Infinité de nombres premiers ?

Bonjour, il y a un théorème de Dirichlet très powerfull qui permet de répondre par l'affirmative en considérant la suite $(10n+1)_{n\in \mathbb{N}}$.

Démonstration chaude de chez chaude.

Peut-être y a-t-il plus élémentaire?

S

La suite des nombres qui se termine par 1 est une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 10. Que sait-on sur la présence de premiers dans les suites arithmétiques ?

Cordialement.

Message inutile, mais j'ai répondu à un message avant de finir de répondre !

Cela dit les premiers 2, 3, 5, 7, 13 ne se terminent pas par 1 ...

Ajout : si des premiers se terminent par 1, leur produit +1 se termine par 2

Finalement mon commentaire est tout à fait inutile...

bonjour

(en base 10)
par exemple $31 \times 41=1271$
comme le produit de deux entiers naturels se terminant par 1 se termine aussi par 1,
il y a une classe d'entiers relatifs de $\mathbb{Z}$ , stable par multiplication,
dont tous les facteurs premiers et aussi tous les diviseurs se terminent par 1.... :S

@capesard
«dont tous les facteurs premiers et aussi tous les diviseurs se terminent par 1»
Comme $21$ par exemple ? Il termine par $1$ donc ses diviseurs $1, 3, 7$ et $21$ terminent tous par $1$ ?

@Lef: je ne comprends pas ta réponse. relis soigneusement ce que j'ai écrit.
je réexplique
"il y a un ensemble $X$ d'entiers relatifs, stable par multiplication. tout élement de $X$ n'a que des diviseurs se terminant par 1, y compris ses diviseurs premiers".
par contre, $X$ n'est pas l'ensemble des entiers relatifs se terminant par 1 , mais une partie propre.
$X$ c'est l'ensemble de tous les produits finis de nombres premiers se terminant par 1.

ce qui y a à voir, relativement à la question posée, est-ce que $X$ est défini agréablement gràce aux polynomes cyclotomiques ? si oui, la notion est intéressante, si non, on fiche çà à la poubelle des fausses bonnes idées

re-bonjour,

pour donner une idée de cette classe $X$, en voilà une cinquantaine
qui sont des entiers de Carmichael (des menteurs de Fermat)


* List of Carmichael Numbers

399001 = 31 * 61 * 211
512461 = 31 * 61 * 271
852841 = 11 * 31 * 41 * 61
1193221 = 31 * 61 * 631
1857241 = 31 * 181 * 331
1909001 = 41 * 101 * 461
2100901 = 11 * 31 * 61 * 101
3828001 = 101 * 151 * 251
5049001 = 31 * 271 * 601
5148001 = 41 * 241 * 521
5481451 = 31 * 151 * 1171
6189121 = 61 * 241 * 421
7519441 = 41 * 241 * 761
8341201 = 11 * 31 * 61 * 401
9439201 = 61 * 271 * 571
10024561 = 71 * 271 * 521
10837321 = 11 * 31 * 61 * 521
14676481 = 71 * 421 * 491
15247621 = 61 * 181 * 1381
17236801 = 151 * 211 * 541
27062101 = 11 * 31 * 61 * 1301
29111881 = 211 * 281 * 491
31405501 = 71 * 631 * 701
33302401 = 11 * 31 * 61 * 1601
34657141 = 191 * 421 * 431
40430401 = 11 * 101 * 151 * 241
42490801 = 31 * 41 * 101 * 331
43286881 = 11 * 31 * 61 * 2081
56052361 = 211 * 421 * 631
60957361 = 61 * 181 * 5521
68154001 = 151 * 601 * 751
82929001 = 281 * 421 * 701
92625121 = 181 * 631 * 811
99036001 = 61 * 541 * 3001
101649241 = 61 * 661 * 2521
118901521 = 271 * 541 * 811
127664461 = 71 * 421 * 4271
139592101 = 11 * 31 * 151 * 2711
139952671 = 131 * 571 * 1871

y en a t-il une infinité de la classe $X$ dans les Carmichael ?
de plus, il y a l'air d'avoir des "jumeaux" de la classe $X$ dans les Carmichael
(des qui se suivent)


tu as la définition dans wiki des entiers de Carmichael



très cordialement,

FdP
cet énoncé là est réglé par le théorème de Dirichlet ?

[Inutile de répéter le message précédent. AD]

Salut Sylvain !

La différence entre un scientifique et un hurluberlu n'est pas dans le style des idées nouvelles, mais dans la façon de les traiter. Quand Einstein se pose (très jeune) la question "que se passe-t-il si on est sur un rayon de lumière ?", il y pense, construit une vraie réflexion scientifique autour et finit par écrire son article de 1905 sur la relativité restreinte. S'il avait posé sa question à un de ses profs, il n'aurait pas eu de réponse bien utile, et sa réflexion se serait arrêtée là. S'il n'avait pas construit son savoir physique jusqu'à un point où il pouvait traduire son idée, il n'aurait pas publié. Et s'il avait attendu d'être capable de comprendre les calculs de Poincaré, il aurait publié en 1915.
Donc une idée peut être potentiellement intéressante, mais ce n'est pas en multipliant les "et si.." qu'on fait œuvre de précurseur. Surtout quand on ne comprend pas les mots qu'on emploie !!!

Cordialement.

Il y a une solution intermédiaire: la version "faible" du théorème de Dirichlet: pour $N\ge 2$, il y a une infinité de nombres premiers congrus à $1$ modulo $N$.
C'est beaucoup plus simple que le cas général (c'est un développement présenté parfois à l'oral de l'agrégation), vous en trouverez facilement des preuves avec un moteur de recherche "théorème Dirichlet faible".