Premiers jumeaux plausible
dans Arithmétique
Bonjour
Aujourd'hui Janos Pintz, connu pour ces travaux avec Goldston et Yildirim, a mis sur arxiv une série de préprints sur le thème des suites de paires de premiers de la forme $(p,p+h)$, où $h$ peut notamment être égal à 2 (i.e. le cas des premiers jumeaux).
En particulier dans ce préprint ci http://arxiv.org/abs/1004.1067 il annonce prouver, sous certaines hypothèses "plausibles" de répartition des premiers, non seulement l'existence d'un infinité de nombres premiers jumeaux mais même une infinité de suites arithmétiques de premiers jumeaux à la Green-Tao. Autrement dit les choses s'accélèrent sérieusement...
[La case LaTeX. AD]
Aujourd'hui Janos Pintz, connu pour ces travaux avec Goldston et Yildirim, a mis sur arxiv une série de préprints sur le thème des suites de paires de premiers de la forme $(p,p+h)$, où $h$ peut notamment être égal à 2 (i.e. le cas des premiers jumeaux).
En particulier dans ce préprint ci http://arxiv.org/abs/1004.1067 il annonce prouver, sous certaines hypothèses "plausibles" de répartition des premiers, non seulement l'existence d'un infinité de nombres premiers jumeaux mais même une infinité de suites arithmétiques de premiers jumeaux à la Green-Tao. Autrement dit les choses s'accélèrent sérieusement...
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Réponses
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Des hypothèses "plausibles" c'est l'hypothèse de Riemann plus quelques autres ? (Bon, ok, je pourrais lire le papier...).
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Pintz est connu indépendamment des deux autres depuis longtemps dans la (petite) sphère des théoriciens analytiques (j'ai personnellement connu d'abord les travaux de Pintz, ceux de Goldston et Yildirim sont venus plus tard).
Il va être en effet intéressant de voir ce qu'ils proposent.
Borde. -
J'ai vu ça moi aussi, je l'avais d'ailleurs contacté par mail il y a quelques semaines à la suite de la mise en ligne d'un de ses preprints pour lui indiquer mon fil "Le ruisseau doré coule toujours". Olivier, sais-tu si ce chercheur lit le français ?
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bonjour,
Veuillez m'excuser de polluer ce fil par une question naïve: est-ce qu'une séquence arbitrairement longue d'entiers équivaut à une infinité ? par exemple, quand on considère $\zeta(2)$, est-ce la somme de tous les carrés d'inverses d'entiers non nuls, ce qui semble être la pensée eulérienne, ou une limite de sommes finies, comportant un nombre arbitraire de termes comme on peut le lire dans un cours élémentaire sur les séries numériques ?? merci d'avance. -
Bonjour Capesard.
Tu poses deux questions différentes :
Non. Par exemple, il existe des suites de premiers en progression arithmétique de longueur aussi grande que l'on veut (donc "arbitrairement longues"). Mais aucune suite arithmétique infinie de premiers ne peut exister.est-ce qu'une séquence arbitrairement longue d'entiers équivaut à une infinité ?
Rien à voir. La pensée eulérienne a été mathématisée grâce à la notion de limite, mais limite de somme de suite "arbitrairement longue" et somme de suite "arbitrairement longue", ce n'est pas la même chose. D'ailleurs, dans la pensée d'Euler, il y avait l'idée implicite de limite (avec l'intuition qu'ajouter le "reste des termes" ne ferait plus vraiment changer le résultat (approché)).$ \zeta(2)$, est-ce la somme de tous les carrés d'inverses d'entiers non nuls, ce qui semble être la pensée eulérienne, ou une limite de sommes finies, comportant un nombre arbitraire de termes comme on peut le lire dans un cours élémentaire sur les séries numériques ??
Comme je ne suis pas sûr de vraiment traiter ton problème, n'hésite pas à revenir.
Cordialement. -
Bonjour Capesard,
Les sommes comportant une infinité de termes n'existent vraiment pas dans la pensée moderne... Plus exactement, elles sont définies comme des limites, ce qui est une façon de gérer l'infini avec du fini.
Pour Euler, cela ne posait aucun problème et il calculait avec des sommes infinies comme il l'aurait fait avec des sommes finies. Parfois, cela marche bien; d'autres fois, on peut avoir des surprises, que l'on commençait à percevoir à son époque (par exemple, à quoi est égale la somme $1-1+1-1+1-...$? avec des regroupements différents, on peut avoir des choses bizarres! 0, 1, 1/2 etc.)
D'où la nécessité qu'il y a eu au 19e siècle d'évacuer l'infini des mathématiques, ou disons de lui donner un statut clair grâce à la notion de limite.
Mais bon, je ne voudrais pas polluer le fil initial, dont le thème porte sur les nombres premiers jumeaux... Si besoin, il faudrait que tu ouvres un autre fil.
Bien cordialement,
Christian
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