prolonger pgcd(x,y)

Ben disons que si [ ] désigne la partie entière, alors on a :

Pour tout entier n, pour tout nombre premier p et pour tout entier naturel a, on a :

p^a|n ssi n/p^a=[n/p^a] ssi [n/p^a-[n/p^a]]=1

Il est clair alors que la somme sur a allant de 1 à l'infini de [n/p^a-[n/p^a]] est en fait une somme finie qui vaut v_p(n), où v_p(n) est la plus grande puissance de p qui divise n (sauf pour n = 0, où ça vaut 0, mais bon on s'en tape car le PGCD(0,n) n'est pas défini).

De la même façon, si m et n sont deux entiers, on a :

"p^a|PGCD(m,n)" ssi "p^a|PGCD(m,n) et p^a|PGCD(m,n)" ssi "m/p^a=[m/p^a] et n/p^a=[n/p^a]" ssi "[m/p^a-[m/p^a]]=1 et [n/p^a-[n/p^a]]=1" ssi "[m/p^a-[m/p^a]][n/p^a-[n/p^a]]=1"

Il est clair alors que la somme sur a allant de 1 à l'infini de [m/p^a-[m/p^a]][n/p^a-[n/p^a]] est en fait une somme finie qui vaut v_p(PGCD(m,n)), où v_p(PGCD(m,n)) est la plus grande puissance de p qui divise PGCD(m,n).

A forteriori, c'est le cas pour un couple de réels (x,y) qui n'est pas un couple d'entiers car un nombre qui n'est pas un entier, divisé par un entier, donne un nombre non entier, du coup cette somme est nulle!!! (je te laisse cogiter ça (:P))

Donc en fait, on peut poser, pour tout couple de réels (x,y) et tout nombre premier p, V_p(x,y) comme étant la somme pour a allant de 1 à l'infini de [x/p^a-[x/p^a]][y/p^a-[y/p^a]].

Il est clair que cette valeur est toujours nulle si (x,y) n'est pas un couple d'entiers, et qu'elle est nulle sauf pour un nombre fini de nombre premiers p si (x,y) est un couple d'entiers, et qu'alors elle vaut v_p(PGCD(x,y)).

Donc le produit des p^V_p(x,y), où p parcourt l'ensemble des nombres premiers, est toujours convergent.

On peut appeller ce produit : PGCD(x,y), qui est ainsi toujours bien défini, non nul et coïncide avec la notion de PGCD (avec par convention PGCD(0,0) = 1 je crois).

Voili voilou!

P.S. : hors des couples d'entiers, la fonction ainsi définie vaut toujours 1.

En fait, formellement, tu pourrais demander 2 choses :

1) Existe-t-il une fonction holomorphe (définie sur le plus grand ouvert qu'on puisse essayer de trouver) telle que :
$\forall (n,p)\in (\N^*)^2: f(n+ip)=pgcd(n,p)$ ?

2) Existe-t-il une fonction (je ne sais pas comment on dit) biholomorphe $f:\C ^2\to \C$ qui prolonge $pgcd: \N^*^2 \to \C$ ?

C'est ça ?

Tout dépend des propriétés qu'on veut avoir, mais un "bon" prolongement $f$ vérifierait des proprétés du genre:
1) $f(x,y)=f(x+ny,y)$, pour tout $x,y$.
2) $f(zx,zy)=zf(x,y)$, pour tout $x,y,z$.

Dans ce cas on n'a pas beaucoup de choix, on peut prolonger sur $\mathbb{Q}$ mais pas de manière continue.

En fait si on a une fonction $f$ prolongeant le pgcd vérifiant $(2)$, alors, pour tout entiers $a,b,c,d$ (avec $b$ et $d$ non nuls) on a :
\[f(\frac{a}{b},\frac{c}{d})=\frac{f(ad,bc)}{bd}=\mathrm{pgcd}(ad,bc)/bd.\]

Réciproquement on vérifie facilement (je n'ai pas regardé du côté de $0$) qu'on défini bien une fonction $f\colon \mathbb{Q}^2\to \mathbb{Q}$, en posant $f(\frac{a}{b},\frac{c}{d})=\mathrm{pgcd}(ad,bc)/bd$ et qu'une telle fonction vérifie (1) et (2).

Mais alors $f(1-\frac{1}{n},1)=pgcd(n-1,n)/n=\frac{1}{n}$, mais $f(1,1)=1$, donc $f$ n'est pas continu en $1$.

N'importe quelle fonction définie sur le réseau des $m+in$, $(m,n)\in \Z^2$, se prolonge en une fonction entière (holomorphe sur $\C$). Résultat classique que l'on peut trouver dans le Rudin, Real and complex analysis, par exemple. Après, l'intérêt d'un tel prolongement pour le pgcd de $(m,n)$ ... Un tel prolongement ne vérifiera jamais (2), par exemple.

[La case LaTeX. AD]

Bonjour Borde...

N'est-ce pas un peu ce que j'ai fait que vous voudriez refaire?
En tout cas, n'est-ce pas du même style?