26 = 5² + 1 = 3^3 - 1

L'équation résolue ici est une équation de Bachet.

La démarche proposée ci-dessus est OK, mais un peu rapide : en toute rigueur, il faut

1. supposer $a$ et $b$ premiers entre eux.

2. vérifier que $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ est bien l'anneau des entiers du corps quadratique $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ (ce qui est loin d'être toujours le cas), puis passer en l'équation aux idéaux.

3. calculer le nombre de classes de ce corps et vérifier qu'il n'est pas un multiple de $3$ : cela permet de passer de $\mathfrak{a}^3$ principal à $\mathfrak{a}$ principal via Bézout et Lagrange.

4. déterminer les unités de l'anneau des entiers de $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$.

5. conclure comme indiqué.

Dans le cas $A=\Z[i\sqrt{2}]$ c'est élémentaire. Si $a+ib\sqrt{2}$ est une unité alors $a^2+2b^2=1$ donc $b=0$ et $a=\pm 1$.

On montre de façon élémentaire que $A$ est Euclidien. On montre de façon élémentaire en utilisant le 1 que $a+ib\sqrt{2}$ et $a-ib\sqrt{2}$ sont premiers entre eux dans $A$, donc comme $A$ est Euclidien (donc factoriel), $a+ib\sqrt{2}$ est égal à $u\alpha^3$ où $\alpha\in A$ et $u$^est une unité. Quitte à remplacer $\alpha$ par $u\alpha$ et $u$ par $1$, on obtient que $a+ib\sqrt{2}$ est un cube dans $A$.

JLT a écrit:

c'est élémentaire

Je n'ai jamais dit le contraire (et je connais ta demo, que l'on trouve dans pas mal d'exos de cpge), mais faut dire que le discriminant de ce corps est très petit ($-8$), ceci expliquant cela.

Ceci dit, la méthode, générale, doit pouvoir être appliquée dans n'importe quel cas (remplace $2$ par $5$ dans l'équation de départ, par exemple, ou, mieux, résout dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation $x^2+k=y^3$ avec $k>0$, $k \equiv 1,2 \pmod 4$ et $k = 3a^2 \pm 1$ avec $a$ entier).

Si j'ai bien compris, étant donnée une équation diophantienne générale, tu veux savoir s'il existe des outils, généraux eux-aussi, déterminant si l'équation est résoluble "élémentairement" (i.e. avec des théorèmes de base) ou non.

A ma connaissance, il n'existe pas de tels outils.

Cette équation fait partie d'une famille d'équations diophantiennes appelées équations de Bachet. Ces équations sont traditionnellement fournies comme exemples d'application des outils classiques de théorie algébrique des nombres (rappelés plus haut).

Rien ne t'empêche de chercher à la résoudre avec les théorèmes de base, mais rien n'indique à l'avance que ces outils suffiront.

Question pas simple (et on s'écarte un peu du sujet initial).

Prends par exemple l'équation $(x^2-1)(y^2-1)=(z^2-1)^2$. On a trouvé des solutions dans certains cas particuliers (par exemple lorsque $x-y=2z$, Schinzel et Sierpinski), mais on n'a pas résolu le cas général.

Cette équation est-elle soluble via des moyens de base ? Peut-être, mais c'est fort improbable, les spécialistes l'auraient déjà trouvée.

[Corrigé selon ton indication. AD]

D'abord, je ne vois pas pourquoi l'on dénommerait "équation de Bachet" cette équation $x^{3}=y^{2}+2$. Je connais ce type d'équation depuis des années, et pour tout vous raconter, c'est ce que j'ai proposé en développement lors de mon oral d'agrégation, il y a 35 ans. J'ai consulté bien des livres à ce sujet, et je n'ai rencontré nulle part pareille dénomination ... sauf il y a quelques instants sur le site Wolfram. Mystère ...

