DM de Spécialité Maths

Pour la 1° b) partie B

On a une alternative :
Si $x$ et $y$ étaient tous deux pairs, alors on aurait $x = 2u$ et $y = 2v$ et donc ils ne seraient pas premiers entre eux, donc les trois entiers naturels $x, y$ et $z$ ne sont pas premiers entre eux.
Si $x$ et $y$ étaient tous deux impairs, alors on aurait $x = 2u + 1$ et $y = 2v + 1$, d’où $z^2 = x^2 + y^2 = 4u^2 + 4u + 1 + 4v^2 + 4v + 1 = 4w + 2=2(2w+1)$ où $w = u^2 + u + v^2 + v \in \mathbb{N}$, ce qui est impossible puisqu'un tel naturel $4w + 2$ ne peut être un carré.
Ainsi, $x$ et $y$ sont de parités différentes.

Il reste à montrer que dans le cas où $x$ et $y$ sont de parités différentes, alors $z$ est impair.
On a une alternative :
Si $x$ est pair et $y$ est impair, alors on aurait $x = 2u$ et $y = 2v+1$ et donc $x^2 = 4u^2=2(2u^2)$ et $y^2=4v^2+4v+1 =2(2v^2+2v)+1$ ce qui veut dire $x^2$ et $y^2$ sont de parités différentes, alors $z^2$ est impair, ce qui nécessite que $z$soit impair.
Si $x$ est impair et $y$ est pair, alors on aurait $x = 2u+1$ et $y = 2v$ et donc..... (à toi de jouer !)
Donc dans les deux cas, si x et y sont de parités différentes, alors $z$ est impair.

Salut,

On a b=db' et c=dc' donc ab=adb'=d²c'² soit ab'=dc'² (*).

Comme c' et b' sont premiers entre eux, c'² divise a donc il existe un entier k tel que a=kc'².

En réinjectant dans (*), on obtient: kc'²b' = dc' donc kb' =d

D'où b=db'= kb'².

C'est plus clair pour toi ?

Salut Cyrial,

Reprends ma deuxième phrase qui introduit k. Comme c'² divise a, cela signifie qu'il existe un entier k tel que a=kc'².
Il n'y a donc pas besoin de démontrer que k est un entier, il l'est par définition.

Ca te va ?