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26 = 5² + 1 = 3^3 - 1

Envoyé par Clio 
Clio
26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
Bonjour,

Comment montrer que 26 est le seul entier "coincé" entre un carré et un cube ?

Merci.
JLT
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
avatar
On écrit $a^2+2=b^3$.

1) $a$ et $b$ sont impairs.

2) $(a+i\sqrt{2})(a-i\sqrt{2})=b^3$.

3) $a+i\sqrt{2}$ est un cube dans $\Z[i\sqrt{2}]$.

4) Regarder la partie imaginaire de $a+i\sqrt{2}=(x+iy\sqrt{2})^3$.
duroc
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
L'équation résolue ici est une équation de Bachet.

La démarche proposée ci-dessus est OK, mais un peu rapide : en toute rigueur, il faut

1. supposer $a$ et $b$ premiers entre eux.

2. vérifier que $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ est bien l'anneau des entiers du corps quadratique $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ (ce qui est loin d'être toujours le cas), puis passer en l'équation aux idéaux.

3. calculer le nombre de classes de ce corps et vérifier qu'il n'est pas un multiple de $3$ : cela permet de passer de $\mathfrak{a}^3$ principal à $\mathfrak{a}$ principal via Bézout et Lagrange.

4. déterminer les unités de l'anneau des entiers de $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$.

5. conclure comme indiqué.
JLT
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
avatar
Euh, je n'ai effectivement pas détaillé toutes les étapes mais quand même,

- Pas la peine de supposer $a$ et $b$ premiers entre eux. Le seul point à faire attention est que $a$ est impair, ce qui permet de passer de mon étape 2 à mon étape 3.
- $\Z[i\sqrt{2}]$ est un anneau Euclidien, ses unités sont $\pm 1$ et ses unités sont des cubes.
Clio
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
Je vais chercher tout ça et je reviendrai vers vous.

Merci.
duroc
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
OK pour 1 (je ne l'avais pas vu).

Que $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ soit Euclidien ne joue aucun rôle, et il est plus simple de montrer que son nombre de classes vaut $1$ (des formules existent depuis bon nombre d'années pour le cas quadratique. Ou alors on peut montrer qu'il est principal directement "à la main").

Quant aux unités, c'est vrai mais ce n'est pas un résultat si évident que ça (voir par exemple exercice 8.1.9 de Esmonde et Murty, {\it Problems in Algebraic Number Theory}, Springer, 1999), et ce même si ici $\mathcal{O}_K^*$ est fini, puisque l'on est dans le cas quadratique imaginaire.

D'une façon générale, la recherche du nombre de classes et du groupe des unités d'un corps de nombres sont parmi les problèmes les plus difficiles de la théorie.
JLT
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
avatar
Dans le cas $A=\Z[i\sqrt{2}]$ c'est élémentaire. Si $a+ib\sqrt{2}$ est une unité alors $a^2+2b^2=1$ donc $b=0$ et $a=\pm 1$.

On montre de façon élémentaire que $A$ est Euclidien. On montre de façon élémentaire en utilisant le 1 que $a+ib\sqrt{2}$ et $a-ib\sqrt{2}$ sont premiers entre eux dans $A$, donc comme $A$ est Euclidien (donc factoriel), $a+ib\sqrt{2}$ est égal à $u\alpha^3$ où $\alpha\in A$ et $u$^est une unité. Quitte à remplacer $\alpha$ par $u\alpha$ et $u$ par $1$, on obtient que $a+ib\sqrt{2}$ est un cube dans $A$.
JLT
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
avatar
(Bon bien sûr tout dépend si on préfère une démarche la plus élémentaire possible ou si on préfère la plus générale possible.)
duroc
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
Citation
JLT
c'est élémentaire

Je n'ai jamais dit le contraire (et je connais ta demo, que l'on trouve dans pas mal d'exos de cpge), mais faut dire que le discriminant de ce corps est très petit ($-8$), ceci expliquant cela.