Malheureusement, je ne dispose pas des oeuvres de mes chers Bachet, sieur de Méziriac, et Pierre de Fermat, quoique j'aie pas mal fréquenté ces dernières, dans l'excellente édition Tannery (inutile de ragarder le charcutage de Rashed). Mais je crois pouvoir affirmer que l'équation $x^{3}=y^{2}+2$ provient d'une lettre de Fermat à Carcavi d'août 1659, qui est en quelque sorte son testament mathématique, selon Jean Itard : << Il n'y a qu'un seul carré en entiers qui, augmenté du binaire, fasse un cube. Le dit carré est 25 >>.

Mon idée est de résoudre cette équation en application du fait que l'anneau $ \Z[i\sqrt{2}]$ est factoriel, ce qui suit immédiatement de ce qu'il est euclidien. Sans doute, la question du nombre de classes est intéressante, mais moi je pense que devant un problème, le mieux est de trouver la solution la plus élémentaire.

Que cet anneau $\Z[i\sqrt{2}]$ soit euclidien, cela suit joliment d'une propriété de géométrie ... euclidienne, tiens donc, c'est que pour tout $z\in \C$, il existe $t\in \Z[i\sqrt{2}]$ tel que : $\left| z-t\right| \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$, demi-diagonale du rectangle de côtés $1$ et $\sqrt{2}$, qui est l'alvéole du réseau $\Z[i\sqrt{2}]$, et comme $\frac{\sqrt{3}}{2}<1$, c'est bon.

Alors, l'équation proposée $x^{3}=y^{2}+2$ s'écrit : $x^{3}=(y+i\sqrt{2})(y-i\sqrt{2})$, et comme les unités de l'anneau $ \Z[i\sqrt{2}]$ ne sont que $\pm 1$, il en résulte que ces facteurs $y+i\sqrt{2}$ et $y-i\sqrt{2}$ sont tous deux des cubes, moyennant qu'on ait prouvé qu'ils sont premiers entre eux. Et ainsi de suite ...

Tout ceci est faisable. Fermat l'avait-il entrevu ? Peut-être ... André Weil a tenté de reconstituer certains raisonnements de ces géniaux précurseurs, dans son bel ouvrage "Number Theory, an approach throuhgh history".

Dans la lettre à Carcavi que j'ai citée, Fermat ajoute : << Il n'y a que deux carrés en entiers, lesquels , augmentés de 4, fassent un cube. Les dits carrés sont ... >>.

Bonne soirée.
RC

La dénomination "équation de Bachet" pour les équations du type $x^2+k=y^3$ (avec $k>0$, $k \equiv 1,2 \pmod 4$ et $k = 3a^2 \pm 1$ avec $a$ entier) est bien connue des arithméticiens de théorie algébrique.

Raymond Cordier a écrit:

Tout ceci est faisable

Oui, tant que l'on reste avec des corps de petits degrés et discriminants. Mais dès que l'on s'aventure dans des zones (à peine) plus élevées, la machinerie usuelle de théorie algébrique devient indispensable.

Il m'a paru alors important de souligner les points essentiels dans la démarche de JLT...ne serait-ce qu'au cas où Clio serait tenté(e) de résoudre d'autres équations diophantiennes.

