sur les nombres premiers jumeaux
dans Arithmétique
Titre initial : Théorème d'UNLU : les nombres premiers jumeaux sont infinis
[Un titre doit être clair et concis, pas présenté sous forme de fanfaronnade. AD]
Les nombres premiers jumeaux sont infinis. Ceci est mon théorème puisque je vais vous apporter en quelques lignes la démonstration :
On suppose la liste des nombres premiers, et Pn le nième nombre premier dans la liste ordonnée des nombres premiers suivants {P1,P2,P3,...,Pn}.
On définit alors le nombre suivant N = P1*P2*P3*...*Pn + 1 qui est un nouvel entier. On démontre facilement que ce nombre N est un nouveau nombre premier supérieur aux précédents :
Soit E = N / Pi, i appartien à [1,n]
E = (P1*P2*P3*...*P(i-1)*Pi*P(i+1)*...*P(n-1)*Pn) / Pi + 1 / Pi
= Q + 1 / Pi, avec Q = (P1*P2*P3*...*P(i-1)*Pi*P(i+1)*...*P(n-1)*Pn) / Pi. On voit alors que Q est entier.
Pi étant supérieur à 1, on conclut que ce nombre N n'est divisible par aucun des nombres premiers de la liste {P1,P2,P3,...,Pn}. N+1 est premier.
En raisonnant de la même façon pour la quantité N-1 on démontre également que ce nombre est premier aussi.
N-1 et N+1 étant premier, on conclut alors que la liste des nombres premiers jumeaux est infini. CQFD.
[Un titre doit être clair et concis, pas présenté sous forme de fanfaronnade. AD]
Les nombres premiers jumeaux sont infinis. Ceci est mon théorème puisque je vais vous apporter en quelques lignes la démonstration :
On suppose la liste des nombres premiers, et Pn le nième nombre premier dans la liste ordonnée des nombres premiers suivants {P1,P2,P3,...,Pn}.
On définit alors le nombre suivant N = P1*P2*P3*...*Pn + 1 qui est un nouvel entier. On démontre facilement que ce nombre N est un nouveau nombre premier supérieur aux précédents :
Soit E = N / Pi, i appartien à [1,n]
E = (P1*P2*P3*...*P(i-1)*Pi*P(i+1)*...*P(n-1)*Pn) / Pi + 1 / Pi
= Q + 1 / Pi, avec Q = (P1*P2*P3*...*P(i-1)*Pi*P(i+1)*...*P(n-1)*Pn) / Pi. On voit alors que Q est entier.
Pi étant supérieur à 1, on conclut que ce nombre N n'est divisible par aucun des nombres premiers de la liste {P1,P2,P3,...,Pn}. N+1 est premier.
En raisonnant de la même façon pour la quantité N-1 on démontre également que ce nombre est premier aussi.
N-1 et N+1 étant premier, on conclut alors que la liste des nombres premiers jumeaux est infini. CQFD.
Cette discussion a été fermée.
Réponses
2*3*5*7*11*13 +1 est divisible par 59
Corollaire évident : il existe une infinité de nombres premiers divisibles par 3 -D
Désolé mais c'est faux: $2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13 + 1 = 30031 = 59\times 509$ donc n'est pas lui-même premier.
[La case LaTeX. AD]
Izzet exprime le problème de l'infinitude des nombres premiers jumeaux.
Est-ce vrai ?
Est-ce faux ?
Ce qu'on montre facilement, c'est que ( p , q ) deux nombres premiers jumeaux s'écrivent aussi :
p = 6n - 1 ( n, entier > 0 )
q = 6n + 1
Vous qui avez regardé mon crible ( tableau excel B2.xls ), observez la caractérisation par les restes des multiples de 6
et des nombres premiers jumeaux associés : ( 5 , 7 ) ; ( 11 , 13 ) ; ( 17 , 19 ) ; ( 29 , 31 ) etc...
Dans ma dernière réponse, je vous exprimais que mon crible était établis sur des cycles de restes de division par 2, 3...etc...
Vous pouvez constater que tout 6n se note en caractérisation par les restes :
6n
0 <= reste de la division de 6n par 2
0 <= reste de la division de 6n par 3
r <= reste(s) par tout autre nombre premier > 3
En toute probabilité, r offre un certain nombres de possibilité que r-1 et r+1 soient non nuls et que les deux séries de
caractérisation de p et de q soient celles de nombres premiers ( id est que p et q soient jumeaux ).
