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Une conjecture de 1968 démontrée

Envoyé par Sylvain 
Une conjecture de 1968 démontrée
il y a sept années
avatar
Bonsoir,

je viens de lire une info assez intéressante sur les nombres premiers : c'est ici.
Connaissiez-vous cette conjecture ?
Re: Une conjecture de 1968 démontrée
il y a sept années
Bonsoir Sylvain

Ca veut dire quoi "il y a en moyenne"?
Re: Une conjecture de 1968 démontrée
il y a sept années
L'usage, je pense c'est que ça veut dire :

$\forall \epsilon>0,\ \exists N\in \N,\ \forall n\geq N: |card(I_n)/card(P_n) - 1|<\epsilon$

où $I_n$ est l'ensemble des nombres premiers dont blablabla est impaire et $P_n$ ... blabla ..est paire

Sinon, ce serait annoncé autrement.
Re: Une conjecture de 1968 démontrée
il y a sept années
AD serait insomniaque? smiling smiley thumbs down

Merci Sylvain pour ce lien

[?? :S AD]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Une conjecture de 1968 démontrée
il y a sept années
Bonjour,
On peut voir ici [iml.univ-mrs.fr]
Bonnes journées



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Yalcin.
FDP
Re: Une conjecture de 1968 démontrée
il y a sept années
La moyenne peut aussi s'entendre comme "moyenne analytique".
quotient de la somme des 1/i pour i appartenant à un sous-ensemble des entiers intersecté avec le sous-ensemble des entiers inférieurs ou égaux à n divisé par la somme des 1/i pour i variant de 1 à n.

(désolé je n'arrive pas à trouver les accolades sur ce clavier pour écrire une formule en latex)
Re: Une conjecture de 1968 démontrée
il y a sept années
Je voudrais ajouter les points suivants :

ce type de résultat s'inscrit dans une démarche communément adoptée depuis une vingtaine d'années en TAN, qui concerne en fait une foultitude de théorèmes arithmétiques dont les termes d'erreur font intervenir des sommes d'exponentielles. Citons pour mémoire les problèmes suivants :

Plus grand facteur premier en intervalles courts (Baker \& Harman).

Termes d'erreurs dans les problèmes de diviseurs généralisés (Liu, Wu, Ivic,etc).

Le théorème de Piatetski--Shapiro (Rivat, Sargos, Wu).

Nombres $\mathfrak{B}$-libres en intervalles courts (Wu, Kowalski, etc).

Nombres $4$-pleins, et, plus généralement, problèmes en $3$ et $4$ dimensions (Liu, 1994, dispo en ligne).

Fonctions de Möbius restreintes en intervalles courts.

Sommes d'exponentielles twistées par la fonction de Möbius ou un caractère de Dirichlet (Davenport, années 30-40).

Puissances $k$-èmes premières entre elles (Zhai \& Cao, 2006).

Nombre de groupes abéliens d'ordre donnés (Liu, 1993).

Ordre moyen des facteurs directs d'un groupe abélien fini (Zhai \& Cao, 1997).

Nombre de sous-groupes de groupes abéliens (Bhowmik \& Wu, 1997 et 2001).

Le problème du cercle primitif (Wu, 2002).

etc.

La démarche à ces problèmes est totalement commune : tout d'abord, rendre le terme d'erreur accessible via des sommes d'exponentielles pondérées, puis traiter celles-ci à l'aide de la méthode de Vaughan, généralisée par Heath-Brown (lemme 1 dans ce papier), inventée à la fin des années $70$ pour simplifier les arguments de Vinogradov des années 30, Vinogradov qui fut l'un des premiers (sinon le premier) à établir des estimations non triviales pour des sommes d'exponentielles de nombres premiers.

A noter. Le lemme 2 de cet article n'a qu'un seul objectif : omettre la condition multiplicative imposée par les sommes de type I et II qui interviennent dans la méthode de Vaughan. Ce lemme montre que cette omission coûte un facteur log.


Borde.
Re: Une conjecture de 1968 démontrée
il y a sept années
Salut Borde

En quelque sorte si je te comprend bien cet article raconte une bêtise en parlant de méthodes novatrices?

lien



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Al-Kashi.
Re: Une conjecture de 1968 démontrée
il y a sept années
Je n'émets aucun jugement de valeur sur ce travail (je ne suis pas compétent pour ça).

D'ailleurs, en regardant dans le détail, on voit que les estimations des sommes de type II, traditionnellement les plus difficiles à traiter, demandent beaucoup de travail aux auteurs. Ceci est en partie dû au fait que la fonction $f(n)$ ne possède pas de caractère "monomial", contrairement à ce qui se passe pour les problèmes cités ci-dessus.

Les auteurs sont des chercheurs connus de théorie analytique. En particulier, Rivat a beaucoup travaillé sur le théorème de Piatetski--Shapiro et a donc déjà été amené à utiliser l'identité de Vaughan et à majorer au mieux des sommes de type I et II (voir un article bien fait écrit en commun avec Sargos en 2001 à ce propos).