Ceci dit, la méthode, générale, doit pouvoir être appliquée dans n'importe quel cas (remplace $2$ par $5$ dans l'équation de départ, par exemple, ou, mieux, résout dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation $x^2+k=y^3$ avec $k>0$, $k \equiv 1,2 \pmod 4$ et $k = 3a^2 \pm 1$ avec $a$ entier).
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
Bonjour,

avant de risquer chercher inutilement une solution élémentaire, je voudrais savoir s'il existe des théorèmes d'où découle que ce problème ne saurait être résolu par la seule utilisation de congruences modulo des entiers naturels et du (!) théorème de Gauss.

Merci

Paul
duroc
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
Si j'ai bien compris, étant donnée une équation diophantienne générale, tu veux savoir s'il existe des outils, généraux eux-aussi, déterminant si l'équation est résoluble "élémentairement" (i.e. avec des théorèmes de base) ou non.

A ma connaissance, il n'existe pas de tels outils.
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
Non, non, pas du tout. Je parle uniquement de cette équation là.
duroc
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
Cette équation fait partie d'une famille d'équations diophantiennes appelées équations de Bachet. Ces équations sont traditionnellement fournies comme exemples d'application des outils classiques de théorie algébrique des nombres (rappelés plus haut).

Rien ne t'empêche de chercher à la résoudre avec les théorèmes de base, mais rien n'indique à l'avance que ces outils suffiront.
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
Merci Duroc.
Ta réponse entraîne ma nouvelle question: existe-t-il une équation diophantienne jusqu'ici non résolue dont on puisse affirmer qu'elle ne le sera jamais par les moyens élémentaires que j'ai dits?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par depasse.
duroc
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
Question pas simple (et on s'écarte un peu du sujet initial).

Prends par exemple l'équation $(x^2-1)(y^2-1)=(z^2-1)^2$. On a trouvé des solutions dans certains cas particuliers (par exemple lorsque $x-y=2z$, Schinzel et Sierpinski), mais on n'a pas résolu le cas général.

Cette équation est-elle soluble via des moyens de base ? Peut-être, mais c'est fort improbable, les spécialistes l'auraient déjà trouvée.

[Corrigé selon ton indication. AD]
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
avatar
Vu que l'équation $x^2+2-y^3=0$ a une solution réduire modulo un entier est peine perdue sans autre méthode.
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
avatar
D'abord, je ne vois pas pourquoi l'on dénommerait "équation de Bachet" cette équation $x^{3}=y^{2}+2$. Je connais ce type d'équation depuis des années, et pour tout vous raconter, c'est ce que j'ai proposé en développement lors de mon oral d'agrégation, il y a 35 ans. J'ai consulté bien des livres à ce sujet, et je n'ai rencontré nulle part pareille dénomination ... sauf il y a quelques instants sur le site Wolfram. Mystère ...

Malheureusement, je ne dispose pas des oeuvres de mes chers Bachet, sieur de Méziriac, et Pierre de Fermat, quoique j'aie pas mal fréquenté ces dernières, dans l'excellente édition Tannery (inutile de ragarder le charcutage de Rashed). Mais je crois pouvoir affirmer que l'équation $x^{3}=y^{2}+2$ provient d'une lettre de Fermat à Carcavi d'août 1659, qui est en quelque sorte son testament mathématique, selon Jean Itard : << Il n'y a qu'un seul carré en entiers qui, augmenté du binaire, fasse un cube. Le dit carré est 25 >>.

Mon idée est de résoudre cette équation en application du fait que l'anneau $ \Z[i\sqrt{2}]$ est factoriel, ce qui suit immédiatement de ce qu'il est euclidien. Sans doute, la question du nombre de classes est intéressante, mais moi je pense que devant un problème, le mieux est de trouver la solution la plus élémentaire.

Que cet anneau $\Z[i\sqrt{2}]$ soit euclidien, cela suit joliment d'une propriété de géométrie ... euclidienne, tiens donc, c'est que pour tout $z\in \C$, il existe $t\in \Z[i\sqrt{2}]$ tel que : $\left| z-t\right| \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$, demi-diagonale du rectangle de côtés $1$ et $\sqrt{2}$, qui est l'alvéole du réseau $\Z[i\sqrt{2}]$, et comme $\frac{\sqrt{3}}{2}<1$, c'est bon.

