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sur des produits de nombres premiers ?

Envoyé par SXB 
SXB
sur des produits de nombres premiers ?
il y a neuf années
Bonjour

Petite question SVP

Soit (un)n > 0 la suite des nombres premiers (désolé pour la police pourrie).

Existe-t-il un entier n>1, tel que pour tout multi-indice e=(e1,...,en) à coordonnées entières strictement positives, pour tout p élément de l'intervalle d'entiers [[1..n-1]] et pour toute f permutation de [[1..n]], on ait :

1+|uf(1)e1...uf(p)ep - uf(p+1)ep+1...uf(n)en|> un+12

Les tous premiers exemples tendent à montrer que non mais je n'ai pas le niveau pour savoir si c'est toujours vrai :

n=2 : 1+|3-2|=2< 25 = 5² ; 1+|3²-2|=8< 25; 1+|3²-2²|=6< 25 etc

n=3 : 1+|5x3-2|=14< 49 = 7² ; 1+|5x2²-33|=8< 49 ;

n=4 : 1+|5x3-7x2|=2<121=11² ; 1+|5x2²-7x3|=2<121 ; 1+|5x2²-7x3²|=44<121

n=5 : 1+|2x3x5-7x11|=48<169=13²

n=6 : 1+|2x7x13-3x5x11|=18<289=17²

n=7 : 1+|2²x3x5x17-7x11x13|=20<361=19²

n=8: 1+|11x19x3x5-2x17x7x13|=42<529=23²

n=9 : 1+|3x11x13²x19x23 - 212x5x7x17|=30<841=29²

etc...

Merci d'avance de votre solution.



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
SXB
Re: Petite question sur des produits de nombres premiers?
il y a neuf années
Euh...je suis désolé au fait mais je n'ai pas réussi à trouver un contre-exemple pour n=10.
Ca prend trop de puissance de calcul.
SXB
Re: sur des produits de nombres premiers ?
il y a neuf années
Ben alors? Cette question n'intéresse-t-elle personne à ce point???

Je pensais avoir la réponse assez vite. Je ne comprends pas...Si la réponse est si évidente que la question est inintéressante, alors pourquoi ne pas la dire, tout simplement?

Quasiment tous les autres sujets ont eu droit à une réponse...

Moi ça fait deux fois, à plusieurs années d'intervalles, que je pose cette question, et personne n'y répond.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par SXB.
Plouf
Re: sur des produits de nombres premiers ?
il y a neuf années
De mon côté si je ne réponds pas c'est que je ne sais pas le faire (mais je n'y ai réfléchi que 5 minutes et je ne connais rien en arithmétique).

En raisonnant modulo ce qu'il faut on peut vérifier facilement que ta valeur absolue est minorée par $\sqrt{u_1\ldots u_n}$.
Si cette quantité se minore par $u_{n+1}^2$ pour un $n$ donné c'est donc gagné.
Je n'ai pas exploré ni trop réfléchi.
Plouf
Re: sur des produits de nombres premiers ?
il y a neuf années
Tiens, j'ai mis un dollar de trop. Ca tombe bien, mon message était délirant.
SXB
Re: sur des produits de nombres premiers ?
il y a neuf années
Merci de ta réponse, Plouf.

Il est clair qu'il y a quelque chose qui devrait en tous cas se rapprocher de cette racine, c'est la valeur minimum de chacun des deux nombres que tu soustrais dans ce produit!

Bon en fait j'ai trouvé un contre-exemple pour n=10 aussi. J'avais fait un algo un peu plus exigeant mais bon...

n=10 : 1+|3x7x11x17x29-2²x5x13x19x23|=264<961=31²



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par SXB.
SXB
Re: sur des produits de nombres premiers ?
il y a neuf années
Hahaa.

Encore un contre exemple (modos pardonnez moi lol). Je me demande combien il en faudra pour que la question intéresse vraiment du monde (je veux idre : plus de monde lol). Nan je raisonne au second degré mais bon.

Allez:

n=11 : 1+|5x13x23x29x31-2x33x7x11x17x19|=972<1369=37²



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par SXB.
Re: sur des produits de nombres premiers ?
il y a neuf années
Bonjour SXB,

Je suis intrigué par ton problème. Ce que tu as dis tendrait à prouver que le résultat que tu propose est faux. Voyons comment se présente sa négation .