Borde.
Re: Une conjecture de 1968 démontrée
il y a sept années
avatar
> Je n'émets aucun jugement de valeur sur ce travail.

Les éditeurs d'Annals of Maths. l'ont fait à ta place...
Re: Une conjecture de 1968 démontrée
il y a sept années
Juste pour lever l'ambiguïté je parlais de l'article de presse où le lien est bien au dessus ,peu visible en vert, et non de l'article de Mr Mauduit et Mr Rivat .

Je n'oserai pas parler ainsi et surtout pas sur un domaine que je ne connais que peu!

En tous cas bravo à ces deux gars pour ce boulot.

Al-kashi
Re: Une conjecture de 1968 démontrée
il y a sept années
Je ne suis pas sûr d'avoir bien tout suivi ce qui précède, ni de m'être bien fait comprendre (ce qui m'a conduit à quelques changements dans mon texte précédent)...mais pour résumer, je trouve que cet article de Mauduit et Rivat est très bien fait et correspond bien à ce qui se fait actuellement dans le (petit) monde de la théorie analytique des nombres.


Borde.



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par borde.
Re: Une conjecture de 1968 démontrée
il y a sept années
Bonjour,

voici un lien vers des cours de Hugh Montgomery, grand spécialiste de théorie analytique des nombres.
[www-personal.umich.edu]

Et justement dans le document Gelfond's Problem se trouve une preuve relativement abordable d'un cas particulier (le cas emblématique, la parité de la somme des chiffres des nombres premiers en base 2) du résultat de Mauduit et Rivat. La méthode est celle des deux précités (méthode de Vaughan+ inégalité de Van der Corput + approximation de la fonction somme de chiffres par une fonction périodique dont on peut alors considérer la transformée de Fourier discrète), mais certains points techniques sont traités d'une manière un peu différente.

Par ailleurs, les autres cours que l'on trouve sur cette page sont vraiment très intéressants (j'aime beaucoup le style de Montgomery).

J'oubliais, Ben Green a également écrit un papier sur ce problème, mais je préfère celui de Montgomery. Néanmoins,
[arxiv.org]


Bruno



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par brux.
Re: Une conjecture de 1968 démontrée
il y a sept années
Salut Bruno,

On reconnaît là-dedans quelques chapitres de l'excellent {\it Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis}, CBMS {\bf 84}, 1994.

En outre, Montgomery et Vaughan, son acolyte de toujours, ont récemment sorti leur livre de TAN : {\it Multiplicative number theory I : Classical theory}, Cambridge, 2007. Très bien fait, mais j'avoue attendre le second opus (s'ils l'écrivent) avec plus d'impatience.


Borde.
Re: Une conjecture de 1968 démontrée
il y a sept années
Salut Olivier,

Il semble que les polys de ce cours dont j'ai donné le lien constituent essentiellement le cours de ce tome 2 justement. C'est peut-être pour bientôt....

Bruno
Re: Une conjecture de 1968 démontrée
il y a sept années
Oui, je les avais d'ailleurs téléchargé il y a trois ou quatre mois, me semble-t-il.

Merci à toi,

Borde.
bs
Une conjecture de Gelfond démontrée à Luminy
il y a sept années
avatar
Bonjour,

Lu dans La Recherche de ce mois-ci (septembre) :

Il y a en moyenne autant de nombres premiers dont la somme des chiffres décimaux est paire que de nombres premiers pour lesquels elle est impaire. Cette hypothèse formulée par Aleksandr Osipovich Gelfond en 1968 a été démontrée en mai 2010 par Christian Mauduit et Joel Rivat, deux chercheurs de l’Institut de Mathématiques de Luminy ( CNRS/Université de la Méditerranée ).

Différents liens sur le sujet:
[www2.cnrs.fr] [www.sciencesetavenir.fr] [www.ambafrance-cn.org] [vleeptronz.blogspot.com] [villemin.gerard.free.fr]

L'article de Christian Mauduit § Joël Rivat: Sur un problème de Gelfond: la somme des chiffres des nombres premiers.
Annals of Mathematics, vol. 171, n° 3, 2010, 1591-1646. est théoriquement disponible ici: [annals.princeton.edu]
mais il faut être inscrit, ce qui ne parait pas anormal.

Bien amicalement.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par bs.
bs
Re: Une conjecture de Gelfond démontrée à Luminy
il y a sept années
avatar
Rebonjour,

Pardon pardon, ce sujet avait été proposé ici par Sylvain il y a quatre mois: [www.les-mathematiques.net]

Il est donc préférable de positionner ce message à la suite du fil de Sylvain, ou de supprimer ce fil. Merci.

Amicalement.

[Fusion des discussions réalisée. :) AD]



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
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