Expressions presque entières

breukin · March 2012

Bonjour,

sur un autre forum, on s'est posé la question de savoir sous quelles conditions sur $ \displaystyle p $ et $ \displaystyle k $
$ \displaystyle S_\pm (p,k) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^k}{e^{2\pi n/p}\pm 1} $ était "presque entier" ?

Il semblerait par exemple que si $ \displaystyle p $ est premier, $ \displaystyle S_-(p,2k-1) \approx \frac{|B_{2k}|}{4k} (p^{2k}-(-1)^k) $
Si quelqu'un avait une idée pour sortir du champ de la seule expérimentation ?

GreginGre · March 2012

ça veut dire quoi, "presque entier" ?

breukin · March 2012

Evidemment que stricto sensu, cela ne veut rien dire, mais c'est une expression consacrée, pour désigner des situations surprenantes, telle la valeur de $ \displaystyle e^{\pi \sqrt{163}} $.
Vous pouvez faire une recherche par un moteur sur "almost integer".
Par exemple, dans le cas des nombres dont je parle, $ \displaystyle S_-(7,3) = 10.00000000000000019... $ et le nombre de zéros croît très vite : $ \displaystyle S_-(17,3) = 348.0000000000000000000000000000000000000000000341... $ sauf erreurs de recopie du nombre de zéros.

Guego · March 2012

Plus généralement, il semblerait que $S_-(n,3)$ soit toujours "très proche" d'un rationnel "simple" :
$S_-(3,3)$ est très proche de $\dfrac{1}{3}$ (écart inférieur à $10^{-6}$)
$S_-(4,3)$ est très proche de $\dfrac{17}{16}$ (écart inférieur à $10^{-8}$)
$S_-(5,3)$ est très proche de $\dfrac{13}{5}$ (écart inférieur à $10^{-10}$)
$S_-(6,3)$ est très proche de $\dfrac{259}{48}$ (écart inférieur à $10^{-13}$)
$S_-(7,3)$ est très proche de $10$ (écart inférieur à $10^{-15}$)
$S_-(8,3)$ est très proche de $\dfrac{273}{16}$ (écart inférieur à $10^{-18}$)
$S_-(9,3)$ est très proche de $\dfrac{82}{3}$ (écart inférieur à $10^{-20}$)
$S_-(10,3)$ est très proche de $\dfrac{3333}{80}$ (écart inférieur à $10^{-23}$)
$S_-(11,3)$ est très proche de $61$ (écart inférieur à $10^{-25}$)

Il doit effectivement y avoir quelque chose de caché là dessous.

On peut un peu changer l'expression de la série : $\displaystyle S_-(n,3) = \sum_{k=1}^{+\infty} \sigma_3(k) e^{-2\pi k /n}$ avec $\sigma_3(k)$ la somme des cubes des diviseurs de $k$, mais je ne sais pas si ça avance à quoi que ce soit.

Guego · March 2012

Suite de l'investigation : le rationnel "très proche" de $S_-(n,3)$ semble être $\dfrac{n^4-1}{240}$. Ça marche au moins jusqu'à $n=20$ (avec des écarts de plus en plus minuscules).

rosab · March 2012

Bonjour,

Encore un effort et tu vas redécouvrir la fonction d'Eisenstein $E_4(z)$.
Comme elle est modulaire tu vas changer $z$ en $-1/z$ pour $z$ bien choisi et tu vas comprendre pourquoi ça marche.

Cordialement