Alors, l'équation proposée $x^{3}=y^{2}+2$ s'écrit : $x^{3}=(y+i\sqrt{2})(y-i\sqrt{2})$, et comme les unités de l'anneau $ \Z[i\sqrt{2}]$ ne sont que $\pm 1$, il en résulte que ces facteurs $y+i\sqrt{2}$ et $y-i\sqrt{2}$ sont tous deux des cubes, moyennant qu'on ait prouvé qu'ils sont premiers entre eux. Et ainsi de suite ...

Tout ceci est faisable. Fermat l'avait-il entrevu ? Peut-être ... André Weil a tenté de reconstituer certains raisonnements de ces géniaux précurseurs, dans son bel ouvrage "Number Theory, an approach throuhgh history".

Dans la lettre à Carcavi que j'ai citée, Fermat ajoute : << Il n'y a que deux carrés en entiers, lesquels , augmentés de 4, fassent un cube. Les dits carrés sont ... >>.

Bonne soirée.
RC
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
avatar
Si Raymond n'a pas d'autre solution que celle déjà proposée alors c'est qu'il n'y en a pas :D
(ce n'est pas que de l'ironie)

PS:
J'aurais bien aimé une bonne vieille descente des familles ou un truc dont Fermat avait le secret smoking smiley

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Fin de partie.
duroc
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
La dénomination "équation de Bachet" pour les équations du type $x^2+k=y^3$ (avec $k>0$, $k \equiv 1,2 \pmod 4$ et $k = 3a^2 \pm 1$ avec $a$ entier) est bien connue des arithméticiens de théorie algébrique.

Citation
Raymond Cordier
Tout ceci est faisable

Oui, tant que l'on reste avec des corps de petits degrés et discriminants. Mais dès que l'on s'aventure dans des zones (à peine) plus élevées, la machinerie usuelle de théorie algébrique devient indispensable.

Il m'a paru alors important de souligner les points essentiels dans la démarche de JLT...ne serait-ce qu'au cas où Clio serait tenté(e) de résoudre d'autres équations diophantiennes.
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
avatar
$x^2+2$ est multiple de 3 sauf si x est multiple de 3.

En effet, $0^2+2 \equiv 2 \mod{3}$ , $1^2+2 \equiv 0 \mod{3}$,$2^2+2 \equiv 0 \mod{3}$

les cubes modulo 9 sont, sauf erreur: 0,1,8.

Un multiple de 3 est congru soit à 0, soit à 3, soit à 6 modulo 9

Mais:

$0^2+2,3^2+2,6^2+2$ sont tous congrus à 2 qui n'est pas un cube modulo 9.

Ainsi, cela montre que si $x^2+2=y^3$ a des solutions entières alors y est divisible par 3.

En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'énormités.
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
avatar
@ Duroc.
Il est vrai que, pris par les nécessités du travail, je me suis quelque peu détourné de la théorie des nombres depuis des années, à mon grand regret. Je suis très heureux de venir sur ce forum qui m'oblige à revoir ces domaines, mais il est sans doute un peu tard pour moi ...
Je ne connais pas l'oeuvre de Bachet de Méziriac, sinon "Problèmes plaisants & délectables, .." disponible ici : [cnum.cnam.fr]
(miracle de l'informatique).
Je ne saurais donc me prononcer sur la pertinence de cette appellation d'"équation de Bachet", qui de toutes façons est récente. "A bisto de nas", c'est plutôt Fermat qui l'aurait méritée, car c'est lui qui a posé et résolu ces ceux équations $x^2+2=y^3$ et $x^2+4=y^3$, comme j'ai dit. Notons qu'il y a déjà une équation de Fermat, c'est l'équation $x^{2}-ay^{2}=\pm 1$, à qui il faut retirer la dénomination indue "de Pell", comme je l'ai signalé par ailleurs.
Bachet donne l'image d'un personnage érudit en sciences et lettres, extrêmement sympathique comme repésentant du génie français, et cette appellation n'est pas choquante. Nous avons heureusement échappé à une attribution exotique fantaisiste du style "Al Kashi".
Mais si quelque savant historien des sciences nous expliquait ce qui dans l'oeuvre de Bachet justifie sérieusement cette dénomination, alors notre bonheur serait complet.
Bonne journée.
RC
..............................................................
Un problème de Bachet :
Un jour Bacchus ayant vu que Silène
Dormait profondément, prit sa coupe, et sans gêne,
Dans le cellier, à l'aise il s'attabla,
Près d'une amphore pleine
Où reposait un vieux vin, qu'avec peine
Son ami conservait pour des jours de gala.
Il but pendant le triple du dixième
Du temps qu'à boire seul Silène eût employé
Pour vider l'amphore elle-même ;
Mais Silène survient, et son chagrin extrême
Dans le reste du vin est aussitôt noyé.
Quand l'amphore fut vide,
Avec regret Bacchus vit que sa part
Du précieux liquide
N'avait été que tout juste le quart
De celle de Silène.
Si, tout d'abord, d'une commune haleine,
Chacun buvant à sa façon,
Ils s'étaient réunis, ils auraient mis, dit-on,
Huit quarts d'heure de moins pour épuiser l'amphore.
Comment l'a-t-on su ? Je l'ignore.
On veut, d'après cela, trouver exactement
Le temps que chacun d'eux eût mis séparément,
Si, buvant seul, de la même manière,
Il avait mis à sec l'amphore tout entière.
duroc
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
J'ignore si Claude Gasper Bachet de Méziriac (1851 - 1638) fut le premier à s'être penché sur ces équations, mais ce que je sais c'est que :

