somme des séries de Riemann

Bonsoir,
Apéry a démontré en 1977 que ce nombre est irrationnel.
A ce jour on n'en a pas la valeur en fonction des constantes connues (du moins à ma connaissance)

Par contre on peut en avoir une valeur approchée à la précision qu'on veut. 1.202056903

[edit : grillé par gérard0 ]

bonjour

expliciter les séries de Riemann d'exposant impair (2n-1) est en effet un problème ouvert (depuis trois siècles)

Euler est l'auteur de la formule explicitant Zéta(2n) en fonction des puissances de pi et des nombres de Jean Bernoulli (qui fut son précepteur)
les nombres de Bernoulli obéissant à une récurrence simple, la détermination des Zéta(2n) est aisée

Euler s'est penché bien-sûr sur Zéta (qui ne s'appelait pas encore de ce nom) d'exposant impair
connaissant bien les riches propriétés de la fonction Gamma et ses liens avec Zéta et les fonctions trigonométriques
il pensait pouvoir le faire aussi facilement qu'avec Zéta d'exposant pair, il a échoué

Legendre et surtout Gauss à la suite d'Euler ont cherché du côté de la lemniscate de Bernoulli
dont les fonctions trigonométriques présentent des similitudes troublantes avec celle du cercle
la constante oméga de la lemniscate (ou constante de Gauss) est présente d'une façon certaine dans les Zéta(2n-1)
mais cette trigonométrie lemniscatique est très lourde
et ne permet pas en pratique de lever le voile sur le mystère de la récurrence gouvernant les Zéta(2n-1)

Riemann et Ramanujan ont proposé cette formule des Zéta(2n-1) récemment rappelée ici-même
elle donne les liens entre Zéta(2n-1) avec les séries paramétrées (avec n) S1 et S2
S1 = somme pour k=1 à l'infini de k^(-2n-1)/[exp(2k.pi)-1]
S2 = somme pour k=1 à l'infini de k^(-2n-1)/[exp(2k.pi)+1]

Simon Plouffe a explicité chaque Zéta(2n-1) par une combinaison linéaire de S1 et S2
(les coefficients sont des nombres rationnels de plus en plus lourds avec n)
mais les séries S1 et S2 n'ayant pas été explicitées avec les constantes classiques
le problème n'a guère avancé comme le regrette Houssam (dont la trouvaille avec les séries de Fourier mériterait d'être publiée)

moi-même j'ai tenté une ouverture sur le mystère des Zéta(2n-1) avec la série de Bertrand à convergence explosive
somme pour k=2 à +oo de (-1)^k.k^(-2n).ln(k) qui n'est autre que le nombre dérivée (au point x = -2n) de Zéta alternée
nombre dérivée directement lié à Zéta(2n-1) et dont la récurrence suivant n permettrait d'établir directement celle des Zéta(2n-1)
mais j'ai échoué pour l'instant dans la détermination de cette récurrence

il semble que la formule de Riemann-Ramanujan malgré sa lourdeur mérite d'être exploitée
d'une façon générale les séries génératrices S1 et S2 accouchent de fonctions (remplacer n par x) qui méritent une étude approfondie
le mystère des Zéta(2n-1) et celui concernant les zéros complexes de Zéta (hypothèse de Riemann) sont liés d'une façon presque certaine
toute trouvaille sur l'un fera avancer l'étude de l'autre
étant donnée l'importance de la fonction Zéta toute avancée dans ces recherches est bonne à connaître

cordialement