naturel avec nombreux diviseurs

Fais une recherche sur les nombres hautement composés et assimilés.

Bonjour,

Et toujours des souvenirs...

Amicalement.

tiens ça donne une idée, ces nombres hautement composés (une idée de la classe de Terminale )

on souhaite partitionner le quart plan $\Omaga$ d 'équation x>1 y>1 entre les courbes hyperboles
$xy=N \qquad N \in \mathbb{N}^*$, pour compter les points à coordonnées entières $(m,n)$ dans cet ouvert qui sont les diviseurs m,n de $N=mn$.


Le truc serait de remplacer les hyperboles par des fonctions affines par morceaux,
ressemblant aux dites hyperboles, construites avec leurs cordes.
(les hyperboles équilatères ont toutes la même forme, courbes convexes).

la série croissantes des nombres hautement composés "c_k" et les cordes de leur courbe hyperboles d'équation "xy=c_k".

ça fait une deuxième partition du quart de plan permettant de compter les diviseurs entiers et leur répartition, partition qu'on contrôle totalement graçe au théorème de Pick.


qui dit deux partitions dit ensuite "théorème de Bayes" ou "probas des causes",
ce qui donnerait p-e une indication sur la répartition des diviseurs entiers.
entre vraies hyperboles.

grosso modo, on replace les courbes hyperboles (convexes) par les courbes formées des cordes.
je sais pas si ça marche..... Bayes donnerait en mesure de comptage

$$\mu_{B_i}(A_j)= \frac{\mu(A_j) \, \mu_{A_j}(B_i) }{\sum_{k=1}^{\infty} \, \mu(A_k) \mu_{A_k}(B_i)}$$

je sais vraiment pas ce que ça donne :
- peut on bénéficier d'une formule close pour la sous-suite croissante
des entiers hautement composés
est ce que $C_k=p_1^k \, p_2^{k-1} \, p_3^{k-2} ... \times p_k^1$ marcherait ?
où les pi sont les premiers rangés en croissant.

- peut on avoir un terme Poissonien en exponentielle décroissantes pour faire converger les sommes issues des mesures de comptage ?
ou alors, avec un coup de bol, les séries sont des sommes localement finies.

???


ii) autre question: est-ce que des gens appliquent la formule de Green
à des domaines plans pour relier les nombres de points à coordonnées entières
aux formules d'aire ? :
c=xy (x>1 , y>1 entiers) est le paradigme du nombre composé
qui se différentie en dc=xdy+ydx, la forme donnant l'aire du domaine est quelque chose comme ydx-xdy, la somme des deux : 2ydx induit une rupture de symétrie entre les deux diviseurs (x,y) de xy=N.
La démo de la formule de Greeen (cf wiki) tient aux dérivées sous le signe somme,
qu'on pourrait p-e adapter en différences finies. D'où la question (ii)

à vous lire. merci.