valeurs d'adhérence de phi(n)/n

Bonjour,

Indicatrice d'Euler, encore.

Si l'on excepte $0$ et $1$, connaît-on d'autres valeurs d'adhérences de $\phi(n)/n$ qui ne sont pas des valeurs prises par la suite ?

Hmm... j'aurais dû réfléchir avant d'écrire. En fait il semble que tout nombre de $[0,1]$ est valeur d'adhérence. Je n'ai pas encore eu le temps de l'écrire, mais ça semble une conséquence du fait que de toute série divergente positive dont le terme général tend vers 0, on peut extraire une sous-série convergeant vers ce qu'on veut.

@aléa :

Salut,

Une question culturelle me concernant, comment fais-tu pour démontrer ton résultat "de toute série divergente positive dont le terme général tend vers 0, on peut extraire une sous-série convergeant vers ce qu'on veut."

J'ai essayé de formaliser un peu.

Soit $\epsilon>0$, et $l \in \R^+$ la valeur de la sous-série convergente. Considérons $\sum u_n$ une série divergente à valeurs dans $\R$ telle que $u_n \longmapsto 0$ lorsque $n \to +\infty$. Montrons par exemple qu'il existe un entier $N$ tel que pour tout $n \geq N$, on ait $| \sum u_{2p} -l | \leq \epsilon$

Est-ce correct comme reformulation?

Ensuite, j'exploiterai le fait que puisque $u_n$ tend vers $0$, il en est de même de toute suite extraite, donc de celle indexée par les termes pairs. Puis j'utiliserai la suite des sommes partielles pour exploiter le caractère divergeant de la série initiale.

Merci pour ton avis,
Cordialement,
Clotho



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par clothoide.

Je ne comprends pas bien ce que tu fais. Notamment tu n'écris pas sur quoi tu sommes.

Je te propose la construction suivante:
Notons $(u_n)_{n\ge 1}$ la série. Soit $\ell>0$.
On pose $n_0=0$, $s_0=0$, puis pour $k\ge 0$:

$n_{k+1}=\inf\{n>n_k; s_k+u_n<\ell\}$ et $s_{k+1}=s_k+u_{n_{k+1}}$.

Alors on peut montrer que $\sum_{k=1}^{+\infty} u_{n_k}=\ell$.

Ouh là là, je suis complétement paumé dans ta réponse. Ce n'est pas ta faute évidemment

Je bloque sur le "pourquoi" d'une telle définition de $n_{k+1}$ avec le inf : faut dire que je ne suis pas trop à l'aise avec ces trucs là pour l'instant.

Je note tout de même ton explication dans un coin de mon cahier d'analyse, quitte à reprendre plus tard.

Et ce n'est pas de l'arithmétique non plus.

Cordialement,
Clotho



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par clothoide.

Bonsoir Clothoide

Ce n'est pas compliqué, tu supposes ta série construite jusqu'à l'ordre $k$, et donc les termes extraits $u_{n_0}, u_{n_1},\ldots, u_{n_k}$, ayant pour somme $s_k =\sum_{i=0}^ku_{n_i} <\ell$
Il faut trouver un terme au delà de $u_{n_k}$ tel qu'additionné avec $s_k$, on soit encore en dessous de $\ell$. On sait qu'il y en a puisque le terme général $u_m \xrightarrow[m\to \infty]{} 0$.
Aléa suggère de prendre celui de rang le plus petit : $u_{n_{k+1}}$, avec donc $n_{k+1} > n_k$ et $s_{k+1} = s_k+u_{n_{k+1}} < \ell$. Ce qui permet d'écrire une récurrence qui marche bien.
Après il faut montrer que $s_k \xrightarrow[k\to \infty]{} \ell$.
On sait que $\lim\limits_{k\to \infty} s_k \leq \ell$, mais ce n'est pas gagné, parce que les $u_{n_k}$ qu'on extrait à chaque fois pourraient être très petits (càd la sous-série extraite pourrait converger vers une valeur $< \ell$. Et c'est là qu'il faut faire intervenir l'hypothèse que la série $u_n$ diverge.

Alain



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.