(petit) exercice d'aritmétique

Ou encore, une méthode à la main, disons avec les ressources de l'algèbre... ou avec l'aide du calcul formel, si l'on est rebuté par les calculs...
\begin{align*}
A(n)&=n^7-n=n(n^6-1)\\ &=n(n^3-1)(n^3+1)\\ &=n(n-1)(n^2+n+1)(n+1)(n^2-n+1)\\ &=n(n-1)(n+1)(n^4+n^2+1)\\
\intertext{D'autre part:}
B(n)&=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)(n-3)(n+3)\\ &=n(n-1)(n+1)(n^2-4)(n^2-9)\\ &=n(n-1)(n+1)(n^4-13n^2+36)
\end{align*}
Par conséquent:
$A(n)-B(n)=n(n-1)(n+1)(14n^2-35)$
Il est clair que $A(n)-B(n)$ est un multiple de 3, de 2 et de 7, donc de 42 (nombres premiers entre eux).
Comme $B(n)$ est par construction un multiple de 3, 2, 7 (c'est un produit de 7 entiers consécutifs), il en est de même de $A(n)$ qui est égal à $B(n)+(A(n)-B(n))$
Bien cordialement,
Christian

Exact RAJ, pour n'avoir à gérer qu'une seule congruence...
BIen amicalement,
Christian

Précisément, $B(n)$ n'a pas été pris au hasard: il est le produit de 7 entiers consécutifs, dont c'est un multiple de 7... mais aussi de 3... ou de 2... donc de 42 (2, 3 et 7 sont premiers entre eux deux à deux).
L'idée est alors de comparer $A(n)$ à ce fameux $B(n)$... et de montrer que leur différence est aussi un multiple de 2, 3 et 7. Même méthode!
$A(n)-B(n)$ est un multiple de $n(n-1)(n+1)$ donc de 2 et de 3.
C'est aussi un multiple de $14n^2-35=7(2n^2-5)$ donc de 7.

La propriété utilisée est bien celle que tu mentionnes. Dans un produit de $n$ entiers consécutifs, nécessairement l'un d'entre eux est un multiple de $n$: le produit est donc bien un multiple de $n$.

En espérant avoir été clair,
Christian

Je te prouve pourquoi la réponse de LBR cloture l'affaire: si 2 entiers a,b sont premiers entre eux alors il existe 2 entiers x,y tels que xa+yb=1

Supposons que ka = t (tout est entier ici) et que mb=t.

Soit J l'intersection entre (a) et (b) et c un générateur de J.

c = (xa+yb)c = xac + ybc est un multiple de ab
car xac en est un et ybc en est un.
Donc t, qui est un multiple de c, est un multiple de ab.

A merci, donc il reste à prouver le théorème de Gauss (avec Bézout):

Si a divise uv (ka=uv) et est premier avec u alors il existe x,y tels que xu+ya=1.

v=xuv+ya=ka+vya=(k+vy)a=un multiple de a.

Now, j'essaye de voir ce que ça donne si on élimine la coupure Bézout:

ka=t
mb=t

a et b premier entre eux (dans le sens pas de diviseur commun)

(hypothèses)

Soit n le plus entier strpositif de la forme xa+yb.

Soit q=le plus grand entier tel que qn $\leq a$. Donc $qn+r = a$ avec $r<n$

Il s'ensuit que $r = a-q(xa+by) = (1-qx)a + qy b$ ne peut être que nul (il est positif) ou $\geq n$. Il est donc nul.

Il s'ensuit que $n$ divise $a$ (et pour les même raisons divise aussi b)

donc $n=1$ et on finit pareil (on a juste utilisé aucun lemme):

xa+yb=1

k = kxa + kyb = xka + kyb = xmb + kyb = (xm + ky)b

Et donc t = ka = (xm+ky) ba


Dans cette nouvelle preuve, il y a plein de nouvelles coupures. Je verrai plus tard ce que ça donne de les éliminer une à une...