1. En arithmétique (comme d'ailleurs dans d'autres branches), on ne donne pas nécessairement à une équation le nom du premier mathématicien à avoir obtenu un résultat dessus (et je suis d'accord pour dire que appellation "Pell-Fermat" est erronée)

2. En 1621, Bachet a énoncé que, lorsque $k=-2$, la seule solution positive est le couple $(5,3)$.

En 1869, V. A. Lebesgue a montré que, lorsque $k=-7$, il n'y a aucune solution.

En 1878, Ernest Jean Philippe Fauque de Jonquières (Amiral, ex de l'école navale de Brest) a généralisé le résultat de Lebesgue en montrant que les équations de Bachet n'ont pas de solutions lorsque $k=1-8h^3$ avec $h$ entier impair.

EN 1881, T. Pepin montre que, si $k=\ell^3-8h^3$ avec $h$ comme ci-dessus et $\ell$ impair non divisible par un nombre premier $p \equiv 3 \pmod 4$, alors il n'y a aucune solution.

A propos, on raconte que le livre de Bachet (sur des puzzles anciens) que tu cites a eu tellement de succès qu'une seconde édition fut mise en vente dès 1624. Il a marqué le début des livres dits de "récréation mathématiques". Il a en particulier découvert une méthode de construction des carrés magiques. Il a aussi traduit en latin le texte {\it Arithmetica} du grec Diophante. Une copie de cette traduction fut entre les mains de Fermat dans laquelle il a noté sa fameuse phrase "J'ai une preuve merveilleuse, mais la marge est trop petite" à propos du GTF.
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
avatar
Il manque A-M Legendre dans la liste. Dans le tome 2 de sa Théorie des Nombres :


[attachment 26866 Capture.PNG]



duroc
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
Citation
Cidrolin
Il manque A-M Legendre dans la liste

C'est vrai, d'autant que c'est un Français et RC va me trucider...

