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sur les nombres premiers jumeaux

Envoyé par izzet 
sur les nombres premiers jumeaux
il y a trois années
Titre initial : Théorème d'UNLU : les nombres premiers jumeaux sont infinis
[Un titre doit être clair et concis, pas présenté sous forme de fanfaronnade. AD]

Les nombres premiers jumeaux sont infinis. Ceci est mon théorème puisque je vais vous apporter en quelques lignes la démonstration :

On suppose la liste des nombres premiers, et Pn le nième nombre premier dans la liste ordonnée des nombres premiers suivants {P1,P2,P3,...,Pn}.
On définit alors le nombre suivant N = P1*P2*P3*...*Pn + 1 qui est un nouvel entier. On démontre facilement que ce nombre N est un nouveau nombre premier supérieur aux précédents :
Soit E = N / Pi, i appartien à [1,n]
E = (P1*P2*P3*...*P(i-1)*Pi*P(i+1)*...*P(n-1)*Pn) / Pi + 1 / Pi
= Q + 1 / Pi, avec Q = (P1*P2*P3*...*P(i-1)*Pi*P(i+1)*...*P(n-1)*Pn) / Pi. On voit alors que Q est entier.
Pi étant supérieur à 1, on conclut que ce nombre N n'est divisible par aucun des nombres premiers de la liste {P1,P2,P3,...,Pn}. N+1 est premier.

En raisonnant de la même façon pour la quantité N-1 on démontre également que ce nombre est premier aussi.

N-1 et N+1 étant premier, on conclut alors que la liste des nombres premiers jumeaux est infini. CQFD.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Théorème d'UNLU : les nombres premiers jumeaux sont infinis
il y a trois années
avatar
Attention N = P1*P2*P3*...*Pn + 1 n'est pas toujours premier.

2*3*5*7*11*13 +1 est divisible par 59

Merci aux administrateurs de ne pas fermer cette discussion.
Re: Théorème d'UNLU : les nombres premiers jumeaux sont infinis
il y a trois années
Et comme N est premier (ligne 4 de la "démo"), tu as même trouvé une infinité de nombres premiers triplés.

Corollaire évident : il existe une infinité de nombres premiers divisibles par 3 :)-D
Re: Théorème d'UNLU : les nombres premiers jumeaux sont infinis
il y a trois années
Exact il n'est pas toujours premier, mais alors s'il existe toujours un nombre premier qui peut s'écrire de la forme N+1 comme décrit ci-dessus on démontre que N-1 est premier aussi et donc l'infinité des nombres premiers jumeaux.
ptolemee
Re: infinitude des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
Bonsoir,

Désolé mais c'est faux: $2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13 + 1 = 30031 = 59\times 509$ donc n'est pas lui-même premier.

[La case LaTeX. AD]
Re: infinitude des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
Non c'est vrai car il existe toujours un N+1 premier !
Re: infinitude des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
La preuve n!+1 toujours premier ! donc j'ai démontré et ce N!+1 premier est une vérité fondamentale !
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
Non c'est pas vrai j'abandonne lol
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
avatar
Re: infinitude des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
Bonsoir,

Izzet exprime le problème de l'infinitude des nombres premiers jumeaux.
Est-ce vrai ?
Est-ce faux ?

Ce qu'on montre facilement, c'est que ( p , q ) deux nombres premiers jumeaux s'écrivent aussi :

p = 6n - 1 ( n, entier > 0 )
q = 6n + 1

Vous qui avez regardé mon crible ( tableau excel B2.xls ), observez la caractérisation par les restes des multiples de 6
et des nombres premiers jumeaux associés : ( 5 , 7 ) ; ( 11 , 13 ) ; ( 17 , 19 ) ; ( 29 , 31 ) etc...

Dans ma dernière réponse, je vous exprimais que mon crible était établis sur des cycles de restes de division par 2, 3...etc...