Il s'agit, pour tout entier $n$ de trouver une partition de $[1..n]$ en deux sous-ensembles $I$ et $J$ qui rende minimum la quantité $\displaystyle A(I,J)=|\prod_{i\in I}u_i-\prod_{j\in J}u_j|$ et de localiser ce minimum par rapport à $u_{n+1}^2$. J'ai pris un multi-indice des puissances égal à $1$ pour commencer.
On peut donc s'intéresser d'abord au minimum de $A(I,J)$. à suivre.
SXB
Re: sur des produits de nombres premiers ?
il y a neuf années
En fait, comme tu t'y intéresses, je vais tout te dire :

Déjà, j'ai 25 ans. J'ai trouvé un premier résultat sur les nombres premiers, dans ce style, à 18 ans. Puis, un autre à 19. Et depuis, rien : le premier disait qu'en fait si une construction de ce style tombait strictement entre 1 et un+12, alors c'est un nombre premier supérieur à un+1. La preuve est du niveau TS ou maths sup, mais il fallait y penser.

Je t'avoue que je n'ai JAMAIS retrouvé ce théorème, lemme, etc appelle le comme tu veux...NULLE PART. Je sais, la littérature mathématique est vaste, mais vu le niveau dérisoire de la preuve, ... j'aurais dû pouvoir le trouver. Lol je me revois à l'époque croire que j'ai fait une découverte...

Ensuite, la démo de niveau 5/2* ou L3 mais j'ai eu un flash en début de 3/2, j'ai trouvé qu'il existait toujours une construction de ce style multiple de un+1 (qui est alors le plus petit facteur premier de la construction).

Si on arrivait à démontrer que le résultat que je propose ici est FAUX, on pourrait ensuite se poser la question suivante :

existe-t-il une construction de ce style qui réunit les deux conditions :

-multiple de un+1 ;
-strictement inférieure à un+12.

Si oui, d'après le premier théorème, cela signifierait qu'il existe un nouveau moyen théorique de reconstruire la suite des nombres premiers.

En plus on peut sauf pour n=2 mettre plus que 2 produits en jeu donc ça rend le truc encore plus riche et complexe :

5(=2+3)=23-3=3²-2²=25-33

7=2x5-3=22x3-5=3x5-23=2²x3-3x5+5x2...

Tu vois ce que je veux dire?

Y'a vraiment plein de possibilités autour de cette piste...mais comment évoluent ces possibilités avec "n"?

Lol voilà pour la petite histoire. Actuellement je suis ingénieur dans un truc qui n'a rien à voir avec les maths, j'ai tout de même une L3 de maths fonda et là j'ai décidé de faire un master de maths fonda puis une thèse en logique ou en maths en parallèle (pas facile d'avancer sur deux plans à la fois).

Donc vu l'orientation optimale je crois que je ne serai jamais un arithméticien...ou alors je le serai mais je sais pas j'ai pas le talent qu'il faut pour explorer à fond cette piste. J'ai juste eu l'idée. Et je peux t'assurer que tous ceux à qui j'en ai parlé (même des profs en fac prestigieuse, qui à ce qu'on m'a dit sont souvent majors d'ULM ) ne connaissaient pas cette piste.

Qu'importe, en fait, qu'elle soit connue ou non : je voudrais vraiment pouvoir avoir un jour une réponse à cette question : peut-on recréer la suite des nombres premiers selon cette piste? Ca fait 7 ans déjà que je me pose cette question...qui m'a parfois empêché de dormir.
_______________

Pour ce qui est de ton intérêt pour ce pb, je t'en remercie. Tu trouveras sûrement (enfin, selon mon avis y'a plus d'une chance sur 2 que...) que le résultat énoncé est VRAI si on limite les puissances à 1 comme tu l'as fait...euh non pardon, ce que je crois, c'est que tu trouveras qu'on ne peux pas toujours reconstruire un+1 de cette manière (19 ou 23 dois faire contre exemple, je crois me souvenir...ou alors 29, oui je crois me souvenir que 29 est contre-exemple). Mais pour le résultat moins fort que j'énonce, il est possible qu'il soit FAUX. Mais à mon avis, si on limite les multi-indices à 1 dans l'énoncé, il est VRAI. Je m'avance un peu peut-être ^^

L'avenir (ou toi) me le dira.

Euh, en tous cas j'ai déjà monté un algo pour "pas mal de multi-indices" (les puissances étant limitées par un entier M) se fondant sur le résultat suivant, que je te conseille d'utiliser (mais bon...je préfère aussi voir ta méthode, qui variera de la mienne) :

si a, b, c et d sont quatre réels strictement positifs tels que d < c < b < a, alors on a :


ab - cd > ac - bd > |ad-bc|.