Mais cette liste n'est pas exhaustive, et je ne suis pas un historien des mathématiques.
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
avatar
Bien. Si Bachet a énoncé cette propriété en 1621, alors la dénomination est correcte. C'est peut-être dans des notes complémentaires à sa traduction de l'Arithmétique de Diophante. J'aimerais savoir si cet ouvrage est disponible quelque part.
Toutefois, je reste convaincu que cette dénomination est récente, récente de combien, tout est relatif. Par exemple, dans le livre de Mordell, Diophantine Equations, Acad. Press, 1969, un chapitre est consacré à ces équations $x^2+k=y^3$. Mordell dit bien que la première énonciation de ce résultat date de Bachet en 1621, cela m'avait échappé. Mais il ne donne pas à cette équation cette dénomination.
Tout est bien qui finit bien. J'ai appris quelque chose.
Bonne journée.
RC
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
avatar
@ Duroc
Non seulement Legendre est français, mais c'est un de mes mathématiciens favoris, dont j'ai beaucoup étudié l'oeuvre. J'avais fait un exposé à ce sujet en 1984 au défunt séminaire Loi-Thom à l'ENS. Il est étrange que son oeuvre n'ait pas été publiée en Oeuvre Complète.
Mais je ne veux trucider personne ... :) Les gens comme moi sont plus souvent agressés qu'agresseurs.
A mon avis, il doit y avoir pas mal d'autres mathématiciens à ajouter à cette liste. Ce serait intéressant de se mettre à leur recherche. En tout cas, pour un non-historien, tu as pas mal de références déjà. J'ai cherché dans la Bible de l'histoire de l'arithmétique, le Dickson, et je n'ai rien trouvé - peut-être ai-je mal cherché.
Je vais voir si je trouve quelque chose de plus.
Bien cordialement,
RC
duroc
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
Citation
Raymond Cordier
il doit y avoir pas mal d'autres mathématiciens à ajouter à cette liste. Ce serait intéressant de se mettre à leur recherche.

Pas évident d'établir une liste exhaustive, car on ne pourra jamais être sûr de l'avoir terminée sans se demander s'il n'y aurait pas d'autres "savants géomètres" qui se seraient essayés à ces équations.
bs
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
avatar
duroc
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
Merci, bs...

Finalement, tout avait déjà été dit quelques années auparavant...
Henri57
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
RC, commence par rayer de ta carte la philosophie de Pascal et les poèmes de Jean de Lafonaine, car ils sont bien antérieurs à leurs auteurs et appartiennent à Al Ghazali et Kalila et Dimna (entre autres milliers d'exemples) avant de retirer de la liste des grands mathématiciens Al Kashi qui connaissait le théorème de Fermat (théorème d'Al Kashi, selon ta logique) pour l'exposant 3 (et tu ne peux infirmer, car tu ne connais pas l'arabe pour lire ce génie à la souce, génie qui a détenu le record de décimales de pi pendant près d'un siècle) !
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
avatar
Voir aussi:

[www.math.u-psud.fr]

Il y est exposé, entre autres, la méthode de Bachet.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
avatar
@ duroc
"Tout avait été dit", pas vraiment, apparemment ils étaient partis dans des histoires de divisibilité d'idéaux. Or les idéaux ont été inventés par Kummer pour les anneaux dans lesquels il n'y a pas de factorisation unique. Dans le cas présent, on travaille dans l'anneau euclidien Z[rac(-2)] qui est euclidien, donc principal, et l'on peut traiter tout cela sans parler d'idéal.
J'aimerais savoir comment tu as trouvé tes références. Je suis en train d'en rassembler, je donnerai prochainement le fruit de mes recherches.
Bonne soirée.
RC



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Raymond Cordier.
henri57
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
Qui est ce type que tu cites ? Sûrement pas un mathématicien ! Lorsqu'on est à court d'arguments, on en vient souvent aux insultes : renseignements pris, Al Kashi savait que l'équation de Fermat n'avait pas de solution pour les exposants 3 et 4 et il a détenu le record de décimales de pi durant près de deux siècles et non pas un (comme je l'ai dit)...
henri57
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
Voici un sur Al Kashi : *
[kuartin.math.pagesperso-orange.fr]
et, par la même occasion, on devrait rebaptiser le triangle de Pascal en triangle de Khayam ! Cessons ces bêtises : si ces théorèmes portent ces noms, il y a forcément une raison et je clos ce débat !
duroc
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
Citation
Raymond Cordier
ils étaient partis dans des histoires de divisibilité d'idéaux

Oui, car c'est le traitement moderne des équations diophantiennes.

Comme tu le dis toi-même, Kummer a inventé les {\it nombres idéaux} an mars 1847 (sauf erreur) pour restaurer la factorisation unique perdue dans {\it la plupart} (ou disons {\it beaucoup}) des ensembles de la forme $\mathbb{Z}[\theta]$ qui sont loin, comme je l'avais dit plus haut, d'être les anneaux des entiers de corps de nombres. Rappelons que la monogénéité d'un corps de nombres est quelque chose d'assez rare (cela a été quantifié entre autres par Györy en 1976 qui a utilisé les résultats de Baker sur les formes linéaires de logarithmes. Voir [1, pp. 396-397]).