Quand 6n est très grand, r est très grand : en toute probabilité, le nombre des r-1 et r+1 non nuls varie.
L'étude des cycles lisibles sur mon crible peut amener à pencher dans un sens ou dans un autre.
Je crois pouvoir avancer que puisque nous avons des "fenêtres" cycliques pour les nombres premiers jumeaux p et q, une fois que la fenêtre opère souvent dans le début des nombres premiers, on peut faire courir 6n fort loin ( n => infini ) avec
un nombre de r donné : il suffit d'aligner des "trous" de 6n.
Le crible agit comme un téléscope : on peut voir très loin et même calculer n en fonction des restes r.
Je ne suis pas assez habile ( trop amateur ) en mathématique pour l'écrire en termes mathématiques, mais je suis capable de l'exprimer en français.
Voyez-vous comment fonctionne mon crible ( grâce à la caractérisation des entiers par les restes des divisions par 2, 3...etc... ) ?
Mon crible n'est pas compliqué : il respecte l'arithmétique et offre des pistes de réflexion.
J'ai encore à dire, mais, comme vous le disiez si bien allons pas à pas : si je ne vous ennuie pas ( ? ).
> Bonsoir,
>
> Izzet exprime le problème de l'infinitude des
> nombres premiers jumeaux.
> Est-ce vrai ?
> Est-ce faux ?
>
Bonjour
Izzet "montre uniquement" qu'il existe une infinité de nombres premiers mais Euclide aussi...(:P)
pour montrer ne serait ce qu'un semblant de conjecture vraie.
il lui faudrait de sérieux argument pour montrer que lorsque :
N+1 est premier..., alors : N - 1 est aussi premier .....X:-(
il lui reste donc toute la conjecture à étudier, car à ce stade, il n'a absolument rien montré, il ne pourrait même pas établir la conjecture...!
concernant les premiers P: classe A et classe B; de la forme 6k+1et 6k-1cela a été étudier et montré au 41ème congrès des mathématiques au Québec en 1998 par J P Sagnet.
en utilisant uniquement la suite des nombres premiers pour former des transitions de types AA, AB ,BB, BA , soit 4 couples de transitions.
(afin de rester dans la logique du théorème de Dirichlet, il a montré que si le nombres de transition AB étaient finies, cela contredirait le théorème de Dirichlet.)
exemple du passage d'une transition à la suivante:
Exemple 7.7.11.13.13.17..= BBABBA.
le dernier premier remplace les multiples, jusqu’au prochain premier, donc 9 et 15 ne peuvent figurer, ils sont remplacés successivement par 7 , puis par 13 »)
la transition AB, est une transition jumelle donc : ABj
il est facile de montrer qu'il existe une infinité de transition des 4 couples
mais les transition AB peuvent se scinder en deux familles les ABj et les ABr ; r pour retournement une transition ABr n'est pas un couple de premiers jumeaux !
est ce qu'à partir d'une limite X, il n'y aurait que des ABr parmi l'infinité des transitions AB..?
ce que l'on sait: c'est que ce sont les ABj qui sont en premier et qui vont permettre les ABr!
autrement dit pour qu'il y est de nouveaux ABr il faudrait de nouveaux ABj.... sinon on aurait que des ABr issues de leur antécedants...
de plus on peut conjecturer que si :
il existe une infinité de triplets de premiers congrus 7 et 23 modulo 30, tel qu'entre ces 3 premiers, l'écart est de 16 et 14 soit le triplet de premiers; 7.23.37;
alors: il existe une infinité de premiers jumeaux !
Car dans un tableau prévu à cet effet il y a autant d'ABj =1 que d'ABr = 7
une ABr =7 c'est une différence de 14 entre ces deux premiers, formant une transition Abr =7
par exemple 113 et 127; congrus 23 et 7 [30]
ce qui confirmerait ce que tout le monde pense: il en existe bien une infinité!
La question à ce pose ici n'est pas :
Est ce que la formule arithmétique P!+1 donne toujours un nombre premier? (C'est évident NON)
Mais Est ce que le couple P!+1 et P! -1 donnent une infinité de nombre premiers ?
