r0(n)=O(log²(n)) ?
dans Arithmétique
Bonjour,
je cherche actuellement à montrer que le plus petit rayon de primalité* d'un entier naturel $n>1$, noté $r_{0}(n)$, est un grand O de $\log^{2} n$. Et je viens de m'apercevoir que cette hypothèse implique la conjecture de Cramer (puisque si $k$ désigne la demi-somme de $p_n$ et de $p_{n+1}$, on a alors $r_{0}(k)=O(\log^{2} k)$, soit $g_{n}:=p_{n+1}-p_{n}=2r_{0}(k)=O(\log^{2}k)=O(\log^{2}p_{n})$. Je vous invite à consulter le fil "le ruisseau doré coule toujours" en Arithmétique qui explicite les notations dont je vais faire usage dans la suite :
L'hypothèse que je fais, à savoir $r_{0}(n)=O(\log^{2} n)$, devrait être une conséquence des relations $\dfrac{2r_{0}(n)}{\epsilon_n}=O(1)$, et $\epsilon'_n=\epsilon_n(1+o(1))$ (où $\epsilon'_n:=\dfrac{P_{ord_{c}}(n)}{N_{1}(n)}$ et $\epsilon_n=\dfrac{P_{ord_{c}}(n)-2r_{0}(n)}{N_{1}(n)-1}$), relations restant à établir.
En effet, qg77 et moi-même avons montré dans le fil mentionné plus haut que $\dfrac{n}{\epsilon'_n}\geq \dfrac{c.n}{\log^{2} n}$ pour une certaine constante strictement positive $c$ et $n$ assez grand. De là on tire $\epsilon'_n=O(\log^{2} n)$.
Qu'en pensez-vous ?
*un rayon de primalité de l'entier naturel $n$ est un naturel $r$ tel que $n+r$ et $n-r$ sont tous deux premiers.
je cherche actuellement à montrer que le plus petit rayon de primalité* d'un entier naturel $n>1$, noté $r_{0}(n)$, est un grand O de $\log^{2} n$. Et je viens de m'apercevoir que cette hypothèse implique la conjecture de Cramer (puisque si $k$ désigne la demi-somme de $p_n$ et de $p_{n+1}$, on a alors $r_{0}(k)=O(\log^{2} k)$, soit $g_{n}:=p_{n+1}-p_{n}=2r_{0}(k)=O(\log^{2}k)=O(\log^{2}p_{n})$. Je vous invite à consulter le fil "le ruisseau doré coule toujours" en Arithmétique qui explicite les notations dont je vais faire usage dans la suite :
L'hypothèse que je fais, à savoir $r_{0}(n)=O(\log^{2} n)$, devrait être une conséquence des relations $\dfrac{2r_{0}(n)}{\epsilon_n}=O(1)$, et $\epsilon'_n=\epsilon_n(1+o(1))$ (où $\epsilon'_n:=\dfrac{P_{ord_{c}}(n)}{N_{1}(n)}$ et $\epsilon_n=\dfrac{P_{ord_{c}}(n)-2r_{0}(n)}{N_{1}(n)-1}$), relations restant à établir.
En effet, qg77 et moi-même avons montré dans le fil mentionné plus haut que $\dfrac{n}{\epsilon'_n}\geq \dfrac{c.n}{\log^{2} n}$ pour une certaine constante strictement positive $c$ et $n$ assez grand. De là on tire $\epsilon'_n=O(\log^{2} n)$.
Qu'en pensez-vous ?
*un rayon de primalité de l'entier naturel $n$ est un naturel $r$ tel que $n+r$ et $n-r$ sont tous deux premiers.
Réponses
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Bonjour
de toutes les façons, même si c'est une conséquence, et que tu montres que la relation est vraie, est ce que cela serra suffisant pour démontrer CG...?
car on peut tout aussi bien montrer que CG est une conséquence du TFA, ie, du crible d'Eratosthène, plus précisément de l'algorithme P[6], avec P = 5 ou 7...
ce qui revient à dire: si k6 ,(avec k entier naturel >0) est toujours décomposable en somme de deux premiers, et que le nombre de couples de premiers, qui le décompose, augment au fur et à mesure que l'algorithme progresse, donc lorsque k tends vers l'infini, et que ces nombres premiers qui décompose le modulo k6, et 2k6, serviront aussi à décomposer 2p[6] tel que: K6 < 2p[6] < 2k6
si c'est faux, alors le TFA le serait aussi , ce qui est absurde, bien sur.
on a même pas besoin du premier 3, sauf pour 8.
voir petit dossier.
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Plus exactement, ce que j'ai noté $r_0(n)$ est le plus petit rayon de primalité potentiel typique de $n$ (voir, encore une fois, le fil "le ruisseau doré coule toujours" pour des précisions sur la terminologie). Et si la relation $r_0(n)=O(\log^{2} n)$ est vérifiée, il s'ensuit que pour tout $n$ assez grand, $r_{0}(n)<n$, et donc $r_0(n)$ est un rayon de primalité (typique) de $n$. Dès lors tout nombre pair suffisamment grand serait la somme de deux nombres premiers. Et il "suffit" d'expliciter la constante impliquée dans le O pour quantifier ce "suffisamment grand". En fait, je pense que cette constante est inférieure à 1, ce qui, si on parvenait à l'établir rigoureusement, impliquerait la CG.
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alors pourquoi ne pas prendre:
1) la constante de Pj = 0,660161....
2) la constante d'Euler0,577215....