Grâce à Kummer, on passe donc d'une équation aux entiers en une équations aux idéaux d'un corps de nombres, et l'on se retrouve ainsi avec tout le confort de $\mathbb{Z}$ (factorisation unique, idéaux étrangers et leur souplesse, etc) pour (tenter de) résoudre une équation diophantienne donnée.

Pour que ce confort puisse être réellement utilisé, il faut avoir à sa disposition les principaux invariants du corps de nombres dans lequel on travaille (essentiellement son groupe des classes d'idéaux et son groupe des unités). C'est un peu le maillon faible de la méthode car ces invariants sont en général extrêmement difficiles à déterminer.

En revanche, pour des corps de petits degrés, les méthodes algorithmiques actuelles sont très performantes (voir par exemple le logiciel PARI/GP) et calculent beaucoup de choses concernant ces corps de nombres ainsi que les invariants des courbes elliptiques (comme le rappelait cet intervenant nommé "Borde" dans le fil indiqué par bs qui manifestement naviguait sur les cas connus de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer pour déterminer si le nombre de points rationnels d'une courbe de Weil était fini).

Concernant cet exemple précis, le fait que $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ soit euclidien n'a aucun rôle pour la résolution de l'équation, c'est même utiliser un marteau-pillon pour écraser un acarien (et ce même s'il est vrai que démontrer son euclidiennité n'est pas compliqué ici). En d'autres termes, la méthode exposée par JLT ne peut (ou peut difficilement) se généraliser, même en restant à des degrés relativement petits.

D'autre part, je trouve que lorsque l'on résout ces équations diophantiennes, il me paraît important de bien comprendre les mécanismes qui sont en jeu. Ce n'est pas le fait que $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ soit euclidien qui compte, ni même qu'il soit principal. Il est suffisant de savoir que son nombre de classes ne divise pas le degré de l'équation, ce qui est une contrainte nettement plus souple.

Bref, mon intervention dans ce sujet était double :

1. Révéler la partie cachée dans la méthode de JLT, partie que l'on retrouve dans la plupart des méthodes de résolution des équations diophantiennes (voir le livre de Mordell puisque tu le possèdes).

2. Permettre de généraliser la méthode pour pouvoir l'appliquer à d'autres équations.

Les références utilisées sont les deux ouvrages suivants :

[1] {\bf O. Bordellès}, {\it Arithmetic Tales}, Universitext, Springer, 2012 (excellent ouvrage, je le conseille à tous ceux qui veulent s'investir en théorie des nombres, bien que la partie historique soit moins développée que la partie mathématique).

[2] {\bf R. A. Mollin}, {\it Algebraic Number Theory}, Chapman et Hall/CRC, 1999 (c'est un peu le contraire : il y a quelques défauts d'enchaînement dans la partie mathématique proprement dite, mais les nombreuses notes de bas de page renseignent bien la partie historique de cette théorie).
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
avatar
Bien, je retire ma méchante remarque, et je l'efface même si nécessaire. Il n'était pas correct de substituer l'invective à la discussion. L'approche du tiers provisionnel me porte sur les nerfs.
J'aime beaucoup Omar Khayyam, surtout ses quatrains irrévérenceux et sceptiques, mais Pascal est un immense génie qui a été le premier à explorer et démontrer les propriétés du triangle arithmétique qui porte légitimenment son nom.
Pour La Fontaine, c'est plutôt vers Esope qu'il faut chercher les sources, ce qui n'enlève rien au génie de ce fabuliste (fables et non poèmes ...) qui les a mises en vers modernes d'une façon si brillante qu'elles s'imposent encore de nos jours.
D'une façon générale, c'est dans la Grèce antique qu'il faut chercher l'origine principale de nos richesses culturelles, qui ont permis l'essor non pareil de notre civilisation.
Bonne journée.
RC
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
@ duroc:
L'intervenant nommé "Borde" n'est autre que l'auteur du livre que tu cites dans ta première référence.
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
avatar
@ duroc
C'est un vrai plaisir de lire quelqu'un qui connaît son sujet. J'ai beaucoup aimé naguère la Théorie des Nombres, j'ai fait un DEA là-dessus : nombres de Pisot, fonctions L-p-adiques, histoire de la Loi de Réciprocité Quadratique, mais c'était il y a longtemps et les nombreux livres de ma bibliothèque dans ce domaine se font sans doute trop vieux.