Si oui, la conjecture sur les nombres premiers jumeaux est démontré
NOUVEAU THEOREME :
Pour tout n £ N*, (n+2) et (n+4) forment une paire de nombres premiers jumeaux si le produit (n+2)(n+4) divise ( n(n+1) ! – 2 ).
Bien à tous
Une telle caractérisation, si elle est correcte, n'est pas nouvelle, on en connait une telle depuis 1949:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_premiers_jumeaux#Quelques_propri.C3.A9t.C3.A9s
p et q=p+2 forment une paire de nombres jumeaux si $(p-2)(p-1)!-2=0 \mod pq$
Le théorème de 1949 affirme que p et q=p+2 forment une paire de nombres jumeaux si et seulement si:
$4[(p-1)!+1]+p=0 \mod pq$ (I)
4 est inversible (pour la multiplication) dans l'anneau $\Z/pq\Z$
Ainsi (I) est équivalente à:
$(p-1)!=-p4^{-1}-1 \mod pq$
Calculons $(p-2)(p-1)!-2 \mod pq$
$(p-2)(p-1)!-2=(p-2)(-p4^{-1}-1)-2=-p^24^{-1}-p+2p4^{-1} +2-2=-p4^{-1}(p+4-2) \mod pq$
Or $q=p+2$ donc:
$(p-2)(p-1)!-2=-p4^{-1}pq=0 \mod qp$
Je te laisse le soin de tirer les conclusions par toi-même.
Avant toute conclusion, SVP puis je avoir une démonstration complète du théorème de Clément émis en 1949?
Bien à vous
Tu as deux références: ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,324350,324851#msg-324851
Amicalement.
Merci beaucoup
Bien à vous
Je pense avoir démontré l'infinitude des nombres premiers jumeaux.
A celle, celui, celles ou ceux qui sont intéressé((e)s), prière de me remettre le (les) mail.
Bien à tous!
Tu n'es pas le premier, beaucoup l'ont déjà pensé, jusqu'ici à tort. Tous ceux qui ont publié leur "preuve" l'ont vue invalidée.
Tu ne seras pas le dernier, même si ta preuve est juste (il existe encore des "prouveurs" de la quadrature du cercle, pourtant impossible à prouver, c'est prouvé).
Pour savoir si elle est juste, il faut la publier pour qu'elle soit soumise à vérification.
Personne de sérieux ne t'enverra d'adresse mail, car des revendications comme la tienne il y en a deux par semaine dans le monde.
Cordialement.
Moi, cela m'intéresse, mais je pense qu'au lieu d'envoyer plusieurs fichiers, il serait intéressant de mettre directement ton fichier en pièce jointe sur le fil..
De sorte que chacun pourra en profiter.
De toutes les façons, bonne ou mauvaise, ta démo donnera peut être des idées..
Merci.
[Inutile de répéter le message précédent. AD]
Non du tout. C'est une démonstration de 3 pages. Mais j'ai du mal à l'attacher et quand je la colle le format est modifié et tout se mélange.
Bien à vous
Je suis en partie d'accord.
En effet la science évolue. Au moyen-âge il y avait toujours de grands scientifiques qui étaient convaincu que la terre est le centre du monde.
Concernant le sujet il est vrai que beaucoup de mathématicien ont échoué, mais je suis sûr que la conjecture des nombres premiers jumeaux sera un jour résolu, si ce n'est déjà le cas. De plus il peut y avoir plusieurs démonstrations. J'ai déjà une idée sur une deuxième preuve.
Je vais m'aventurer à mettre la charrue avant les boeufs et vous donner un avant gout de ma deuxième démonstration.
(n+2) et (n+4) sont des nombres premiers jumeaux sssi (n+2)(n+4) divise n(n+1)! - 2 (corollaire du théorème de Clement de 1949) n £ N. Maintenant je propose de remplacer la fonction factorielle par la fonction Gamma d'Euler (ce qui est possible pour n entier naturel) encore appellée fonction factorielle généralisée et d'étudier la fonction f définie par f(n)= n(n+1)! - 2/(n+2)(n+4). Ceci en s'inspirant de l'étude de la fonction Gamma d'Euler en pièce jointe.
Pour des raisons particulières je ne peux m'avancer sur la première preuve (je l'ai déjà soumis pour publication)
Bien à tous!