Vous pouvez constater que tout 6n se note en caractérisation par les restes :

6n
0 <= reste de la division de 6n par 2
0 <= reste de la division de 6n par 3
r <= reste(s) par tout autre nombre premier > 3

En toute probabilité, r offre un certain nombres de possibilité que r-1 et r+1 soient non nuls et que les deux séries de
caractérisation de p et de q soient celles de nombres premiers ( id est que p et q soient jumeaux ).

Quand 6n est très grand, r est très grand : en toute probabilité, le nombre des r-1 et r+1 non nuls varie.

L'étude des cycles lisibles sur mon crible peut amener à pencher dans un sens ou dans un autre.

Je crois pouvoir avancer que puisque nous avons des "fenêtres" cycliques pour les nombres premiers jumeaux p et q, une fois que la fenêtre opère souvent dans le début des nombres premiers, on peut faire courir 6n fort loin ( n => infini ) avec
un nombre de r donné : il suffit d'aligner des "trous" de 6n.

Le crible agit comme un téléscope : on peut voir très loin et même calculer n en fonction des restes r.

Je ne suis pas assez habile ( trop amateur ) en mathématique pour l'écrire en termes mathématiques, mais je suis capable de l'exprimer en français.

Voyez-vous comment fonctionne mon crible ( grâce à la caractérisation des entiers par les restes des divisions par 2, 3...etc... ) ?

Mon crible n'est pas compliqué : il respecte l'arithmétique et offre des pistes de réflexion.

J'ai encore à dire, mais, comme vous le disiez si bien allons pas à pas : si je ne vous ennuie pas ( ? ).

Gonzague de VILLEMAGNE
de VILLEMAGNE écrivait:
-------------------------------------------------------
> Bonsoir,
>
> Izzet exprime le problème de l'infinitude des
> nombres premiers jumeaux.
> Est-ce vrai ?
> Est-ce faux ?
>
Bonjour
Izzet "montre uniquement" qu'il existe une infinité de nombres premiers mais Euclide aussi...spinning smiley sticking its tongue out

pour montrer ne serait ce qu'un semblant de conjecture vraie.
il lui faudrait de sérieux argument pour montrer que lorsque :
N+1 est premier..., alors : N - 1 est aussi premier .....hot smiley

il lui reste donc toute la conjecture à étudier, car à ce stade, il n'a absolument rien montré, il ne pourrait même pas établir la conjecture...!

concernant les premiers P: classe A et classe B; de la forme 6k+1et 6k-1cela a été étudier et montré au 41ème congrès des mathématiques au Québec en 1998 par J P Sagnet.

en utilisant uniquement la suite des nombres premiers pour former des transitions de types AA, AB ,BB, BA , soit 4 couples de transitions.
(afin de rester dans la logique du théorème de Dirichlet, il a montré que si le nombres de transition AB étaient finies, cela contredirait le théorème de Dirichlet.)

exemple du passage d'une transition à la suivante:
Exemple 7.7.11.13.13.17..= BBABBA.
le dernier premier remplace les multiples, jusqu’au prochain premier, donc 9 et 15 ne peuvent figurer, ils sont remplacés successivement par 7 , puis par 13 »)
la transition AB, est une transition jumelle donc : ABj
il est facile de montrer qu'il existe une infinité de transition des 4 couples
mais les transition AB peuvent se scinder en deux familles les ABj et les ABr ; r pour retournement une transition ABr n'est pas un couple de premiers jumeaux !

est ce qu'à partir d'une limite X, il n'y aurait que des ABr parmi l'infinité des transitions AB..?
ce que l'on sait: c'est que ce sont les ABj qui sont en premier et qui vont permettre les ABr!

autrement dit pour qu'il y est de nouveaux ABr il faudrait de nouveaux ABj.... sinon on aurait que des ABr issues de leur antécedants...