Par la suite, je me suis détourné de cette discipline pourtant si attachante, pour me consacrer davantage à des sujets en rapport avec mon enseignement. C'est pourquoi j'ai été surpris de la dénomination "équation de Bachet", absente des nombreux ouvrages de Théorie des Nombres que j'ai. Mais comme j'ai dit, elle me satisfait - et de toutes façons on ne me demande pas mon avis :).

Dans ce fil, je ne m'intéressais qu'à l'équation posée : x^2+2=y^3, à quoi l'on peut ajouter : x^2+4=y^3, qui pour moi viennent de Fermat. En plus de la lettre à Carcavi dont j'ai parlé, il y a aussi une lettre à Digby du 15 août 1657 :
<< Je lui avais écrit [à Frenicle] qu'il n'y a qu'un seul quarré en entiers qui, joint au binaire fasse un cube, et que le dit quarré est 25, auquel si vous ajoutez 2, il se fait 27, qui est un cube. Il a peine à croire cette proposition négative et la trouve trop hardie et trop générale. Mais pour augmenter son étonnement, je dis que, si on cherche un quarré qui, ajouté à 4, fasse un cube, il ne s'en trouvera que deux en nombres entiers [...]. Mais après cela, toute l'infinité des nombres n'en saurait fournir un troisième qui a la même propriété >>.
Et ces équations en entiers se résolvent bien avec le cactère euclidien, donc principal, donc factoriel, des anneaux en question. Ce qui bien sûr ne se généralise pas, car le nombre d'anneaux euclidiens analogues est restreint.

D'après ce que j'ai compris, Bachet aurait trouvé le procédé pour engendrer des solutions rationnelles à partir d'une d'elles, alors que Fermat s'est plutôt intéressé aus solutions entières, ce qui constirue deux problèmes distincts. Cela m'intéresserait beaucoup de voir la traduction de Diophante par Bachet. Je ne suis pas un bon latiniste, mais en math cela devrait aller.

J'ai retrouvé de nombreuses références dans Dickson, History of the theory of numbers, vol. II, chap. XX, 1920, réimpression Chelsea, 1971, et dans des ouvrages et articles de Baker, Cassels, Mordell, et d'autres traités (LeVeque, Sierpinsky, Uspensky-Heaslet). Que du vieux sad smiley

Je ne connais pas les livres que tu cites, il faudra que j'aille à Jussieu voir s'ils sont disponibles. Un universitaire peut faire acheter par son département un ouvrage dont il a besoin, et c'est bien normal, mais pour moi, retraité, ils sont un peu chers, et je ne sais plus où les mettre.

Bonne journée.
RC
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
avatar
Citation:

Que cet anneau $ \mathbb{Z}[i\sqrt{2}]$ soit euclidien, cela suit joliment d'une propriété de géométrie ... euclidienne, tiens donc, c'est que pour tout $ z\in \mathbb{C}$, il existe $ t\in \mathbb{Z}[i\sqrt{2}]$ tel que : $ \left\vert z-t\right\vert \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$, demi-diagonale du rectangle de côtés $ 1$ et $ \sqrt{2}$, qui est l'alvéole du réseau $ \mathbb{Z}[i\sqrt{2}]$, et comme $ \frac{\sqrt{3}}{2}<1$, c'est bon.

Voir aussi pour plus de généralités:

[agreg.org]
(partie B2)
AD
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
avatar
Je viens de cacher un certain nombre de messages sans rapport avec le contenu mathématique que doit conserver cette discussion.
AD
AD
Re: 26 = 5² + 1 = 3^3 - 1
il y a six années
avatar
Bon, je viens encore de cacher des messages hors du sujet mathématique de cette discussion.
Il semble donc que tout ait été dit concernant la partie mathématique !
Je ferme donc.
AD
Désolé,vous ne pouvez pas répondre à cette discussion, elle est fermée.
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