4^n+n^4

holiday · May 2011

Bonjour à tous.

Voici un problème dont je n'ai pas d'idée de résolution :

Démontrer que si $n\ge6$, alors $n^4+4^n$ est composé.

C'est clair si $n$ est pair. Pour $n$ impair, il semble que $4^n+n^4$ soit divisible par 5, mais comment le prouver ?

Merci de vous y intéresser.

jeroM · May 2011

bonjour,
si on devine que ce nombre est divisible par 5, on peut essayer de calculer $n^4+4n$ avec les congruences.
Si n congru à 1 modulo 5, alors $n^4$ est congru à 1 modulo 5 et $4n$ congru à 4 modulo 5, donc leur somme congrue à 0 modulo 5.
etc ...

gb · May 2011

holiday a écrit:

Pour $n$ impair, il semble que $4^n+n^4$ soit divisible par 5, mais comment le prouver ?

Il y a un problème pour $n$ multiple impair de 5\dots

jeroM · May 2011

un test Excel montre en effet un problème de la conjecture de la divisibilité par 5, pour n=7 on a 2429 non divisible par 5.

scoubidoo · May 2011

On peut essayer d'appliquer l'identité de Sophie Germain $a^4+4b^4=(a^2+2ab+2b^2)(a^2-2ab+2b^2)$ pour $n$ impair.

holiday · May 2011

Attention JeroM, c'est $n^4+4^n$ et non pas $n^4+4n$.

Effectivement, la divisibilité par 5 est fausse. Crotte.

Scoubidoo : égalité intéressante, mais qui me semble difficile à appliquer dans ce cas .

Sylvain · May 2011

Pour rebondir sur le post de Scoubidoo, en posant $b^4=4^{n-1}=2^{2(n-1)}=(2^{n-1})^2$, on obtient $b^2=2^{n-1}$.

Donc $n^4+4^n=n^4+4b^4=(n^2+2bn+2b^2)(n^2-2bn+2b^2)=(n^2+2.2^\frac{n-1}{2}+2^n)(n^2-2.2^\frac{n-1}{2}+2^n)$, produit de deux entiers supérieurs à $1$ si $n$ est un entier impair supérieur ou égal à $7$.

holiday · May 2011

Ah d'accord. Pardon Scoubidoo et merci Sylvain !

Sylvain · May 2011

Pas de quoi, pour une fois que je sers à quelque chose...

4^n+n^4

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