Irrationnalité de zeta(5)
dans Arithmétique
Bonjour
Je note par $Re$ la partie réelle d'un nombre complexe $z.$ En utilisant les équations de {\bf Kummer} pour les polylogarithmes d'ordre 4 et 5, je trouve l'expression :
$$\zeta(5) = - \frac{512}{15}.Re(Li_{5}(i)).$$
J'observe que via un logiciel de calcul formel :
$$Li_{5}(i) = -0.3037874283 + 0.9961578281*i.$$
J'ai donc le résultat suivant :
\fbox{$\zeta(5)$ est irrationnel si et seulement si $Re(Li_{5}(i)).$}
Je note par $Re$ la partie réelle d'un nombre complexe $z.$ En utilisant les équations de {\bf Kummer} pour les polylogarithmes d'ordre 4 et 5, je trouve l'expression :
$$\zeta(5) = - \frac{512}{15}.Re(Li_{5}(i)).$$
J'observe que via un logiciel de calcul formel :
$$Li_{5}(i) = -0.3037874283 + 0.9961578281*i.$$
J'ai donc le résultat suivant :
\fbox{$\zeta(5)$ est irrationnel si et seulement si $Re(Li_{5}(i)).$}
Réponses
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$\mathrm{zeta}(5)*15/512 = 0.0303787428264659158...$
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Votre résultat se trouve sur la page l'univers de Pi
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Exact. Rien de neuf sous les palmiers donc !
Reste à savoir que savons nous de $Re(Li_{5}(i))$ ? -
autant que sur $\zeta(5)$...
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Je délire ou Rivoal a montré que Zeta prenait une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs ?
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oui, mais il n'a pas dit lesquelles.
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Quel petit cachottier, alors...
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Il a démontré qu'il y avait au moins un nombre irrationnel parmi dzéta(5), dzéta(7),..dzéta(21) (une chance sur neuf)
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Bonjour!
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