un exo pour passer le week-end

mamane1
mamane1
dans Arithmétique
Voici l'énoncé : trouvez tous les couple d'entiers (x;y) tels que
1/x + 1/y = 1/2008
Il y a évidement le cas x=y=2*2008 mais il y en a-t-il d'autres ?

Réponses

  • Archimède
    Archimède
    On doit chercher $x$, $y$ dans $\N^*$ ou dans $\Z^*$ ?
  • Archimède
    Archimède
    La réponse est OUI :
    $$\frac{1}{2009}+\frac{1}{4034072}=\frac{1}{2008}$$
  • Amtagpa
    Amtagpa
    Il y a aussi :
    $$\frac{1}{2010}+\frac{1}{2018040}=\frac{1}{2008}$$
  • Archimède
    Archimède
    Et toutes les solutions :

    x=2009 y=4034072
    x=2010 y=2018040
    x=2012 y=1010024
    x=2016 y=506016
    x=2024 y=254012
    x=2040 y=128010
    x=2072 y=65009
    x=2259 y=18072
    x=2510 y=10040
    x=3012 y=6024
    x=4016 y=4016
    x=6024 y=3012
    x=10040 y=2510
    x=18072 y=2259
    x=65009 y=2072
    x=128010 y=2040
    x=254012 y=2024
    x=506016 y=2016
    x=1010024 y=2012
    x=2018040 y=2010
    x=4034072 y=2009
  • incognito
    incognito
    Il me semble que les solutions sont de la forme $x=du$ $y=dv$ avec $u$ et $v$ diviseurs de 2008 premiers entre eux, et $d=\frac{2008}{uv}(u+v)$.
  • Archimède
    Archimède
    Bien sûr.
    $d=\mathrm{pgcd}(x,y)$
    $x=du$
    $y=dv$
    Alors la relation $\displaystyle\frac{1}{du}+\frac{1}{dv}=\frac{1}{2008}$ s'écrit comme vous l'indiquez.

    Et inversement.
  • J.Faizant
    J.Faizant
    Bonsoir,

    1/x+1/y = 1/2008 équivaut à xy -2008x-2008y = 0 avec x et y non nuls, ce qui équivaut à xy-2008x -2008y +20082 =20082 et donc à (x-2008)(y-2008)=20082.
    Il en résulte qu'à toute décomposition de 20082 en produit de deux facteurs a et b différents de -2008, correspond une solution de l'équation donnéee par:

    x=a+2008 et y = b+2008 .Puisque 20082=26.2512,il y a donc (6+1).(2+1).2-1 solutions dans Z.Soit 41 solutions.

    Cordialement.
  • zephir
    zephir
    Bonsoir,

    C'est curieux, je ne trouve pas 41 solutions mais 2*11=22. Vérification avec MAPLE:

    > A:={seq(seq({2^i*251^j,2^(6-i)*251^(2-j)},i=0..6),j=0..2)};

    A := {{1, 4032064}, {2008}, {1004, 4016}, {2, 2016032}, {8, 504008},

    {32, 126002}, {64, 63001}, {251, 16064}, {502, 8032},

    {4, 1008016}, {16, 252004}}
  • Archimède
    Archimède
    $2008^2=2^6*251^2$ admet $7*3=21$ diviseurs. Il y a donc $21$ solutions comme je l'avais indiqué ci-dessus.
  • chris93
    chris93
    Vu dans un livre : l'équation $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$ où $n=p_1^{\alpha_1}\dots p_k^{\alpha_k}$ admet $(2\alpha_1+1)\dots (2\alpha_k+1)$ solutions (dans $\mathbb{N}^2$).
  • J.Faizant
    J.Faizant
    Bonjour

    Comme souvent lorsque l'on veut résoudre une équation en nombres entiers, on pense automatiquement aux nombres entiers naturels et dans ce cas il y a bien 21 solutions .
    Mais si l'ensemble des nombres entiers considéré est Z, entiers positifs ou négatifs, il y a 41 solutions.Par exemple :(-251).(-16064)=20082 donne x=-251+2008=1757 et y=-16064+2008=-14056 soit le couple solution (1757,-14056).

    Réponse à Zéphir:
    Pour le cas où on considère les solutions dans N, il y a 21 et non 22 solutions car la décomposition 20082=2008.2008 ne donne qu'un seul couple solution: (4016,4016) au lieu de deux pour les décompositions 20042=a.b où a est différent de b.

    Cordialement.
  • bs
    bs
    Bonjour,

    Le même exercice ici avec 2010 proposé lors de la QDM16...
    Rappel: Concours Putnam du 3 décembre 1960, quel est le nombre de solutions dans $\N$ de l'équation: $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n} ?$$ Comme le rappellent Archimède ou chris 93, la réponse est effectivement $\tau(n^2)$, le nombre de diviseurs de $n^2$.

    Amicalement.
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    1/x+1/y=1/n (x et y dans N)

    Il est clair que x>n et que y>n.
    En posant x=n+u, avec u>=1, un petit calcul montre que y=n+n2/u.
    Les solutions sont donc les nombres u diviseurs de n2

    Si n=p1^a1*...*pk^ak et n2=p1^(2a1)*..*pk^(2ak), le nombre de solutions est donc (2a1+1)*...*(2ak+1)
  • zephir
    zephir
    Je pense qu'il y a désaccord sur l'ensemble des solutions.
    J'ai considéré que \{x,y\} et \{y,x\} était une même solution. Si l'on considère une solution comme étant un couple (x,y) alors c'est bon, il y a autant de solutions que de diviseurs de $n^2$.
  • Archimède
    Archimède
    zephir a écrit:
    J'ai considéré que $\{x,y\}$ et $\{y,x\}$ étai{\bf en}t une même solution.

    Dans ce cas vous devriez trouver $11$ solutions (voir mon message donnant la liste des $21$ solutions).
  • borde
    borde
    .
  • bs
    bs
    Re,
    ...et dans $\Z$, l'équation initiale [Faux: possède exactement tau(n)-1 /s]s]solutions[/s admet $\tau(n^2)-1$ solutions supplémentaires , soit $2 \tau(n^2)-1$ au total, comme démontré par RAJ dans le lien relatif à la QDM16 et par J.Faizant plus haut; donc ici, avec $n=2008$, cela fait $20$ solutions supplémentaires, soit 41 au total.

    [Edit: correction suite aux messages qui suivent, merci :) ]

    Amicalement.
  • mamane1
    mamane1
    t'es sûr de toi ?

    comment on peut avoir 11 solutions dans N et seulement 7 dans Z sachant N inclus dans Z ?

    les solutions de N sont aussi des solutions de Z.
  • Amtagpa
    Amtagpa
    bs voulait sûrement dire $2\tau(n^2)-1$, ce qui donne $41$ solutions dans $\Z^2$ pour $n=2008$ comme déjà dit par J.Faizant (on ne compte pas $a=b=-n$, qui correspond à $x=y=0$).

    Et si on considère $(x,y)$ et $(y,x)$ comme une même solution, ça fait (sauf erreur) $\tau(n^2)$ solutions.
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