que je cherche c'est un approfondissement ou un élargissement de mon sujet, abordable pour un élève de sup.
Ce que j'ai pensé faire, c'est dans ton livre la méthode de Dirichlet pour démontrer l'infinitude des nombres premiers congrus à 1 modulo 4. Comme ça je pourrais par exemple renommer mon TIPE en "aspects analytiques et algébriques du théorème de Dirichlet". Le problème c'est que la démo prend quelque 5 ou 6 pages, et elle m'a l'air dure. Tu penses que ce soit abordable ? Pas trop profond pour moi? Que ce soit une bonne idée?

Une opinion sur l'idée proposée plus haut d'expliciter les nombres premiers congrus à 1 modulo a en explicitant les polynômes cyclotomiques? Ou une autre direction pas trop difficile et sans trop s'éloigner du sujet?

Merci!

borde · March 2010

{\it Au passage borde je me suis procuré ton excellent livre il y a quelques jours}

Merci de ton intérêt pour ce travail.

{\it Tu penses que ce soit abordable ? Pas trop profond pour moi? Que ce soit une bonne idée?}

Oui, c'est une très bonne idée. Si la preuve est longue, c'est parce que j'ai voulu tout écrire en détail. Si tu maîtrises bien certains sujets (comme la sommation d'Abel, par exemple), tu pourrais peut-être sauter quelques étapes.

Ce livre a entre autres été écrit pour les élèves de CPGE et les capésiens / agrégatifs, et pas toujours pour des spécialistes. Cet objectif m'a obligé à détailler un certain nombre de raisonnements un peu plus que d'habitude.

Pour le TNPPA, tu as raison, c'est un gros morceau, surtout si l'on s'intéresse au terme d'erreur pour lequel les méthodes classiques fournissent un tel terme d'erreur grossièrement dépendant du module des caractères de Dirichlet en jeu, rendant ainsi un tel résultat quasi-inexploitable en pratique, et obligeant les spécialistes à chercher plus loin.

Sous cet angle, le plus beau projet "élémentaire" (i.e. sans utiliser les complexes) qui existe s'appelle {\it l'inégalité de Brun-Titchmarsh}. Elle existe sous différentes versions (celle que j'ai mise dans mon livre, en annexe, est la plus récente et la plus élégante), mais les idées pour l'obtenir sont toujours les mêmes : les méthodes de crible.

Si tu en as le courage...

Borde.

AMA · March 2010

Finalement j'ai regardé de plus près la démonstration, et elle est un peu trop compliquée à faire (il faut introduire beaucoup de notions, démontrer d'autres résultats, dont la sommation d'Abel que je connais pas (pour l'instant), etc.). Donc voilà, à moins qu'il y ait une autre méthode pour prouver la convergence de la série $\sum_{p\leq N}\frac{(-1)^{\frac{n-1}{2}}}{p}$ je suis preneur, mais sinon je suis un peu à court d'idées...
De même l'inégalité de Brun-Titchmarsh est un peu difficile, et je ne veux pas trop m'éloigner du théorème de Dirichlet en lui-même.

J'ai pensé expliquer les idées de Dirichlet comme dans le livre (les caractères de Dirichlet, la convergenece de la fonction L), mais sans faire tous les calculs un peu bourrin, en gros j'admettrais tous les théorèmes que j'énonce, d'après vous est-ce une bonne idée? (c'est vrai que ce n'est alors pas un vrai travail mathématique...).

AMA · April 2010

Salut borde,

j'ai une petite question: à la page 49 de ton livre, je ne comprends pas trop le passage :
"On développe le produit $\prod_{p\leq n}(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^3}+...)$, et on obtient grâce au théorème fondamental de l'arithmétique, la somme $\sum_{k\in E_n}\frac{1}{k}$, où $E_n$ est l'ensemble des entiers naturels $k$ dont les facteurs premiers sont inférieurs ou égaux à $n$"

Peux-tu expliquer ce passage plus clairement?
Merci beaucoup!

PS: Je réitère (sans grande conviction) ma question: existe-t-il un moyen plutôt simple de démontrer la convergence de la série $\sum_{p\ge3}\frac{(-1)^{\frac{p-1}{2}}}{p}$ ?

Sylvain · April 2010

Je me permets de répondre à la place d'Olivier. Informellement, ça veut dire que tout nombre de la forme $p_{1}^{a_{1}}...p_{k}^{a_{k}}$ apparait dans le développement de ton produit au dénominateur d'une fraction dont le numérateur est $1$, tu es d'accord avec ça ?
Or le théorème fondamental dit en substance que tout naturel non nul peut s'écrire sous cette forme, d'où la conclusion. Est-ce plus clair ?

AMA · April 2010

Merci Sylvain, j'ai compris.

Dans le papier http://www.thehcmr.org/issue1_1/igor.pdf, page fin 17 début 18, dans la preuve de
" $p|\Phi_m(a)$ ssi l'ordre de $a$ modulo $p$ est $m$ ".
Un moment il parle de réductions, je ne vois pas ce que c'est. Est-ce que vous auriez une autre démonstration pour le sens $(\longrightarrow)$ ?

Merci.

Théorème de Dirichlet, progression arithmétique

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Bonjour!

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