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Une partie entière et 2013

Envoyé par Cidrolin 
Une partie entière et 2013
il y a six années
avatar
Pouvez-vous dire ce qu'ont de particulier les nombres $$ E \Big( \dfrac {20130000n-2013,5}{20129999}\Big)$$ où $n$ décrit $\N^*$ ?
Re: Une partie entière et 2013
il y a six années
avatar
En Python 3, le code ci-dessous donne la réponse :

def f(n):
  return int((20130000*n-2013.5)/20129999)

n=1
p=f(n)
s=f(n+1)

while s==p+1:
  p=s
  n+=1
  s=f(n+1)

print(n)

Essayez ici.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
JLT
Re: Une partie entière et 2013
il y a six années
avatar
Les nombres 2013 et 20132013 ne sont pas dans l'image de la suite.
Re: Une partie entière et 2013
il y a six années
avatar
Si on désigne par $A$ l'ensemble des nombres dont l'écriture décimale se termine par $2013$,

et par $B$ l'ensemble des multiples de $2013$, alors l'image de la suite est $\bar A \cup \bar B$.
gui513
Re: Une partie entière et 2013
il y a six années
Comment le prouver ?
Re: Une partie entière et 2013
il y a six années
avatar
Bonjour,

Essayez de montrer, dans un premier temps, que les $E \Big( \dfrac {49n-6}{42}\Big)$,

pour $n \geq 1$ sont exactement les non multiples de $7$.
Re: Une partie entière et 2013
il y a six années
Bonjour Cidrolin,

On peut peut-être montrer que $$E \Big( \dfrac{20130000n-2013,5}{20129999}\Big)=n-1_{[|1,2013|]}(n)$$.
Re: Une partie entière et 2013
il y a six années
avatar
Non Yalcin, je ne pense pas.

Cordialement

E. C.
Re: Une partie entière et 2013
il y a six années
avatar
Bonjour,

Si $u_n=E \Big( \dfrac {20130000n-2013,5}{20129999}\Big)$, alors $u_n=n+E \Big( \dfrac {n-2013,5}{20129999}\Big)$

Soit encore $u_n=n+E \Big( f(n) \Big)$ avec $f(n)=\dfrac{n-2013,5}{20129999}$

La fonction $f$ est strictement croissante et ne prend jamais de valeur entière,

on peut utiliser le théorème de Lambek et Moser [en.wikipedia.org]

On trouve $f^{-1}(n)=20129999n+2013,5$.

La suite complémentaire de $\Big( u_n \Big)$ est définie par $v_n=n + E \Big( f^{-1}(n) \Big)$

Donc $v_n=n + E \Big( 20129999n+2013,5 \Big)=20130000n+2013$.

L'image de $v_n$ est l'ensemble des mutiples de $2013$ qui se terminent par $2013$

L'image de $u_n$ est l'ensemble des nombres qui sont non mutiples de $2013$ ou qui ne se terminent pas par $2013$
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