Involution : Définition ?

CyD3 · January 2012

Bonjour,

Je cherche la définition précise de Involution et les propriétés, tout au moins pour un débutant. J'ai fait des recherches sur Internet avant de venir vous poser la question.
Mais ce que je trouve me laisse perplexe car certaines définitions et/ou propriétés me semblent contradictoires entre mes différentes sources d'info. Évidemment, il y a surement des choses que je n'ai pas comprises.

En regardant une explication de la démonstration de M. Don Zagier du théorème des 2 carrés sur Internet, je trouve la définition de Involution suivante :
Une involution définie sur un ensemble E est une bijection F autre que l'identité, qui coïncide avec la bijection réciproque.

Or sur certains sites, ils incluent l'identité.

D'où ma première question : Est-ce que l'identité est bien incluse dans les Involutions ou non (j'imagine que non) ?

Ensuite, j'ai trouvé sur un autre site les propriétés suivantes : Soit f une Involution, alors les propriétés suivantes sont vérifiées :
$F(a*b) = F(a)* F(b)$
$F(a+b) = F(a) + F(b)$

Je suis surpris (et peut-être n'ai-je pas compris) mais démontrer ces 2 propriétés avec l'involution f suivante, je n'y arrive pas :
Exemple tiré l'explication de la démonstration indiquée ci-dessus : Soit E = {2, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 19, 37}, ensemble des diviseurs de 36, augmentés de 1.
Soit f, telle que $ f => \dfrac{x+35}{x-1}$

Ces propriétés concernent-elles bien les involutions ?
Y a-t-il des propriétés du même style concernant les Involutions ?

Ensuite, parmi les propriétés, j'ai trouvé la propriété suivante :
PROPRIETE : Si le nombre des éléments de E est impair, toute involution définie sur E admet au moins un élément fixe

Existe-t-il une équation qui permette de savoir, de manière générale, combien de points fixes à une Involution donnée sur un ensemble fini (abélien ou non) ?

Enfin, j'ai trouvé sur Wikipédia la chose suivante :
L'ordre d'un groupe fini est
- Impair ssi il n'a pas d'involution.
- Pair ssi il possède au moins une involution.

Dans le cas où l'ordre est pair le nombre d'involution(s) est impair.

Est-ce faut ?

Je vous en remercie par avance si vous pouviez clarifier un peu les choses ou bien si vous aviez un cours sur Internet ou un site où cela est indiqué.

Bien cordialement,
Cyril

jobherzt · January 2012

Salut,

Pour ce qui est d'inclure l'identité ou non c'est un détail pas très important, on choisit ce qui nous arrange le mieux dans chaque contexte. En tous cas, une involution est une application bijective $f$ d'un ensemble $E$ dans lui même telle que $f\circ f=id$. Par extension, on appelle parfois involution tout élément d'ordre deux dans un groupe (le cas des applications étant le cas particulier ou le groupe est celui des bijections de $E$ dans lui même, muni de la composition.

Ensuite les propriétes de compatibilité avec * et + n'ont de toute façon pas de sens, puisque pour l'instant $E$ est seulement un ensemble !! donc ca n'a aucune raison d'etre consequence de la propriété "etre une involution", ca n'est "meme pas faux" comme on dit

En revanche, si tu pars d'un anneau $A$ et que tu parles d'une involution sur $A$ sans préciser, comme toujours en maths on supposera par défaut que tu parles d'un morphisme d'anneau (idem pour n'importe quel autre structure algébrique).

Ensuite je ne sais pas ce qu'est un "ensemble abelien", et je ne vois pas quel genre "d'equation" tu attends, attention a ne pas tout melanger.

Enfin, rappelons que lordre d'un element dans un groupe fini divise le nombre d'element dudit groupe. Donc si un groupe contient une involution (au sens : un element d'ordre 2) alors son cardinal est pair. Reciproquement, puisque 2 est premier, d'apres le theoreme de Cauchy si le cardinal du groupe est pair alors il contient un element d'ordre 2.

Ju’x · January 2012

Attention, il y a plusieurs choses à ne pas confondre.

Sur un ensemble $E$ quelconque (sans "opérations" internes comme + et *), une involution est simplement une fonction $f \colon E \to E$ telle que $f \circ f = \mathrm{id}_E$. Il revient au même de dire que c'est une bijection de $E$ qui est sa propre inverse. Après, on peut choisir ou non d'exclure l'identité, mais ça ne change pas grand chose.

Une involution échange des couples d'éléments de $E$ : si $x \in E$ n'est pas un point fixe, il existe un $y \in E$ différent de $x$ tel que $f(x)=y$ et comme c'est une involution on a aussi $f(y)=f(f(x))=x$. Si $x$ est un point fixe, alors $f(x)=x$ par définition. En conséquence, si $E$ est un ensemble fini, on peut regrouper deux par deux les éléments de $E$ qui ne sont pas des points fixes : il y en a donc un nombre pair. En particulier, si $E$ a un nombre impair d'éléments, alors il y en a au moins un qui est un point fixe de $f$.

Dans la preuve de Don Zagier, on utilise aussi une réciproque de cette propriété : si $E$ est un ensemble fini, et s'il existe une involution $f$ de $E$ qui a exactement un point fixe, alors $E$ a un nombre impair d'éléments. Ceci se démontre de la même manière que précédemment, en regroupant les éléments qui ne sont pas des points fixes deux par deux.

Le plan de la démonstration est alors le suivant.
Soit $p \equiv 1 \bmod{4}$ un nombre premier et $S = \{(x,y,z) \in \mathbb{N}^3 : x^2 + 4yz = p\}$. C'est un ensemble fini.
1) Il existe une involution de $S$ avec un seul point fixe (D. Zagier en explicite une), donc $S$ a un nombre impair d'éléments.
2) $S$ a un nombre impair d'éléments donc toute involution a au moins un point fixe.
3) La fonction $(x,y,z) \in S \mapsto (x,z,y) \in S$ est une involution, donc d'après 2) il existe au moins un triplet $(x,y,z) \in S$ tel que $(x,y,z)=(x,z,y)$, c'est à dire $y=z$. Pour ce choix on a $p = x^2 + 4yz = x^2 + (2y)^2$.

CyD3 · January 2012

Bonsoir,

je vous remercie tous pour vos explications.
Je m'aperçois que j'avais "Mélangé" Ensembles finis et Groupes finis.

Bien cordialement,
Cyril

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