@ Duroc.
Il est vrai que, pris par les nécessités du travail, je me suis quelque peu détourné de la théorie des nombres depuis des années, à mon grand regret. Je suis très heureux de venir sur ce forum qui m'oblige à revoir ces domaines, mais il est sans doute un peu tard pour moi ...
Je ne connais pas l'oeuvre de Bachet de Méziriac, sinon "Problèmes plaisants & délectables, .." disponible ici : http://cnum.cnam.fr/DET/8PY45.html
(miracle de l'informatique).
Je ne saurais donc me prononcer sur la pertinence de cette appellation d'"équation de Bachet", qui de toutes façons est récente. "A bisto de nas", c'est plutôt Fermat qui l'aurait méritée, car c'est lui qui a posé et résolu ces ceux équations $x^2+2=y^3$ et $x^2+4=y^3$, comme j'ai dit. Notons qu'il y a déjà une équation de Fermat, c'est l'équation $x^{2}-ay^{2}=\pm 1$, à qui il faut retirer la dénomination indue "de Pell", comme je l'ai signalé par ailleurs.
Bachet donne l'image d'un personnage érudit en sciences et lettres, extrêmement sympathique comme repésentant du génie français, et cette appellation n'est pas choquante. Nous avons heureusement échappé à une attribution exotique fantaisiste du style "Al Kashi".
Mais si quelque savant historien des sciences nous expliquait ce qui dans l'oeuvre de Bachet justifie sérieusement cette dénomination, alors notre bonheur serait complet.
Bonne journée.
RC
..............................................................
Un problème de Bachet :
Un jour Bacchus ayant vu que Silène
Dormait profondément, prit sa coupe, et sans gêne,
Dans le cellier, à l'aise il s'attabla,
Près d'une amphore pleine
Où reposait un vieux vin, qu'avec peine
Son ami conservait pour des jours de gala.
Il but pendant le triple du dixième
Du temps qu'à boire seul Silène eût employé
Pour vider l'amphore elle-même ;
Mais Silène survient, et son chagrin extrême
Dans le reste du vin est aussitôt noyé.
Quand l'amphore fut vide,
Avec regret Bacchus vit que sa part
Du précieux liquide
N'avait été que tout juste le quart
De celle de Silène.
Si, tout d'abord, d'une commune haleine,
Chacun buvant à sa façon,
Ils s'étaient réunis, ils auraient mis, dit-on,
Huit quarts d'heure de moins pour épuiser l'amphore.
Comment l'a-t-on su ? Je l'ignore.
On veut, d'après cela, trouver exactement
Le temps que chacun d'eux eût mis séparément,
Si, buvant seul, de la même manière,
Il avait mis à sec l'amphore tout entière.

Il manque A-M Legendre dans la liste. Dans le tome 2 de sa Théorie des Nombres :

Bien. Si Bachet a énoncé cette propriété en 1621, alors la dénomination est correcte. C'est peut-être dans des notes complémentaires à sa traduction de l'Arithmétique de Diophante. J'aimerais savoir si cet ouvrage est disponible quelque part.
Toutefois, je reste convaincu que cette dénomination est récente, récente de combien, tout est relatif. Par exemple, dans le livre de Mordell, Diophantine Equations, Acad. Press, 1969, un chapitre est consacré à ces équations $x^2+k=y^3$. Mordell dit bien que la première énonciation de ce résultat date de Bachet en 1621, cela m'avait échappé. Mais il ne donne pas à cette équation cette dénomination.
Tout est bien qui finit bien. J'ai appris quelque chose.
Bonne journée.
RC

Raymond Cordier a écrit:

il doit y avoir pas mal d'autres mathématiciens à ajouter à cette liste. Ce serait intéressant de se mettre à leur recherche.

Pas évident d'établir une liste exhaustive, car on ne pourra jamais être sûr de l'avoir terminée sans se demander s'il n'y aurait pas d'autres "savants géomètres" qui se seraient essayés à ces équations.

Merci, bs...

Finalement, tout avait déjà été dit quelques années auparavant...

Voir aussi:

http://www.math.u-psud.fr/~perrin/Conferences/OlympiadeDP.pdf

Il y est exposé, entre autres, la méthode de Bachet.

Qui est ce type que tu cites ? Sûrement pas un mathématicien ! Lorsqu'on est à court d'arguments, on en vient souvent aux insultes : renseignements pris, Al Kashi savait que l'équation de Fermat n'avait pas de solution pour les exposants 3 et 4 et il a détenu le record de décimales de pi durant près de deux siècles et non pas un (comme je l'ai dit)...

Raymond Cordier a écrit:

ils étaient partis dans des histoires de divisibilité d'idéaux

Oui, car c'est le traitement moderne des équations diophantiennes.

Comme tu le dis toi-même, Kummer a inventé les {\it nombres idéaux} an mars 1847 (sauf erreur) pour restaurer la factorisation unique perdue dans {\it la plupart} (ou disons {\it beaucoup}) des ensembles de la forme $\mathbb{Z}[\theta]$ qui sont loin, comme je l'avais dit plus haut, d'être les anneaux des entiers de corps de nombres. Rappelons que la monogénéité d'un corps de nombres est quelque chose d'assez rare (cela a été quantifié entre autres par Györy en 1976 qui a utilisé les résultats de Baker sur les formes linéaires de logarithmes. Voir [1, pp. 396-397]).