Si de plus a, b, c et d sont quatre entiers premiers entre eux alors le membre tout à droite est >0.

Preuve : (au fait ac-bd >0 car a>b et c>d)

(1) : ab - cd - (ac-bd) = a(b-c)+d(b-c) = (a+d)(b-c)>0

(2) : ac - bd - (ad - bc) = a(c-d)+b(c-d) = (a+b)(c-d)>0

ac - bd + (ad - bc) = a(c+d) -b(c+d) =(a-b)(c+d)>0.

(tiens c'est bizarre il me semblait qu'il y avait une étude de fonction à faire lol).

______

Autrement dit, le min que tu recherches ne peut être de la forme ab-cd, ni même de la forme ac-bd, où l'on a a>b>c>d>0.

Or, si tu prends :

N=A-B>0 de la forme énoncée par toi-même, tu peux forcément l'écrire sous la forme ab-cd, ou ac-bd, ou |ad-bc|, où a>b>c>d>0 .

(ben oui, prendre d le plus petit facteur premier de B, c le plus petit facteur premier de A, on a nécessairement A/c > c et B/d > d, et ensuite si A/c>B/d prendre a=A/c sinon prendre a=B/d, b=A/c et inverser les rôles de b et c si b est strictement inférieur à c. Puis, si d est strictement supérieur à c, inverser les rôles de c et d.

ENFIN tu as N=ab-cd ou N= ac-bd ou N=|ad-bc| ).

Donc c'est nécessairement uniquement la troisième forme que tu peux trouver si c'est le min en module :

le min N0 vérifie qu'il existe a>b>c>d>0 tq N0=|ad-bc|
____________

Puis pour l'utiliser trouver des a, b, c et d adéquats produits de nombres premiers et décomposer ton I en I1 et I2 et ton J en J1 et J2 pour retrouver les a, b, c et d.

Exemple trivial : n=6 : un+1=17, un+1²=289

13x11x7-5x3x2 (=971) > (prendre a= 13x11=143, b=5x3=15, c = 7 et d=2) 13x11x2-7x5x3 (=181<289) > (prendre a=22, b=15, c=13 et d=7) 13x5x3-11x7x2 (=41<289) > (a=15, b=14, c=13 et d=11) 13x7x2-11x5x3 (=17)

Tu remarqueras au passage, chose cocasse, que tous ces nombres sont premiers!!! cool smiley

D'ailleurs je t'invite à estimer la proportion de nombres premiers donnés pour chaque n avec toutes les combinaisons pour des multi-indices ne serait-ce que tous égaux à 1 et je peux te garantir que tu seras surpris! Du moins pour les petites valeurs de n...

Tiens, sinon, autre petit résultat cocasse:

3x11x13²x19x23-212x5x7x17=2437149-2437120 = 29

J'ai pas encore réussi à trouver un couple de nombres de la sorte (incluant aussi 29) vérifiant une différence de 31...sachant que j'ai testé jusqu'à 4 milliards et des brouettes!

Voilà, j'espère ainsi renforcé ton intérêt et éveillé celui d'autres pour ce pb que je trouve personnellement sublime car marchant tellement abondamment pour les petits nombres qu'il ne peut laisser indifférent.



Edité 34 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par SXB.
SXB
Re: sur des produits de nombres premiers ?
il y a neuf années
Bon je viens de trouver encore un contre exemple :

n=12: |3x7x17x29x31x37-2x5x11x13x19²x23|=11 874 891-11 87 3290=1601

(premier d'après mon premier théorème et aussi accessoirement d'après Erathostène).
Modos, je vous rassure, les contre-exemple tombent de façon de plus en plus espacée vous voyez le délire...
SXB
Re: sur des produits de nombres premiers ?
il y a neuf années
Bon zephir y'a du nouveau.

J'ai démontré (sauf erreur de prog) qu'il était impossible de reconstruire un nombre (alors premier) inférieur à 961=31² à partir des nombres premiers de 2 à 29 mis seulement à des puissances simples.

En fait, il y avait plus court que de tester toutes les possibilités : le plus grand des deux produits sur I et J (que l'on notera PI et PJ) était nécessairement plus grand que la racine de Pn=u1...un, puisque I et J constituent une bi-partition de [[1..n]] et que Pn=PIPJ.

