DM de Spécialité Maths
dans Arithmétique
Réponses
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Pour la 1° b) partie B
On a une alternative :
Si $x$ et $y$ étaient tous deux pairs, alors on aurait $x = 2u$ et $y = 2v$ et donc ils ne seraient pas premiers entre eux, donc les trois entiers naturels $x, y$ et $z$ ne sont pas premiers entre eux.
Si $x$ et $y$ étaient tous deux impairs, alors on aurait $x = 2u + 1$ et $y = 2v + 1$, d’où $z^2 = x^2 + y^2 = 4u^2 + 4u + 1 + 4v^2 + 4v + 1 = 4w + 2=2(2w+1)$ où $w = u^2 + u + v^2 + v \in \mathbb{N}$, ce qui est impossible puisqu'un tel naturel $4w + 2$ ne peut être un carré.
Ainsi, $x$ et $y$ sont de parités différentes.
Il reste à montrer que dans le cas où $x$ et $y$ sont de parités différentes, alors $z$ est impair.
On a une alternative :
Si $x$ est pair et $y$ est impair, alors on aurait $x = 2u$ et $y = 2v+1$ et donc $x^2 = 4u^2=2(2u^2)$ et $y^2=4v^2+4v+1 =2(2v^2+2v)+1$ ce qui veut dire $x^2$ et $y^2$ sont de parités différentes, alors $z^2$ est impair, ce qui nécessite que $z$soit impair.
Si $x$ est impair et $y$ est pair, alors on aurait $x = 2u+1$ et $y = 2v$ et donc..... (à toi de jouer !)
Donc dans les deux cas, si x et y sont de parités différentes, alors $z$ est impair. -
Merci Bruno pour la réduction de l'image.
-
Merci beaucoup Bouzar, ça va bien m'aider.
Cyrial -
S'il y a d'autres âmes généreuses, toute aide est la bienvenue.
Pour la question 1, Partie A, je trouve la valeur de k: (d^2)/b mais je ne sais pas comment prouver que c'est un entier.
Merci
Cyrial -
Salut,
On a b=db' et c=dc' donc ab=adb'=d²c'² soit ab'=dc'² (*).
Comme c' et b' sont premiers entre eux, c'² divise a donc il existe un entier k tel que a=kc'².
En réinjectant dans (*), on obtient: kc'²b' = dc' donc kb' =d
D'où b=db'= kb'².
C'est plus clair pour toi ? -
Merci Someone d'avoir pris le temps de me répondre mais je ne comprends pas en quoi ça prouve que k est un entier.
Il faudrait que je puisse dire que b divise d pour prouver que k est un entier.
Le k que tu utilises, est-il le même que celui que j'utilise?
J'ai sûrement pas dû comprendre une étape, merci si tu as le temps de me préciser comment tu conclus.
Cyrial -
Salut Cyrial,
Reprends ma deuxième phrase qui introduit k. Comme c'² divise a, cela signifie qu'il existe un entier k tel que a=kc'².
Il n'y a donc pas besoin de démontrer que k est un entier, il l'est par définition.
Ca te va ? -
Merci Someone pour la précision. Je viens de comprendre.
Cyrille
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