Au fait j'ai plus peur d'être en porte-à-faux avec les mentions légales, règles d'éthique et les directives aux auteurs de la revue que de me faire piquer ma démonstration. Mais puisque cela vous intéresse autant mon mail est
Cela fait un bon bout de temps!
Comment allez vous? J'espère que vous avez la paix et la santé et beaucoup de bonheur.
Cette fois-ci je pense avoir définitivement démontré l'infinitude des nombres premiers jumeaux.
Attendons la publication. Tu nous préviendras.
Cordialement.
Merci pour l'information. Je ne savais pas. Je suis mathématicien amateur. En pièce jointe ma démonstration.
Bien à toi
Il est vrai que la conjecture d'Alphonse De Polignac de 1849 est plus générale. La conjecture des nombres premiers jumeaux n'en sera qu'un cas particulier. Je pense déjà à la démontrer par récurrence partant de la conjecture des nombres premiers jumeaux.
J'y verrai plus clait icA plus tard.
Bonne soirée!
tu dis :
Il existe une infinité de valeurs de n telles que (n+1) ! + 1 = 0 (modulo (n+2))
tu transformes une supposition en vérité, puis de là tu vas sur ton raisonnement par l'absurde ...
Où as-tu démontré, que ta phrase ci dessus est vraie...? car il est évident que tout le reste suit cette condition, ... Clément aurait pu dire la même chose,
il y a dans ce passage quelque chose qui m'échappe...car cela déforme le raisonnement du : si en affirmation, par un passage ... de : a, ... puis en ... b, ... puis en c Car sauf erreur, la dernière égalité et tout simplement le raisonnement de la factorielle +1 est divisible par (n+2) s'il est premier, et effectivement il existe une infinité de premiers...
Il me semble que tu transformes un peu vite ... une supposition en vérité, par un habile passage en trois étapes.
Mais peut être que c'était aussi simple que cela, et que tu es le seul à l'avoir vu ("je l'espère pour toi").
Amicalement
L G
Il existe une infinité de valeurs de n telles que (n+1) ! + 1 = 0 (modulo (n+2)) ; ceci n'est pas une supposition c'est réel. Cela correspond au théorème de Wilson-Lagrange énoncé plus haut et démontré depuis longtemps par Lagrange , Gauss et Euler. Tu pourras trouver les démonstrations de ces 3 illustres mathématiciens en allant sur google et en tapant démonstration du théorème de Wilson wikipedia.
Je pense que tout tourne autour du théorème de Wilson-Lagrange qui dit qu'il existe une infinité de valeurs de n telles que (n+2) divise (n+1)!+ 1.
Le théorème de Clément dit qu'il y a une infinité de couples de nombres premiers jumeaux si (j'évite désormais de dire si et seulement si) il existe une infinité de valeurs de n £ N* telles que 4(n+1)! + n + 6 DIVISIBLE PAR (n+2)(n+4).
En partant j'ai pu démontrer que s'il existe une infinité de n telles que n(n+1)! - 2 divisible par (n+2)(n+4) alors le nombres de couples de premiers jumeaux est infini. Mais ceci n'est qu'un corollaire du théorème de Clément de 1949 alors qu'au début j'avais pensé avoir découvert un nouveau théorème.
Mais si on associe le théorème de Clément et son corollaire; ce qui correspond à (e+d) du texte on se retrouve comme par hasard avec ((n+1)! + 1)/(n+2)
Le reste en fut simplifié.
> Bonjour L G
> Il existe une infinité de valeurs de n telles que
> (n+1) ! + 1 = 0 (modulo (n+2)) ; ceci n'est pas une supposition.
Bien sur, et je ne dit pas le contraire.
mais (n+1) ! + 1 / (n+2)) peux tu me dire et en le démontrant que (n+2) peut prendre une infinité de fois le produit de deux premiers p1et p2 avec 2 d'écart....?
et non pas:( la boite du chat de Schröndinger)
car cette triple égalité me fait penser vraiment à cette boite:
première égalité: (n+2)(n+4)= le chat est vivant, deuxième égalité soit z = le chat est mort
troisième égalité, (n+2) le chat est soit mort soit vivant...
alors je te demande :
est ce que (n+2) est bien le chat vivant et, qu'il y en a une infinité...?
je suppose que tu as du penser à cette possibilité: qu'elle peut être la nature de ((n+2) ou si tu préfères qu'elle forme peut il prendre.
