Premiers chiffres des triangulaires

Cidrolin
Cidrolin
dans Arithmétique
Bonjour, pour $k$ entre $1$ et $10^n$, je considère le premier chiffre (àgauche) de $T_k=k(k+1)/2$ en base $10$.

$a_n$ désigne le nombre de $T_k$ qui commencent par $2$ ou $3$; $b_n$ désigne le nombre de $T_k$ qui commencent par $5;6;7;8 \text {ou }9$.

Pour $n=1$ on a $a_1=4$ et $b_1=2$.

Pour $n=2$ on a $a_2=38$ et $b_2=19$.

Pour $n=3$ on a $a_3=383$ et $b_3=191$.

Tandis que pour $n=4$ on a $a_4=3830$ et $b_4=5 \times 383$.

Je souhaite vérifier mes calculs qui prédisent que $a_n$ et $2 b_n$ sont voisins.

Quelqu'un pourrait-il me donner $a_5$ et $b_5$ ?

Merci par avance

PS: ici il n'y a pas de loi de Benford

Réponses

  • Gottfried
    Gottfried
    un programme très très bourrin:
    > N1 := 1; N2 := 0; N3 := 0; N4 := 0; N5 := 0;
> N6 := 0; N7 := 0; N8 := 0; N9 := 0; t := 1;

> for n from 1 to 5 do
> for k from 10^(n-1)+1 to 10^n do
> t := t+k;
> u := trunc(t/10^trunc(log10(t)));
> N||u := N||u + 1;
> od;
> print(n,seq(N||j,j=1..9),add(N||j,j=2..3), add(N||j,j=5..9))
> od;
> 
                     1, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 4, 2

                  2, 27, 20, 18, 16, 5, 4, 4, 2, 4, 38, 19

             3, 271, 208, 175, 155, 45, 40, 38, 34, 34, 383, 191

       4, 2710, 2078, 1752, 1545, 442, 406, 378, 354, 335, 3830, 1915

  5, 27093, 20787, 17524, 15441, 4414, 4060, 3778, 3547, 3356, 38311, 19155

    C'est donc 38311 et 19155.
  • Gottfried
    Gottfried
    Un peu moins bourrin:
    > N  := proc(n,j)
> option remember;
> local U,V,m,s; 
> s := 0; 
> for m from 0 to infinity do
> U := ceil(sqrt(2*j*10^m+1/4)-1/2);
> V := ceil(sqrt(2*(j+1)*10^m +1/4)-1/2); 
> if U<=10^n then s := s + min(V,10^n+1) - U else break fi
> od;
> s;
> end proc:
> 
> affiche := proc(n)
> local a,b;
> print(n,seq(N(n,j), j=1..9));
> a := add(N(n,j),j=2..3);
> b := add(N(n,j),j=5..9);
> print(a,b,a-2*b);
> end proc:
> affiche(1);
                        1, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 0, 0
                                   4, 2, 0

> affiche(2);
                      2, 27, 20, 18, 16, 5, 4, 4, 2, 4
                                  38, 19, 0

> affiche(3);
                  3, 271, 208, 175, 155, 45, 40, 38, 34, 34
                                 383, 191, 1

> affiche(4);
             4, 2710, 2078, 1752, 1545, 442, 406, 378, 354, 335
                                3830, 1915, 0

> affiche(5);
         5, 27093, 20787, 17524, 15441, 4414, 4060, 3778, 3547, 3356
                               38311, 19155, 1

> affiche(6);
    6, 270914, 207877, 175248, 154399, 44141, 40593, 37781, 35484, 33563
                              383125, 191562, 1

> seq(affiche(n),n=7..10);
7, 2709119, 2078779, 1752490, 1543978, 441410, 405919, 377819, 354855, 335631
                             3831269, 1915634, 1

Error, (in N) cannot determine if this expression is true or false: ceil(21/2*18140589569161^(1/2)-1/2)-100000000 <= 0

> Digits := 100;
                                Digits := 100

> seq(affiche(n),n=7..10);
7, 2709119, 2078779, 1752490, 1543978, 441410, 405919, 377819, 354855, 335631
                             3831269, 1915634, 1

8, 27091176, 20787790, 17524916, 15439765, 4414100, 4059186, 3778196, 3548559, 3356312
                            38312706, 19156353, 0

9, 270911757, 207877901, 175249176, 154397628, 44141008, 40591847, 37781967, 35485601, 33563115
                           383127077, 191563538, 1

10, 2709117560, 2078779016, 1752491776, 1543976253, 441410078, 405918461, 377819687, 354856010, 

  335631159

                          3831270792, 1915635395, 2
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Merci $E \big(10^n \dfrac{\sqrt8-2}{\sqrt{10}-1} \big)$ de fois Gottfried.
  • Gottfried
    Gottfried
    de rien! le code maple devrait être amélioré s'il fallait pousser les calculs beaucoup plus loin.
  • romuald546
    romuald546
    La formule de cidrolin est-elle exacte ?
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Pardon pour cette réponse tardive romuald546, mais je pense que \quad $E \Big(10^n \dfrac{\sqrt8-2}{\sqrt{10}-1} \Big)$ \ est une valeur approchée du nombre de triangulaires d'au plus $n$ chiffres, dont le premier chiffre (à gauche) est $2$ ou $3$. Le réél dans la partie entière est environ :
    26144
  • jandri
    jandri
    L'exercice est simple:
    $1+9+9^2+...+9^{n-1}=\dfrac{9^n-1}8=T_{\frac{3^n-1}2}$.

    Pour l'estimation de $a_n$:
    $2\times10^p\le T_k<4\times10^p$ est équivalent à $2\times10^{p/2}<k+\frac12\le2\sqrt2 \times10^{p/2}$.
    La condition $k\le10^n$ donne $p\le2n-1$.
    Par suite $a_n$ vaut environ $\displaystyle\sum_{p=0}^{2n-1}(2\sqrt2-2) \times10^{p/2}\approx\dfrac{\sqrt8-2}{\sqrt{10}-1}10^n$.
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Bravo Jandri,

    Pour l'exercice une autre méthode (moins simple) consiste à remarquer que

    $9\, T_n +1 = T_{3n+1}$ et procéder par récurrence.
  • bs
    bs
    Bonjour,

    La relation $1+9+9^2+...+9^{n-1}=(11...11)_9=\dfrac{9^n-1}8=T_{\frac{3^n-1}2}$ fait qu'il n'existe pas de nombres premiers brésiliens repunits en base 9. C'est la question du paragraphe $V.5$ de cet article très intéressant. http://publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAQ10010.htm ;)

    Amicalement.
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Oui, un très bon article.

    Le nombre $(33\cdots3)_{25}$ est donc brésilien triangulaire.

    En généralisant $(T_nT_n\cdots T_n)_{8T_n+1}$ est toujours brésilien et triangulaire
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