Exercice costaud
dans Arithmétique
Salut les amis
Pour ceux qui veulent s'attaquer a ce petit exercice d'arithmétique et qui ont un peu de temps libre:-) :
Démontrer que l'équation $4x^3- 3y^2=1$ n'admet que $(1,1)$ et $(1,-1)$ comme solutions rationnels.
Amicalement
Al-kashi
Bien évidemment la solution sera donnée plus tard.
Pour ceux qui veulent s'attaquer a ce petit exercice d'arithmétique et qui ont un peu de temps libre:-) :
Démontrer que l'équation $4x^3- 3y^2=1$ n'admet que $(1,1)$ et $(1,-1)$ comme solutions rationnels.
Amicalement
Al-kashi
Bien évidemment la solution sera donnée plus tard.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
4.x3-3y²=1 => (Bezout) PGCD(x3,y²)=1=> PGCD(x,y)=1 ;
Supposons par l'absurde que (x,y) soit non égal à (1,1) ou (1,-1), alors x et y sont tous deux non inversibles donc :
Si x impair, alors y pair donc y pair donc 4|1 (absurde).
Si x pair, alors 32|4.x3 donc 32|1+3y²
Donc 3y²=31 mod 32 donc y²=31*11 mod 32 = 341 mod 32.
Donc y²=21 mod 32.
Or mod 32 on a : 0²=0, 1²=1, 2²=4, 3²=9, 4²=16, 5²=25, 6²=36=4, 7²=49=17, 8²=64=0, 9²=81=17, 10²=100=4, 11²=121=25, 12²=144=16, 13²=9, 14²=196=4 et 15²=225=1 et 16²=256=0. Aucun de ces carrés n'est égal à 21
De même pour les opposés de ces nombres modulo 32, car (-k)²=k².
Conclusion : aucun y ne vérifierait, modulo 32, que son carré est 21. Cela contredit donc l'équation (1) dans le cas x pair, ce qui achève la preuve.
(à vérifier, tout ce bordel lol).
Par ailleurs, si x pair, 4x3 est multiple de 8, et il suffit de regarder modulo 8:
3y2=-1 (mod 8)
9y2=-3 =5 (mod 8)
y2= 5 (mod 8).
Or, 5 n'est pas un carré mod 8.
On voit donc que x est impair.
On peut donc dire que x et y sont impairs.
Non effectivement x impair n'implique pas y pair. Héhé si vous consultez mon poste sur les nombres premiers intitulé "sur les produits de nombres premiers", vous comprendrez tout de suite.
Bon ben en fait, y est de toutes les façons impair car 4x3-1 ne peut être qu'impair pour x non nul (ce qui est trivialement le cas). Et x aussi de par ce qui précède.
On sait que y=2z+1, ce qui permet d'écrire:
4x3=12z2+12z+4, et
x3=3z2+3z+1
On en déduit que:
x3+z3= (z+1)3
Les seules solutions entières sont z=0 et x=1, ou z= -1 et x =1, autrement dit: y=1 et x=1, ou y= -1 et x=1
Si vous utilisez le grand théorème de Fermat...c'est pas la peine, j'avoue.
Je comptais essayer quand j'aurais le temps de m'y replonger d'une récurrence chelou sur les nombres premiers ou produits de nombres premiers auxquels x serait congru à + ou -1 ...
Malgré tout, étant donné le caractère particulier de l'équation (x3+z3= (z+1)3), il est peut-être possible d'obtenir une preuve simplifiée.
Démontrer que l'équation $5 \left (\dfrac{x^2+1}{2}\right) ^2-4y^5=1$ n'admet que $(1,1)$ et $(-1,1)$ comme solutions rationnelles.