["on peut même dire, que si il existe une infinité de triplet de premiers, p1,p2, p3 ayant 14 et 16 d'écart entre eux exemple, 7.23.37 , alors il existe une infinité de triplets de premiers p1,p2, p3 ayant 2 et 28 d'écart. ex: 11.13.41 donc de Pj.
le contraire laisse supposer que la densité de nombre premiers dans des suites arithmétiques bien défini, n'est pas la même....."]
N'oublie pas que je ne suis qu'un mathématicien amateur ayant tout juste le niveau de Terminale S1.
L'histoire de la boite du chat de Schröndinger je ne me le remémore que superficiellement car n'en ayant pas eu une lecture attentive. En cela je ne te suis pas.
Je dis que l'équivalence entre le théorème de Clément (matérialisé par d) et son corollaire (représenté par e) permettent la démonstration par l'absurde.
Je sais d'emblée qu'il y a une infinité de valeur de n telles que (n+2) divise (n+1)! + 1.
J'ai supposé qu'il existe un nombre fini de valeurs de n telles que (n+2)(n+4) divise 4(n+1)! + n + 6. Etant donné l'équivalence précitée , on peut déduire de cette supposition qu'il existe un nombre fini de n telles que (n+2)(n+4) divise n(n+1)! - 2. Dans les mêmes conditions on peut en déduire qu'il existe un nombre fini de n telles que (4(n+1)! + n + 6 + n(n+1)! - 2) divisible par (n+2)(n+4) ... La simplification du rapport donne comme par hasard ..........................((n+1)! + 1)/(n+2). Or d'après le théorème de Wilson-Lagrange, il existe une infinité de n telles que (n+2) divise (n+1)! + 1. D'où l'absurdité! Ce qui veut forcément dire que notre supposition est fausse. D'où il existe bel et bien une nombre non fini (donc infini) de n telles que d (et e) soit (soient) entier(s).
Soit dit en passant la démontration de Clement est presque introuvable sur le net. Preuve qu'elle a été aux oubliettes. Cependant elle figure aux pages 253-254 et 255 du livre des Pr De Koninck et Mercier intitulé "1001 problèmes en théorie classique des nombres" dont je viens de faire la commande.
D'autre part la dernière partie de ton texte me rappelle la conjecture de De Polignac et mieux encore aux résultat de Terence Tao publié en 2004 et validé sur l'existence de "suites plus ou moins longues formées de deux, de trois ou plus de nombres premiers, séparés entre eux par des intervalles identiques et arbitrairement longs"
Tous comptes faits, on verra...
J'ai le mail de Tao mais il insiste sur le fait qu'il ne se refuse à repondre aux mails portant sur une démonstration de l'infinitude des nombres premiers.
f(n)=(nG(n+2) - 2)/(n+2)(n+4) ..... G représentant la fonction Gamma d'Euler.
Peut être qu'on aboutira à un résultat probant.
Que la terre lui soit légère.
> je précise que je n'ai pas "transformé une supposition en vérité"
C'est bien pour cela que je fais un rapport avec le chat...
Tu sais très bien que ssi n+2 divise (n+1)! +1 alors il est premier, dans le théorème de Clément, il s'agit d'un produit, alors dire que les deux égalités sont identiques me parait surprenant, car en aucun cas n+2 peut être un produit.
Ton passage de la première égalité à la deuxième où z, divise x+y, pour ensuite passer au théorème de Wilson et finalement conclure que les deux théorèmes "sont équivalents" ; car si A=b=C c'est difficile ensuite de dire que C n'est pas équivalent à A, ...
Alors n+2 pourrait être un produit ...
On peut dire que puisqu'il y a une infinité de premiers, il y a une infinité de jumeaux, mais surement pas en même densité. On peut déjà pas dire qu'ils sont équivalent et égaux ... C'est pourtant ce que dit, ta triple égalité.
J'ai donc fait le rapport avec le chat de Schröninger, où c'est la mesure qui change l'état, dans ton cas c'est le passage ("la mesure") de la première égalité à la troisième, qui transforme les deux théorèmes,
Pourquoi pas, puisque l'on peut dire : qu'effectivement dans l'infinité des nombres premiers, il y a les premiers jumeaux. Le seul hic, c'est que l'on ne peut pas ouvrir la boite des nombres premiers, pour regarder si, il y a une infinité de jumeaux à l'intérieur ...