3) la constante de Brun, B2 /3,75 = 0,507243 .....
pourquoi diviser cette C par 3,75: ce nombre est le rapport des entiers congrus 1 ou P [30] avec les entiers naturels.
de plus cette constante modifiée, permet d'indiquer le nombre de couples p au minimum, qui décomposent le modulo K30 en somme de deux premiers, en générale cela tourne autour de la constante des Pj et ou d'Euler.... et on peut d'ailleurs faire exactement pareille, dans les entiers congrus 1 ou 5 [6], c'est à dire le modulo k6 et 2k6.....
Autre raisonnement , tu explicites et tu montres que la constante est vraie , pour arriver à la conjecture de Vinogradov, qui a été améliorée = 1043000 en 1989 par Wang et Chen
Vinogradov est l'équivalent de CG.pour les nombres 2n, il est clair qu'au delà de cette limite, elle est vraie.
si ce n'est que cela n'apporterait pas beaucoup d'information, notamment le nombre de couples de premiers qui décompose k30 et 2k30 , autrement dit le nombre de premiers dans cet intervalle, qui est un peu plus précis au minimum, que dire il existe au minimum, un premier dans ce même intervalle...
je reste convaincu, que CG est un corollaire du TFA et du crible d'Eratosthène modulo 30....
il est évident de constater ce qui se passe lors de la décomposition d'un entier (produit) en facteurs premiers, et la décomposition d'un produit de Goldbach =( produit) + P, en somme de deux premiers, avec P de 7 à 31 pour les 8 familles 2P[30]...
peut être qu'un jour on arrêtera avec ces formules de plus en plus techniques, qui ne donnent que des estimations mais ne résolvent rient, dans ces conjectures élémentaires...
Syracuse, CG, les Pj, ou encore le polynôme n² + 1 et de façon générale n² + 1[30].... -
En fait on a la relation $\epsilon'_n=\dfrac{2r_{0}(n)+(N_{1}(n)-1)\epsilon_n}{N_{1}(n)}$. Si effectivement $\epsilon_{n}\sim\epsilon'_n$, alors on devrait avoir $\epsilon_{n}\sim\tilde{\epsilon}_n$, où $\tilde{\epsilon}_n$ est défini par $\tilde{\epsilon}_n=\dfrac{2r_{0}(n)+(N_{1}(n)-1)\tilde{\epsilon}_n}{N_{1}(n)}$. Or il découle de cette dernière relation que $\tilde{\epsilon}_n=2r_{0}(n)$ ! De sorte que, sauf erreur, $\epsilon'_n=\epsilon_n(1+o(1))$ implique la relation initialement conjecturée.
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Voici ce que je propose pour démontrer que $\epsilon'_n\sim\epsilon_n$ :
\begin{align*}
\dfrac{\epsilon'_n-\epsilon_n}{\epsilon_n}&=\dfrac{(N_{1}(n)-1)P_{ord_{c}}(n)}{N_{1}(n)(P_{ord_{c}}(n)-2r_{0}(n))}-1 \\
&=\dfrac{(N_{1}(n)-1)P_{ord_{c}}(n)}{N_{1}(n)(P_{ord_{c}}(n)-2r_{0}(n))}-\dfrac{N_{1}(n)(P_{ord_{c}}(n)-2r_{0}(n))}{N_{1}(n)(P_{ord_{c}}(n)-2r_{0}(n))}\\
&=\dfrac{2N_{1}(n)r_{0}(n)-P_{ord_{c}}(n)}{N_{1}(n)(P_{ord_{c}}(n)-2r_{0}(n))} \\
&=-\dfrac{2N_{1}(n)r_{0}(n)-P_{ord_{c}}(n)}{2N_{1}(n)r_{0}(n)-N_{1}(n)P_{ord_{c}}(n)}
\end{align*}
La dernière quantité est égale, au signe près, à $f(n):=\dfrac{2r_{0}(n)-O(\log^{2}(n))}{2r_{0}(n)-P_{ord_{c}}(n)}$. Or, pour $n>13$, le dénominateur ne s'annule pas. Comme par ailleurs $P_{ord_{c}}(n)$ tend vers l'infini plus vite que $n$, je pense que cela implique que la limite de $f(n)$ quand $n$ tend vers l'infini est nulle.*
Un brillant analyste (remarque par exemple !) peut-il confirmer ?
* on en déduit alors la relation désirée, à savoir $\epsilon'_n=\epsilon_n(1+o(1))$.
[Ne pas abuser du \$\$...\$\$ qui ne fait qu'éparpiller le texte sur plusieurs pages !
AD] -
Suite et fin :
après de laborieux calculs, j'obtiens que si effectivement $f(n)$ a une limite nulle en l'infini, alors $f(n)=O(\frac{1}{N_{1}(n)})$ (cela passe par le fait que si $\epsilon_n\sim\epsilon'_n$, alors $r_{0}(n)=o(P_{ord_{c}}(n))$, ce qui une fois réinjecté dans l'expression de $f(n)$ permet de conclure). Or on peut montrer que $\dfrac{2r_{0}(n)}{\epsilon_n}=N_1(n)\dfrac{\epsilon'_n-\epsilon_n}{\epsilon_n}+1$. Et comme $f(n)=O(\frac{1}{N_{1}(n)})$, il vient $\dfrac{2r_{0}(n)}{\epsilon_n}=O(1)+1=O(1)$.
En conclusion : $r_{0}(n)=O(\log^{2} n)$.
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