Une conjecture de 1968 démontrée

L'usage, je pense c'est que ça veut dire :

$\forall \epsilon>0,\ \exists N\in \N,\ \forall n\geq N: |card(I_n)/card(P_n) - 1|<\epsilon$

où $I_n$ est l'ensemble des nombres premiers dont blablabla est impaire et $P_n$ ... blabla ..est paire

Sinon, ce serait annoncé autrement.

Bonjour,
On peut voir ici http://iml.univ-mrs.fr/~rivat/preprints/chiffres_premiers.pdf
Bonnes journées

Je voudrais ajouter les points suivants :

ce type de résultat s'inscrit dans une démarche communément adoptée depuis une vingtaine d'années en TAN, qui concerne en fait une foultitude de théorèmes arithmétiques dont les termes d'erreur font intervenir des sommes d'exponentielles. Citons pour mémoire les problèmes suivants :

Plus grand facteur premier en intervalles courts (Baker \& Harman).

Termes d'erreurs dans les problèmes de diviseurs généralisés (Liu, Wu, Ivic,etc).

Le théorème de Piatetski--Shapiro (Rivat, Sargos, Wu).

Nombres $\mathfrak{B}$-libres en intervalles courts (Wu, Kowalski, etc).

Nombres $4$-pleins, et, plus généralement, problèmes en $3$ et $4$ dimensions (Liu, 1994, dispo en ligne).

Fonctions de Möbius restreintes en intervalles courts.

Sommes d'exponentielles twistées par la fonction de Möbius ou un caractère de Dirichlet (Davenport, années 30-40).

Puissances $k$-èmes premières entre elles (Zhai \& Cao, 2006).

Nombre de groupes abéliens d'ordre donnés (Liu, 1993).

Ordre moyen des facteurs directs d'un groupe abélien fini (Zhai \& Cao, 1997).

Nombre de sous-groupes de groupes abéliens (Bhowmik \& Wu, 1997 et 2001).

Le problème du cercle primitif (Wu, 2002).

etc.

La démarche à ces problèmes est totalement commune : tout d'abord, rendre le terme d'erreur accessible via des sommes d'exponentielles pondérées, puis traiter celles-ci à l'aide de la méthode de Vaughan, généralisée par Heath-Brown (lemme 1 dans ce papier), inventée à la fin des années $70$ pour simplifier les arguments de Vinogradov des années 30, Vinogradov qui fut l'un des premiers (sinon le premier) à établir des estimations non triviales pour des sommes d'exponentielles de nombres premiers.

A noter. Le lemme 2 de cet article n'a qu'un seul objectif : omettre la condition multiplicative imposée par les sommes de type I et II qui interviennent dans la méthode de Vaughan. Ce lemme montre que cette omission coûte un facteur log.


Borde.

Je n'émets aucun jugement de valeur sur ce travail (je ne suis pas compétent pour ça).

D'ailleurs, en regardant dans le détail, on voit que les estimations des sommes de type II, traditionnellement les plus difficiles à traiter, demandent beaucoup de travail aux auteurs. Ceci est en partie dû au fait que la fonction $f(n)$ ne possède pas de caractère "monomial", contrairement à ce qui se passe pour les problèmes cités ci-dessus.

Les auteurs sont des chercheurs connus de théorie analytique. En particulier, Rivat a beaucoup travaillé sur le théorème de Piatetski--Shapiro et a donc déjà été amené à utiliser l'identité de Vaughan et à majorer au mieux des sommes de type I et II (voir un article bien fait écrit en commun avec Sargos en 2001 à ce propos).


Borde.

Juste pour lever l'ambiguïté je parlais de l'article de presse où le lien est bien au dessus ,peu visible en vert, et non de l'article de Mr Mauduit et Mr Rivat .

Je n'oserai pas parler ainsi et surtout pas sur un domaine que je ne connais que peu!

En tous cas bravo à ces deux gars pour ce boulot.

Al-kashi

Bonjour,

voici un lien vers des cours de Hugh Montgomery, grand spécialiste de théorie analytique des nombres.
http://www-personal.umich.edu/~hlm/math775/handouts.html

Et justement dans le document Gelfond's Problem se trouve une preuve relativement abordable d'un cas particulier (le cas emblématique, la parité de la somme des chiffres des nombres premiers en base 2) du résultat de Mauduit et Rivat. La méthode est celle des deux précités (méthode de Vaughan+ inégalité de Van der Corput + approximation de la fonction somme de chiffres par une fonction périodique dont on peut alors considérer la transformée de Fourier discrète), mais certains points techniques sont traités d'une manière un peu différente.

Par ailleurs, les autres cours que l'on trouve sur cette page sont vraiment très intéressants (j'aime beaucoup le style de Montgomery).

J'oubliais, Ben Green a également écrit un papier sur ce problème, mais je préfère celui de Montgomery. Néanmoins,
http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0710/0710.0823v1.pdf


Bruno

Salut Olivier,

Il semble que les polys de ce cours dont j'ai donné le lien constituent essentiellement le cours de ce tome 2 justement. C'est peut-être pour bientôt....

Bruno

Bonjour,

Lu dans La Recherche de ce mois-ci (septembre) :

Il y a en moyenne autant de nombres premiers dont la somme des chiffres décimaux est paire que de nombres premiers pour lesquels elle est impaire. Cette hypothèse formulée par Aleksandr Osipovich Gelfond en 1968 a été démontrée en mai 2010 par Christian Mauduit et Joel Rivat, deux chercheurs de l’Institut de Mathématiques de Luminy ( CNRS/Université de la Méditerranée ).

Différents liens sur le sujet:
http://www2.cnrs.fr/presse/communique/1875.htm?theme1=12 http://www.sciencesetavenir.fr/actualite/fondamental/20100510.OBS3739/equilibre-les-nombres-premiers-revelent-leur-secret.html http://www.ambafrance-cn.org/Mathematique-les-nombres-premiers-livrent-un-de-leur-secret.html http://vleeptronz.blogspot.com/2010/05/gelfonds-conjecture-1968-is-proved-sum.html http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/curiosit.htm#somme

L'article de Christian Mauduit § Joël Rivat: Sur un problème de Gelfond: la somme des chiffres des nombres premiers.
Annals of Mathematics, vol. 171, n° 3, 2010, 1591-1646. est théoriquement disponible ici: http://annals.princeton.edu/annals/2010/171-3/annals-v171-n3-p04-p.pdf
mais il faut être inscrit, ce qui ne parait pas anormal.

Bien amicalement.