Une partie entière et 2013
dans Arithmétique
Pouvez-vous dire ce qu'ont de particulier les nombres $$ E \Big( \dfrac {20130000n-2013,5}{20129999}\Big)$$ où $n$ décrit $\N^*$ ?
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Réponses
Essayez ici.
-- Schnoebelen, Philippe
et par $B$ l'ensemble des multiples de $2013$, alors l'image de la suite est $\bar A \cup \bar B$.
Essayez de montrer, dans un premier temps, que les $E \Big( \dfrac {49n-6}{42}\Big)$,
pour $n \geq 1$ sont exactement les non multiples de $7$.
On peut peut-être montrer que $$E \Big( \dfrac{20130000n-2013,5}{20129999}\Big)=n-1_{[|1,2013|]}(n)$$.
Cordialement
E. C.
Si $u_n=E \Big( \dfrac {20130000n-2013,5}{20129999}\Big)$, alors $u_n=n+E \Big( \dfrac {n-2013,5}{20129999}\Big)$
Soit encore $u_n=n+E \Big( f(n) \Big)$ avec $f(n)=\dfrac{n-2013,5}{20129999}$
La fonction $f$ est strictement croissante et ne prend jamais de valeur entière,
on peut utiliser le théorème de Lambek et Moser http://en.wikipedia.org/wiki/Lambek-Moser_theorem
On trouve $f^{-1}(n)=20129999n+2013,5$.
La suite complémentaire de $\Big( u_n \Big)$ est définie par $v_n=n + E \Big( f^{-1}(n) \Big)$
Donc $v_n=n + E \Big( 20129999n+2013,5 \Big)=20130000n+2013$.
L'image de $v_n$ est l'ensemble des mutiples de $2013$ qui se terminent par $2013$
L'image de $u_n$ est l'ensemble des nombres qui sont non mutiples de $2013$ ou qui ne se terminent pas par $2013$