de plus on peut conjecturer que si :

il existe une infinité de triplets de premiers congrus 7 et 23 modulo 30, tel qu'entre ces 3 premiers, l'écart est de 16 et 14 soit le triplet de premiers; 7.23.37;
alors: il existe une infinité de premiers jumeaux !
Car dans un tableau prévu à cet effet il y a autant d'ABj =1 que d'ABr = 7

une ABr =7 c'est une différence de 14 entre ces deux premiers, formant une transition Abr =7
par exemple 113 et 127; congrus 23 et 7 [30]

ce qui confirmerait ce que tout le monde pense: il en existe bien une infinité!
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
Bonsoir,

La question à ce pose ici n'est pas :
Est ce que la formule arithmétique P!+1 donne toujours un nombre premier? (C'est évident NON)
Mais Est ce que le couple P!+1 et P! -1 donnent une infinité de nombre premiers ?
Si oui, la conjecture sur les nombres premiers jumeaux est démontré :)



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par shadow-light.
Bonsoir à toutes et à tous

NOUVEAU THEOREME :
Pour tout n £ N*, (n+2) et (n+4) forment une paire de nombres premiers jumeaux si le produit (n+2)(n+4) divise ( n(n+1) ! – 2 ).

Bien à tous
[attachment 18998 Nouveauthormesurlesnombrespremiersjumeaux.pdf]
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
avatar
ibougueye:
Une telle caractérisation, si elle est correcte, n'est pas nouvelle, on en connait une telle depuis 1949:

[fr.wikipedia.org]
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
avatar
Le résultat que tu mentionnes peut se reformuler de cette façon:

p et q=p+2 forment une paire de nombres jumeaux si $(p-2)(p-1)!-2=0 \mod pq$

Le théorème de 1949 affirme que p et q=p+2 forment une paire de nombres jumeaux si et seulement si:

$4[(p-1)!+1]+p=0 \mod pq$ (I)

4 est inversible (pour la multiplication) dans l'anneau $\Z/pq\Z$

Ainsi (I) est équivalente à:

$(p-1)!=-p4^{-1}-1 \mod pq$

Calculons $(p-2)(p-1)!-2 \mod pq$

$(p-2)(p-1)!-2=(p-2)(-p4^{-1}-1)-2=-p^24^{-1}-p+2p4^{-1} +2-2=-p4^{-1}(p+4-2) \mod pq$

Or $q=p+2$ donc:
$(p-2)(p-1)!-2=-p4^{-1}pq=0 \mod qp$

Je te laisse le soin de tirer les conclusions par toi-même.
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
Bon après-midi M.? Mme?
Avant toute conclusion, SVP puis je avoir une démonstration complète du théorème de Clément émis en 1949?
Bien à vous
bs
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
avatar
Bonjour,

Tu as deux références: ici [www.les-mathematiques.net]

Amicalement.
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
Bonsoir bs
Merci beaucoup
Bien à vous
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
Bonsoir
Je pense avoir démontré l'infinitude des nombres premiers jumeaux.
A celle, celui, celles ou ceux qui sont intéressé((e)s), prière de me remettre le (les) mail.
Bien à tous!
FDP-unplugged
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
La démonstration est trop longue pour tenir dans un message sur le forum? cool smiley
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
Bonjour Ibougueye

Citation

Je pense avoir démontré l'infinitude des nombres premiers jumeaux.
Tu n'es pas le premier, beaucoup l'ont déjà pensé, jusqu'ici à tort. Tous ceux qui ont publié leur "preuve" l'ont vue invalidée.
Tu ne seras pas le dernier, même si ta preuve est juste (il existe encore des "prouveurs" de la quadrature du cercle, pourtant impossible à prouver, c'est prouvé).
Pour savoir si elle est juste, il faut la publier pour qu'elle soit soumise à vérification.
Personne de sérieux ne t'enverra d'adresse mail, car des revendications comme la tienne il y en a deux par semaine dans le monde.

