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prolonger pgcd(x,y)

Envoyé par capesard 
prolonger pgcd(x,y)
il y a neuf années
Bonjour,

La factorielle se prolonge en $\Gamma$.

Est-ce que la fonction arithmétique $(x,y) \rightarrow \mathrm{pgcd}(x,y)$ se prolonge au plan ?

PS: bien sûr, quelque chose de naturel, pas avec avec une partition de l'unité eye rolling smiley,
Plouf
Re: prolonger gcd(x,y)
il y a neuf années
Tu peux commencer par essayer de regarder pour deux rationnels.
SXB
Re: prolonger pgcd(x,y)
il y a neuf années
Ben disons que si [ ] désigne la partie entière, alors on a :

Pour tout entier n, pour tout nombre premier p et pour tout entier naturel a, on a :

pa|n ssi n/pa=[n/pa] ssi [n/pa-[n/pa]]=1

Il est clair alors que la somme sur a allant de 1 à l'infini de [n/pa-[n/pa]] est en fait une somme finie qui vaut vp(n), où vp(n) est la plus grande puissance de p qui divise n (sauf pour n = 0, où ça vaut 0, mais bon on s'en tape car le PGCD(0,n) n'est pas défini).

De la même façon, si m et n sont deux entiers, on a :

"pa|PGCD(m,n)" ssi "pa|PGCD(m,n) et pa|PGCD(m,n)" ssi "m/pa=[m/pa] et n/pa=[n/pa]" ssi "[m/pa-[m/pa]]=1 et [n/pa-[n/pa]]=1" ssi "[m/pa-[m/pa]][n/pa-[n/pa]]=1"

Il est clair alors que la somme sur a allant de 1 à l'infini de [m/pa-[m/pa]][n/pa-[n/pa]] est en fait une somme finie qui vaut vp(PGCD(m,n)), où vp(PGCD(m,n)) est la plus grande puissance de p qui divise PGCD(m,n).

A forteriori, c'est le cas pour un couple de réels (x,y) qui n'est pas un couple d'entiers car un nombre qui n'est pas un entier, divisé par un entier, donne un nombre non entier, du coup cette somme est nulle!!! (je te laisse cogiter ça spinning smiley sticking its tongue out)

Donc en fait, on peut poser, pour tout couple de réels (x,y) et tout nombre premier p, Vp(x,y) comme étant la somme pour a allant de 1 à l'infini de [x/pa-[x/pa]][y/pa-[y/pa]].

Il est clair que cette valeur est toujours nulle si (x,y) n'est pas un couple d'entiers, et qu'elle est nulle sauf pour un nombre fini de nombre premiers p si (x,y) est un couple d'entiers, et qu'alors elle vaut vp(PGCD(x,y)).

Donc le produit des pVp(x,y), où p parcourt l'ensemble des nombres premiers, est toujours convergent.

On peut appeller ce produit : PGCD(x,y), qui est ainsi toujours bien défini, non nul et coïncide avec la notion de PGCD (avec par convention PGCD(0,0) = 1 je crois).

Voili voilou!

P.S. : hors des couples d'entiers, la fonction ainsi définie vaut toujours 1.
Re: prolonger pgcd(x,y)
il y a neuf années
SXB écrivait:
-------------------------------------------------------
> P.S. : hors des couples d'entiers, la fonction
> ainsi définie vaut toujours 1.

finalement, c'est une définition plus succinte :D
Re: prolonger pgcd(x,y)
il y a neuf années
En fait, formellement, tu pourrais demander 2 choses :

1) Existe-t-il une fonction holomorphe (définie sur le plus grand ouvert qu'on puisse essayer de trouver) telle que :
$\forall (n,p)\in (\N^*)^2: f(n+ip)=pgcd(n,p)$ ?

2) Existe-t-il une fonction (je ne sais pas comment on dit) biholomorphe $f:\C ^2\to \C$ qui prolonge $pgcd: \N^*^2 \to \C$ ?

C'est ça ?
Re: prolonger pgcd(x,y)
il y a neuf années
J'aurai du mal à visualiser un telle courbe.En tout cas si une définition est possible elle serait vraiment chaotique.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été effectuée par Al-Kashi.
mpif
Re: prolonger pgcd(x,y)
il y a neuf années
Tout dépend des propriétés qu'on veut avoir, mais un "bon" prolongement $f$ vérifierait des proprétés du genre:
1) $f(x,y)=f(x+ny,y)$, pour tout $x,y$.
2) $f(zx,zy)=zf(x,y)$, pour tout $x,y,z$.

Dans ce cas on n'a pas beaucoup de choix, on peut prolonger sur $\mathbb{Q}$ mais pas de manière continue.

En fait si on a une fonction $f$ prolongeant le pgcd vérifiant $(2)$, alors, pour tout entiers $a,b,c,d$ (avec $b$ et $d$ non nuls) on a :
\[f(\frac{a}{b},\frac{c}{d})=\frac{f(ad,bc)}{bd}=\mathrm{pgcd}(ad,bc)/bd.\]

Réciproquement on vérifie facilement (je n'ai pas regardé du côté de $0$) qu'on défini bien une fonction $f\colon \mathbb{Q}^2\to \mathbb{Q}$, en posant $f(\frac{a}{b},\frac{c}{d})=\mathrm{pgcd}(ad,bc)/bd$ et qu'une telle fonction vérifie (1) et (2).

Mais alors $f(1-\frac{1}{n},1)=pgcd(n-1,n)/n=\frac{1}{n}$, mais $f(1,1)=1$, donc $f$ n'est pas continu en $1$.
Re: prolonger pgcd(x,y)
il y a neuf années
à mpif, oui, tout dépend, mais je pense que demander "holomorphe" est tellement exigeant qu'on peut peut-être ne pas demander plus par dessus en fait, disons que par curiosité, pour voir...

Par contre, je n'y connais rien, mais il est possible que "demander holomorphe" entraine d'office tes conditions (enfin au moins la 1)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Bu
Re: prolonger pgcd(x,y)
il y a neuf années
N'importe quelle fonction définie sur le réseau des $m+in$, $(m,n)\in \Z^2$, se prolonge en une fonction entière (holomorphe sur $\C$). Résultat classique que l'on peut trouver dans le Rudin, Real and complex analysis, par exemple. Après, l'intérêt d'un tel prolongement pour le pgcd de $(m,n)$ ... Un tel prolongement ne vérifiera jamais (2), par exemple.

[La case LaTeX. :) AD]
Re: prolonger pgcd(x,y)
il y a neuf années
Une autre façon de généraliser le pgcd est de considérer les diviseurs unitaires, bi-unitaires, etc. d'un entier, et de définir ainsi le pgcd unitaire, bi_unitaire, etc.

Mais on reste uniquement dans le domaine de l'arithmétique.


Borde.
SXB
Re: prolonger pgcd(x,y)
il y a neuf années
Bonjour Borde...

N'est-ce pas un peu ce que j'ai fait que vous voudriez refaire?
En tout cas, n'est-ce pas du même style?
Re: prolonger pgcd(x,y)
il y a neuf années
Je n'en ai pas l'impression : les pgcd dont je parle proviennent des diviseurs unitaires, bi_unitaires, etc des entiers.

Est-ce de cela dont tu parles plus haut ?


Borde.
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