Alors qu'avec l'expérience du chat, on pourrait ouvrir la boite et donner une réponse affirmative ... !
Donc, si effectivement ces deux théorèmes sont égaux et où équivalents, bien entendu : il y a une infinité de jumeaux et la conjecture est levée ...
Déjà, qu'un mathématicien compétent, réponde à cette question, relativement très simple.
Et si c'est le cas, ça me parait gros que Wilson ou Clément n'aient pas fait le rapprochement, ou un autre depuis le temps ...
Bonne journée.
Au fait démontrer l'équivalence est à la portée de tout étudiant du premier cycle universitaire de Mathématiques. Cf première page de ce forum (Interventions de Fin de match).
Tu peux aussi te reférer à la loi de réciprocité quadratique démontrée pour la première fois par le prince des Mathématiciens K. F. Gauss.
Je pense que c'est un peu logique que cela ait échappé aux Wilson, Euler, Lagrange, Gauss et j'en passe car ils ont vécu à cheval entre le 18ème et le 19ème siècle donc ils n'avaient connaissance du théorème de Clément. Pour Clément aussi c'est logique car (sous réserve d'avoir lu sa démonstration...j'attend le livre "1001 problèmes en théorie classique des nombres" de De Koninck et Mercier) je pense qu'il ignorait l'existence du corollaire de son théorème.
Moi j'ai eu la chance d'avoir eu toutes les pièces d'un petit puzzle. Au fait ce qui m'a surtout sauté à l'oeil c'est le 4(n+1)! de l'expresion de Clément et le n(n+1)! de son corollaire ... la somme faisant (n+4)(n+1)! ... J'ai tout de suite vu la possibilité de simplification avec le (n+4) du dénominateur.
Bien à vous
Ci-joint la liste de ces derniers
si ton équivalence est reconnue et admise, alors effectivement la solution était très simple, mais fallait y penser...j'espère sincèrement que pour toi c'est le cas.
Mais j'ai un doute car l'inverse ne me semble pas admis, c'est à dire: ce n'est pas par ce qu'il existe une infinité de premiers, donc de{ n+2 divisant (n+1)! +1 } qu'il existe une infinité de jumeaux...Je ne suis pas assez compétent. Peu être que cette équivalence est un paradoxe...
la densité de Pj par rapport à la densité de P, je pense a du être étudiée et je suppose que la constante, doit être < à la constante de Brun: B2 /3,75 soit 0,52.....
ce qui est intéressant ce sont les triplets de premiers, dont l'écart maximum entre le plus petit est le plus grand = 30, ce qui donne: comme différence, 2 et 28; et 14 et 16.
exemple 7,23 et 37; 11, 13 et 41; 17, 19 et 47; 29 , 31 et 59.
il est facile de calculer leur densité, on constate qu'un nombre fini de triplet ayant 2 , 28 et 30 de différence, implique aussi 14 ,16 et 30 de différence donc si il n'y a plus de jumeaux, alors il n'y a plus de triplets, donc de couples premiers ; 7 et 23 modulo 30, 23 et 37 modulo 30.
d'ailleurs avec ton tableau ci dessus, fait apparaître les triplet : 7,23 et 37 [30] et par exemple les triplets 11.13.41[30] ou encore les 4 triplet en 4 couleurs différentes...Tu peux même t'amuser à calculer la constante des couples de premiers 7 et 23 modulo 30; 23 et 37 modulo 30.
Voir même directement les 4 triplets
on peut d'ailleurs dire que ce son les premiers jumeaux, qui créaient les jumeaux; ce qui revient à dire pour qu'une infinité de Pj soit impossible, alors il aurait fallu qu'il n'y en ai pas du tout,
dans le début des nombres premiers, ce qui est impossible bien sur.
c'est aussi pour cela que la conjecture de Golbarch est liée aux premiers jumeaux, et on peut d'ailleurs constaté que le modulo 30 est toujours décomposé en somme de deux premiers.
bonne journée.
Si vous relisez bien l'article, j'ai bel et bien écris que mon expression est un corollaire du théorème de Clément et que cela est démontrable.