Grâce à Kummer, on passe donc d'une équation aux entiers en une équations aux idéaux d'un corps de nombres, et l'on se retrouve ainsi avec tout le confort de $\mathbb{Z}$ (factorisation unique, idéaux étrangers et leur souplesse, etc) pour (tenter de) résoudre une équation diophantienne donnée.

Pour que ce confort puisse être réellement utilisé, il faut avoir à sa disposition les principaux invariants du corps de nombres dans lequel on travaille (essentiellement son groupe des classes d'idéaux et son groupe des unités). C'est un peu le maillon faible de la méthode car ces invariants sont en général extrêmement difficiles à déterminer.

En revanche, pour des corps de petits degrés, les méthodes algorithmiques actuelles sont très performantes (voir par exemple le logiciel PARI/GP) et calculent beaucoup de choses concernant ces corps de nombres ainsi que les invariants des courbes elliptiques (comme le rappelait cet intervenant nommé "Borde" dans le fil indiqué par bs qui manifestement naviguait sur les cas connus de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer pour déterminer si le nombre de points rationnels d'une courbe de Weil était fini).

Concernant cet exemple précis, le fait que $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ soit euclidien n'a aucun rôle pour la résolution de l'équation, c'est même utiliser un marteau-pillon pour écraser un acarien (et ce même s'il est vrai que démontrer son euclidiennité n'est pas compliqué ici). En d'autres termes, la méthode exposée par JLT ne peut (ou peut difficilement) se généraliser, même en restant à des degrés relativement petits.

D'autre part, je trouve que lorsque l'on résout ces équations diophantiennes, il me paraît important de bien comprendre les mécanismes qui sont en jeu. Ce n'est pas le fait que $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ soit euclidien qui compte, ni même qu'il soit principal. Il est suffisant de savoir que son nombre de classes ne divise pas le degré de l'équation, ce qui est une contrainte nettement plus souple.

Bref, mon intervention dans ce sujet était double :

1. Révéler la partie cachée dans la méthode de JLT, partie que l'on retrouve dans la plupart des méthodes de résolution des équations diophantiennes (voir le livre de Mordell puisque tu le possèdes).

2. Permettre de généraliser la méthode pour pouvoir l'appliquer à d'autres équations.

Les références utilisées sont les deux ouvrages suivants :

[1] {\bf O. Bordellès}, {\it Arithmetic Tales}, Universitext, Springer, 2012 (excellent ouvrage, je le conseille à tous ceux qui veulent s'investir en théorie des nombres, bien que la partie historique soit moins développée que la partie mathématique).

[2] {\bf R. A. Mollin}, {\it Algebraic Number Theory}, Chapman et Hall/CRC, 1999 (c'est un peu le contraire : il y a quelques défauts d'enchaînement dans la partie mathématique proprement dite, mais les nombreuses notes de bas de page renseignent bien la partie historique de cette théorie).

@ duroc:
L'intervenant nommé "Borde" n'est autre que l'auteur du livre que tu cites dans ta première référence.

Citation:

Que cet anneau $ \mathbb{Z}[i\sqrt{2}]$ soit euclidien, cela suit joliment d'une propriété de géométrie ... euclidienne, tiens donc, c'est que pour tout $ z\in \mathbb{C}$, il existe $ t\in \mathbb{Z}[i\sqrt{2}]$ tel que : $ \left\vert z-t\right\vert \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$, demi-diagonale du rectangle de côtés $ 1$ et $ \sqrt{2}$, qui est l'alvéole du réseau $ \mathbb{Z}[i\sqrt{2}]$, et comme $ \frac{\sqrt{3}}{2}<1$, c'est bon.

Voir aussi pour plus de généralités:

http://agreg.org/sujets/M89AD1E.PDF
(partie B2)

Bon, je viens encore de cacher des messages hors du sujet mathématique de cette discussion.
Il semble donc que tout ait été dit concernant la partie mathématique !
Je ferme donc.
AD