Cordialement.
Bonjour ibougueye
Moi, cela m'intéresse, mais je pense qu'au lieu d'envoyer plusieurs fichiers, il serait intéressant de mettre directement ton fichier en pièce jointe sur le fil..
De sorte que chacun pourra en profiter.
De toutes les façons, bonne ou mauvaise, ta démo donnera peut être des idées..
Merci.

[Inutile de répéter le message précédent. AD]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
Bonjour FDP
Non du tout. C'est une démonstration de 3 pages. Mais j'ai du mal à l'attacher et quand je la colle le format est modifié et tout se mélange.
Bien à vous
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
Bonjour gerard0
Je suis en partie d'accord.
En effet la science évolue. Au moyen-âge il y avait toujours de grands scientifiques qui étaient convaincu que la terre est le centre du monde.
Concernant le sujet il est vrai que beaucoup de mathématicien ont échoué, mais je suis sûr que la conjecture des nombres premiers jumeaux sera un jour résolu, si ce n'est déjà le cas. De plus il peut y avoir plusieurs démonstrations. J'ai déjà une idée sur une deuxième preuve.
Je vais m'aventurer à mettre la charrue avant les boeufs et vous donner un avant gout de ma deuxième démonstration.
(n+2) et (n+4) sont des nombres premiers jumeaux sssi (n+2)(n+4) divise n(n+1)! - 2 (corollaire du théorème de Clement de 1949) n £ N. Maintenant je propose de remplacer la fonction factorielle par la fonction Gamma d'Euler (ce qui est possible pour n entier naturel) encore appellée fonction factorielle généralisée et d'étudier la fonction f définie par f(n)= n(n+1)! - 2/(n+2)(n+4). Ceci en s'inspirant de l'étude de la fonction Gamma d'Euler en pièce jointe.
Pour des raisons particulières je ne peux m'avancer sur la première preuve (je l'ai déjà soumis pour publication)
Bien à tous!
[attachment 21080 EtudedelafonctiongammadEuler.pdf]
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Etude de la fonction gamma d'Euler.pdf (91.3 KB)
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
avatar
ben justement, si ta première démo est soumise pour publication, tu n'as pas à craindre que quelqu'un te la pique, si c'est ça qui t'arrête., donc tu peux nous la soumettre, je suis certain que ça intéresserait beaucoup de monde ici.

Greg

Ora, lege, lege, relege, labora et invenies (Prie, lis, lis , relis, travaille et tu trouveras)
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
Bonsoir Gregingre ... Rires
Au fait j'ai plus peur d'être en porte-à-faux avec les mentions légales, règles d'éthique et les directives aux auteurs de la revue que de me faire piquer ma démonstration. Mais puisque cela vous intéresse autant mon mail est [attachment 21082 ibrahim.png]
J'aime bien ta citation soit dit en passant



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.


Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
Bonsoir Fin de partie
Cela fait un bon bout de temps!
Comment allez vous? J'espère que vous avez la paix et la santé et beaucoup de bonheur.
Cette fois-ci je pense avoir définitivement démontré l'infinitude des nombres premiers jumeaux.
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
Bien.

Attendons la publication. Tu nous préviendras.

