formule du crible de Da Silva et Sylvester

C'est la formule du crible classique : $$ \text{card}\left(\bigcup_{i\in \Omega}A_{i}\right)=\sum_{J\subset \Omega}(-1)^{\text{card}(J)-1}\text{card}\left(\bigcap_{j\in J}A_{j}\right) $$ appliqué aux ensembles des entiers inférieurs à n, divisible par un nombre premier p.

On peut ainsi compter le nombre de nombre premiers inférieurs à 120, en comptant les entiers qui ne sont divisibles ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7. En effet, un nombre inférieur à 120 qui n'est pas premier a un facteur premier inférieur à $ \sqrt{120} $, qui est nécessairement 2, 3, 5 ou 7. C'est une application assez fascinante de la formule du crible, puisque l'on dénombre un ensemble sans avoir à expliciter ses éléments. Effet garanti avec de jeunes étudiants (à condition de bien amener les choses).

Quoiqu'il en soit, je ne vois rien de bien plus intéressant à en tirer à un niveau élémentaire; mais peut-être quelqu'un a-t-il un autre point de vue sur la question.

Je vous remercie tous pour votre aide.

Cordialement,
Cyril