De plus, ce plus grand produit (disons PI pour fixer les idées) vérifie l'équation :

x²-x.un+12-Pn<=0

Car (sous l'hypothèse PI>PJ) :

PI-PJ=PI- Pn/PI.

Tout multiplier par PI ramène à l'équation polynomiale ci-dessus pour x=PI.

Donc Il est inférieur à 0.5(un+12+racine(un+14+4Pn)).

Grâce à Scilab j'ai montré qu'il n'y avait pas de solution :

Voici le code Scilab correspondant, en bas du texte (en pièce jointe je pouvais pas mettre les commentaires de façon assez sophistiquée).

Exemple:
"
>recherchesimple(2)
ans =


ans(1)

3. 2.

ans(2)

2. - 1.
3. 1.

"

Cela signifie que

1=3-2=31-21

Autre exemple :

"
>recherchesimple(3)
ans =


ans(1)

6. 5.

ans(2)

2. 1.
3. 1.
5. - 1.

"

Qui signifie que :

1=6-5=2131-51

Pour n=10, (pour recréer un nombre entre 31 et 961) la solution est la matrice vide.

En gros, dans la matrice du bas, tous les nombres premiers d'indice <=n affectés d'un "1" à droite d'eux sont dans le premier produit, alors que les autres (affectés d'un "-1") sont dans le second produit.

La valeur des deux produit est donnée dans la matrice du haut.

Conclusion : si on se limite aux puissances simples, l'énoncé du début est VRAI.
Il faut maintenant s'attaquer aux autres puissances (j'espère que l'énoncé devient alors faux).
_________________________________________________

Code Scilab:

.function sol=recherchesimple(n)
P=fscanfMat('C:\primelist.txt');
p=P(n+1);
Y=[];
i=n+1;
while P(i)<p*p //Y est destinée à être la liste des nombres premiers entre un+1 et un+12
Y=[Y;P(i)];
i=i+1;
end
P=[P(1:n,1) zeros(n,1)];
N1=floor(prod(sqrt(P(:,1))));
N2=floor(N1+p*p);
U=0;
s=1;
S=[]
for i=N1:N2//début boucle for i, avec i qui représente en fait potentiellement" le produit PI
for K=1:i-1//début boucle for K//K représente un nombre qu'on cherche à etrouver, entreun+1 et un+12 .
if sum(Y==K)+(K==1)==1 //si le nombre K est premier...(appartient à Y)
j=i-K//j représente en fait le produit PJ
H=i*j/prod(P(:,1))//H représente le rapport ij/Pn
if H==floor(H)//Si H est entier, c'est que Pn | ij. Il ne reste alors qu'à montrer que PGCD(i,j) = 1 et que les facteurs premiers de i et j sont à multiplicité simple pour montrer qu'on a bien i de la forme PI et j de la forme PJ, où (I,J) est une bi-partition de [[1..n]].
u=i
v=j // u et v ne sont que de vulgaires intermédiaires de calcul dont les valeurs initiales respectives sont i et j et dont on espère que les valeurs finales seront 1 et 1.
P(:,2)=0
for k=1:n//début boucle for k. En gros chaque fois qu'un nombre premier divise i (le "potentiel PI"), on lui affecte sa multiplicité à sa droite dans la matrice P et on fait de même avec l'opposé de sa multiplicité dans j (le "potentiel PJ").
while u/P(k,1)==floor(u/P(k,1))
u=u/P(k,1)
P(k,2)=P(k,2)+1
end
if P(k,2)==0
while v/P(k,1)==floor(v/P(k,1))
v=v/P(k,1)
P(k,2)=P(k,2)-1
end
end
end
if u*v==1 // si uv=1, alors u=1 et v=1 donc tous les facteurs premiers de i et j sont dans l'ensemble {u1,...,un}. Par la même occasion, comme ici on a vu que i et j avaient pour différence Pn+1, ils sont nécessairement premiers entre eux.
if abs(prod(P(:,2)))==1 //si toutes les puissances sont simples..
S=list()
S(1)=[i j]//...alors ok on a notre chère solution...
S(2)=P
s=0
break//...et on peut alors arrêter
end
end//fin boucle for k
if s==0
break
end
end//fin boucle if H
end//fin boucle if sum
end//fin boucle for K
if s==0
break
end
end//fin boucle for i
sol=S
endfunction



Edité 8 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par SXB.
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