Juste de la logique...

à SXB pourquoi tu as titré "juste de la logique"? Il me semble que ce genre de devinettes se résout avec pas spécialement plus "de logique" qu'un problème de maths "habituel" non?

Sinon, je veux pas casser l'énigme donc je ne mets pas les "si; donc; ..." mais propose un enchainement comme indice:

$t+1\geq a+1$ et $a+1>f(t+1)$ =>
$ a+1 >f(t+1)>f(f(t))$ =>
$ a>f(f(t))$ ( => ) $a>f(t) $ ...

Ah, remarque, peut-être que le $\exists$ qui intervient d'une manière précise, tu considères ça comme de la logique?

Maintenant que j'ai écrit ça, ça devient de la logique de rédiger

Avant d'aller au dodo, je retire ce que j'ai dit et rends hommage à SXB qui a raison (pédagogiquement, et en les temps modernes): c'est bien un exo qu'on peut considérer comme emprunt d'une dose de logique (je viens de lire le deuxième post) pour des ados, puisqu'ils doivent, pour le résoudre, prendre le plus entier $n$ tel qu'il existe un entier p avec $p\geq n$ et $n>f(p)$ (le fait ensuite que si $f\neq id$ alors il existe un tel entier n est aisé je crois pour ces ados)

Enfin du moins c'est l'indice que j'ai donné, mais il n'est pas clair qu'il existe une solution calculatoire d'un autre style.

Toutes mes excuses SXB...

Non, nico69, $f(n)=n+a$ n'est pas solution, sauf si $a<1$, i.e. $a=0$ (car $a$ est un entier positif, je suppose?).

(On a $f(f(n))=f(n+a)=n+2a$ et $f(n+1)=n+1+a$, et donc on doit avoir $2a<a+1$)

Ne lire que si vous n'avez pas envie de chercher (et en plus c'est sans garantie, c'est juste que je voulais vérifier que l'indice posté à la va vite ne déconnait pas), d'où le jaune (il suffit de sélectionner pour faite apparaitre...

ça manque un peu de rigueur ce que j'ai mis

1 - f(n) ne saurait être constante ou partiellement constante (à partir de n0 f(n) est constante) sinon l'inégalité strict ne peut pas s'appliqué en tout n

2 - une faute de frappe, il faut lire

Soit f(n) < g(n) => f(n) < n+1 => f(n) = n.

Bonjour à tous,

> mamane

J'ai du mal à te suivre car tu commences par "pour tout n", mais ensuite tu ne distingues que deux cas f<g ou f>g. Le sens de l'inégalité peut très bien varier selon les valeurs de n. Mais bon, peut-être que quelque chose m'échappe...

Je propose ceci :

L'ensemble des images possède un plus petit élément f (k).

Supposons que k soit différent de 1.

Alors f(f(k-1)) < f(k) ce qui contredit le fait que f(k) soit la plus petite image.

Donc f(1) est la plus petite image.

Le même raisonnement montre en outre que l'image f(1) n'est atteinte qu'une fois :

s'il existait k différent de 1 tel que f(k) = f(1), alors f(f(k-1)) < f(k) c'est à dire f(1) ce qui contredit le fait que f(1) soit la plus petite image.

Ecartons f(1) de l'ensemble des images et soit f(m) la plus petite image restante.

Nous savons que m est différent de 1 puisque f(1) a été écarté.

Supposons que m soit différent de 2.

Alors f(f(m-1)) < f(m), ce qui contredit le fait que f(m) soit la plus petite image restante puisque nous savons que f(m-1) ne peut pas être égal à f(1).

Le même raisonnement qu'au-dessus nous montre que l'image f(2) n'est atteinte qu'une fois.

On peut poursuivre avec f(3), f(4) etc.

On a donc un isomorphisme d'ordre de N sur f(N) : si a < b, alors f(a) < f(b)

On observe que, pour tout n, f(n) ne peut pas être plus petit que n.

Supposons qu' il existe p avec f(p) différent de p.

Donc f(p) > p

Donc f(f(p) < f(p+1) (d'après l'énoncé), mais aussi f(f(p) > f(p) (comme nous l'avons montré).

Or, dans la suite croissante des images, il n'y a aucune place entre f(p) et f(p+1).

Donc, quel que soit p, f(p) = p.

Aldo.

Dernier point d'interrogation : pourquoi a-t-on écarté le zéro ?

Aldo.