Cordialement.
Diffuser ses articles avant qu'ils soient publiés est au contraire l'usage en math. Voir le site arXiv sur lequel les matheux postent leur prépublications.
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
avatar
Sans vouloir jouer les rabat-joie, il serait plus intéressant de démontrer la conjecture de de Polignac, et d'en déduire la conjecture des nombres premiers jumeaux comme corollaire.
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
Bonjour Dé
Merci pour l'information. Je ne savais pas. Je suis mathématicien amateur. En pièce jointe ma démonstration.
Bien à toi
[attachment 21092 Infinitudedescouplesdepremiersjumeauxversiondu28-9-2011.pdf]
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Infinitude des couples de premiers jumeaux version du 28-9-2011.pdf (107.9 KB)
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
Bonsoir Sylvain
Il est vrai que la conjecture d'Alphonse De Polignac de 1849 est plus générale. La conjecture des nombres premiers jumeaux n'en sera qu'un cas particulier. Je pense déjà à la démontrer par récurrence partant de la conjecture des nombres premiers jumeaux.
J'y verrai plus clait icA plus tard.
Bonne soirée!
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
Prenons le cas des nombres premiers cousins dans le cadre de la conjecture de De Polignac. Si on reformule on a: il existe une infinité de couples de nombres premiers dont la différence (entre le plus grand et le plus petit) fait 4. Si mes calculs que j'ai fait à la hâte et à la va vite sont juste il faudra qu'il existe une infinité de nombres entiers n tels que: (12n+27)(n+1)!+n+5 DIVISIBLE PAR (n+2)(n+6)
bonjour

tu dis :

Il existe une infinité de valeurs de n telles que (n+1) ! + 1 = 0 (modulo (n+2))

tu transformes une supposition en vérité, puis de là tu vas sur ton raisonnement par l'absurde ...
Où as-tu démontré, que ta phrase ci dessus est vraie...? car il est évident que tout le reste suit cette condition, ... Clément aurait pu dire la même chose,
il y a dans ce passage quelque chose qui m'échappe...car cela déforme le raisonnement du : si en affirmation, par un passage ... de : a, ... puis en ... b, ... puis en c
      (4 ((n+1)! + 1) + n+2) + n(n+1) ! - 2   x + y   (n+1) ! + 1
e+d = ------------------------------------- = ----- = -----------
                    (n+2)(n+4)                  z        (n+2)
Car sauf erreur, la dernière égalité et tout simplement le raisonnement de la factorielle +1 est divisible par (n+2) s'il est premier, et effectivement il existe une infinité de premiers...
Il me semble que tu transformes un peu vite ... une supposition en vérité, par un habile passage en trois étapes.

Mais peut être que c'était aussi simple que cela, et que tu es le seul à l'avoir vu ("je l'espère pour toi").
Amicalement
L G



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
Bonjour L G
Il existe une infinité de valeurs de n telles que (n+1) ! + 1 = 0 (modulo (n+2)) ; ceci n'est pas une supposition c'est réel. Cela correspond au théorème de Wilson-Lagrange énoncé plus haut et démontré depuis longtemps par Lagrange , Gauss et Euler. Tu pourras trouver les démonstrations de ces 3 illustres mathématiciens en allant sur google et en tapant démonstration du théorème de Wilson wikipedia.
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
Rebonjour
Je pense que tout tourne autour du théorème de Wilson-Lagrange qui dit qu'il existe une infinité de valeurs de n telles que (n+2) divise (n+1)!+ 1.
Le théorème de Clément dit qu'il y a une infinité de couples de nombres premiers jumeaux si (j'évite désormais de dire si et seulement si) il existe une infinité de valeurs de n £ N* telles que 4(n+1)! + n + 6 DIVISIBLE PAR (n+2)(n+4).
En partant j'ai pu démontrer que s'il existe une infinité de n telles que n(n+1)! - 2 divisible par (n+2)(n+4) alors le nombres de couples de premiers jumeaux est infini. Mais ceci n'est qu'un corollaire du théorème de Clément de 1949 alors qu'au début j'avais pensé avoir découvert un nouveau théorème.
Mais si on associe le théorème de Clément et son corollaire; ce qui correspond à (e+d) du texte on se retrouve comme par hasard avec ((n+1)! + 1)/(n+2)
Le reste en fut simplifié.
ibougueye écrivait:
-------------------------------------------------------
> Bonjour L G
> Il existe une infinité de valeurs de n telles que
> (n+1) ! + 1 = 0 (modulo (n+2)) ; ceci n'est pas une supposition.

Bien sur, et je ne dit pas le contraire.

mais (n+1) ! + 1 / (n+2)) peux tu me dire et en le démontrant que (n+2) peut prendre une infinité de fois le produit de deux premiers p1et p2 avec 2 d'écart....?

et non pas:( la boite du chat de Schröndinger)

car cette triple égalité me fait penser vraiment à cette boite:

première égalité: (n+2)(n+4)= le chat est vivant, deuxième égalité soit z = le chat est mort
troisième égalité, (n+2) le chat est soit mort soit vivant...

alors je te demande :
est ce que (n+2) est bien le chat vivant et, qu'il y en a une infinité...?

je suppose que tu as du penser à cette possibilité: qu'elle peut être la nature de ((n+2) ou si tu préfères qu'elle forme peut il prendre.

["on peut même dire, que si il existe une infinité de triplet de premiers, p1,p2, p3 ayant 14 et 16 d'écart entre eux exemple, 7.23.37 , alors il existe une infinité de triplets de premiers p1,p2, p3 ayant 2 et 28 d'écart. ex: 11.13.41 donc de Pj.
le contraire laisse supposer que la densité de nombre premiers dans des suites arithmétiques bien défini, n'est pas la même....."]
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
Bonsoir LG
N'oublie pas que je ne suis qu'un mathématicien amateur ayant tout juste le niveau de Terminale S1.
L'histoire de la boite du chat de Schröndinger je ne me le remémore que superficiellement car n'en ayant pas eu une lecture attentive. En cela je ne te suis pas.
Je dis que l'équivalence entre le théorème de Clément (matérialisé par d) et son corollaire (représenté par e) permettent la démonstration par l'absurde.
Je sais d'emblée qu'il y a une infinité de valeur de n telles que (n+2) divise (n+1)! + 1.
J'ai supposé qu'il existe un nombre fini de valeurs de n telles que (n+2)(n+4) divise 4(n+1)! + n + 6. Etant donné l'équivalence précitée , on peut déduire de cette supposition qu'il existe un nombre fini de n telles que (n+2)(n+4) divise n(n+1)! - 2. Dans les mêmes conditions on peut en déduire qu'il existe un nombre fini de n telles que (4(n+1)! + n + 6 + n(n+1)! - 2) divisible par (n+2)(n+4) ... La simplification du rapport donne comme par hasard ..........................((n+1)! + 1)/(n+2). Or d'après le théorème de Wilson-Lagrange, il existe une infinité de n telles que (n+2) divise (n+1)! + 1. D'où l'absurdité! Ce qui veut forcément dire que notre supposition est fausse. D'où il existe bel et bien une nombre non fini (donc infini) de n telles que d (et e) soit (soient) entier(s).
Soit dit en passant la démontration de Clement est presque introuvable sur le net. Preuve qu'elle a été aux oubliettes. Cependant elle figure aux pages 253-254 et 255 du livre des Pr De Koninck et Mercier intitulé "1001 problèmes en théorie classique des nombres" dont je viens de faire la commande.
D'autre part la dernière partie de ton texte me rappelle la conjecture de De Polignac et mieux encore aux résultat de Terence Tao publié en 2004 et validé sur l'existence de "suites plus ou moins longues formées de deux, de trois ou plus de nombres premiers, séparés entre eux par des intervalles identiques et arbitrairement longs"
Tous comptes faits, on verra...
J'ai le mail de Tao mais il insiste sur le fait qu'il ne se refuse à repondre aux mails portant sur une démonstration de l'infinitude des nombres premiers.
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
Pour revenir à un de tes mails précédents LG je précise que je n'ai pas "transformé une supposition en vérité" mais ladite supposition en contre-vérité pour coller à l'esprit de toute démonstration par l'absurde.
Re: infinité des nombres premiers jumeaux
il y a trois années
Soit dit en passant je suis en attente de la reponse du Professeur Jean Marie De Koninck
Désolé,vous ne pouvez pas répondre à cette discussion, elle est fermée.
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