Enigmes
dans Arithmétique
Bonsoir, je voudrais de l'aide pour ces petits problèmes et énigmes :
1/ Quel est le plus grand produit de deux facteurs que l'on peut faire en utilisant une fois et une seule les chiffres 1, 2, 3, ... 9 pour former ces nombres ?
==> Pour moi c'est 9*9=81 mais je ne vois pas comment bien le rédiger et le justifier
2/ Six copains se rencontrent et se serrent une main.
Combien de poignée de mains se donnent-ils ?
==> Chacun des 6 va serrer 5 mains donc il y a 6*5=30 poignées de mains ?
Merci d'avance
1/ Quel est le plus grand produit de deux facteurs que l'on peut faire en utilisant une fois et une seule les chiffres 1, 2, 3, ... 9 pour former ces nombres ?
==> Pour moi c'est 9*9=81 mais je ne vois pas comment bien le rédiger et le justifier
2/ Six copains se rencontrent et se serrent une main.
Combien de poignée de mains se donnent-ils ?
==> Chacun des 6 va serrer 5 mains donc il y a 6*5=30 poignées de mains ?
Merci d'avance
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Réponses
1) Ce sont des produits du type 987 x 654321 ou 7123 x 45689 ou . . .
2) Attention la poignée de mains entre Mouloud et Eudes est comptée deux fois
1) Dans 9*9 tu utilises le 9 deux fois ...
2) Si Sébastien serre la main à Maurice, Maurice ne re-serre pas la main de Sébastien.
pour le 2), je divise alors par 2? pour ne pas compter deux fois la même poignée de mains?
Regarde les propositions de Cidrolin, et fais d'autres essais.
Pour la question 2, tu peux aussi faire un schéma pour te convaincre de la justese de ton résultat:
place les 6 copains à peu près en hexagone, puis dessine les poignées de main...
J'ai utilisé tous les chiffres mais je serai, aussi tenté par 9876 * 54321
Pour la 2), je vais tracer cet haxagone et essayer de trouver les 15 poignées
Fais d'autres essais por améliorer ton score.
Calculatrice autorisée !
Pour obtenir le produit le plus élevé, avec deux chiffres, on a 9*8 (et pas 9*9 car on ne doit utiliser chaque chiffre qu'une seule fois).
C'est bien sûr une bonne idéee de prendre des nombres dont le contenu est dégressif (le plus grand chiffre au début, le plus petit à la fin).
Mais l'essai avec deux chiffres seulement devrait inciter à choisir un nombre qui commence par 9, et l'autre nombre par 8.
Et probablement aussi pour les suivants : 975.. et 864...
Ce n'est qu'une piste et non une affirmation inconditionnelle.
Bonne soirée.
Je ne le ferai plus.
Et encore une fois, je n'affirme pas qu'il s'agisse de la solution.
Il reste d'ailleurs à déterminer combien chaque nombre doit comporter de chiffres.
Je ne sais pas quel est le meilleur score.
collège va peut être nous le dire!
Et on attend la solution dans un suspens insoutenable...
Une autre stratégie:
Si on choisit n chiffres parmi les 9 , il va rester 9-n chiffres et on sait comment optimiser le produit d'un nombre de n chiffres choisi par un nombre composé à partir des chiffres restants.
On a besoin d'examiner les cas où n=1,2,3,4 seulement
(on peut se convaincre facilement que les cas n=1,2 peuvent être écartés. )
Cela n'est peut-être pas si facile. Je dis ça parce que je remarque que le plus grand produit obtenu dans le cas n=2 est plus grand qu'avec n=3 ...
à moins que j'ai fait une erreur.
Je me suis peut-être avancé un peu vite en effet.
La méthode est donnée, on peut maintenant bourriner pour trouver la réponse.
(j'essaie de mettre un programme en Pari au point)
Ex 1: Un exercice intéressant pour un devoir de maison: dès lors que collégien a compris l'énoncé, il pourra se livrer à un bricolage assez formateur jusqu'à l'optimisation du score.
Il suffit de voir le succès de ce petit problème sur notre forum.
Par la suite, la stratégie gagnante pourra être analysée...
Six ans déjà...
Amicalement.
Pour ta première question le mieux a faire (a mon avis en tous cas) c'est de procéder de la sorte:
Tu dois utiliser 9 chiffres en deux facteurs sans utiliser le même chiffre une deuxième fois, donc tu dois pouvoir trouver deux nombres (les plus grands possibles) , moi jprendrais par exemple
97531 x 8642 (J'ai commencé par poser 9 d'un coté , 8 de l'autre ainsi de suite jusqu’à ske j'ai épuisé mes nombres )
Pour ta deuxième question c'est 15 , tu dessine les copains en forme de d'hexagone (chaque personne est représenté comme un point :-D)
tu aura alors : la première personne salut 5 personne
la deuxième salut 4personne (car el a dja été salué par la première personne)
La troisième salut 3 personnes
La quatrième salut 2personnes
La cinqième salut une personne
et la sixième a déja été salué par tous le monde
en total tu aura 15.
Bon en tous cas si ta envi de plus dexos ou de cours bien fait , va sur http://www.kiffelesmaths.com/ il est juste excellent ;-)
Ce n'est pas la bonne réponse.
une recherche exhaustive confirme (pas mal comme exo de code) 9642*87531=843973902
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,336945,336952#msg-336952
Voici une justification:
Soient A et B deux entiers écrits avec les 9 chiffres non nuls.
a) Remarque (évidente?)
Si les écritures décimales de A et B ne présentent pas deux suites de chiffres décroissantes, le produit AB n'est pas maximal: on pourra l'augmenter en corrigeant l'odre des deux suites par permutations.
b) Pour composer les nombres A et B à partir des 9 chiffres, on passera donc en revue les chiffres en ordre décroissant. Voici un algorithme :
i) let A=0 ; B=0 c=9
ii) if B>A , (10A+c)B >A(10B+c) : let A=10A+c
iii) else let B=10B+c
iii) c=c-1
iv) if c>0 goto ii)
v) End
Cette justification est-elle tout à fait suffisante?
Je ne pense pas qu'il faille en, attendre autant d'un collégien.
A ce niveau, on peut espérer que quelques élèves soient motivés par le challenge.
En revanche, il serait bon que le prof ait réfléchi à une hjustification...
Amicalement. jacquot
Trouver le plus grand des produits qu'on puisse écrire en utilisant tous les chiffres de 1 à 9 une fois et seulement une fois. Le produit doit comporter au moins deux facteurs.
Par exemple:
1324 x 7x 5689 et 87x165x43x2 sont des produits admissibles.
8x123456789 et 123x456x7 ne sont pas admissibles
Je n'ai pas vraiment réfléchi à la question profondément.
Je sais qu'il existe des cas qu'on peut éliminer comme:
1x2x3x4x5x6x7x8x9 qui est bien inférieur au produit déjà connu.
On doit pouvoir en éliminer d'autres aisément mais je ne sais pas si on se retrouve à se ramener au produit de seulement deux nombres. Si c'est le cas, c'est une autre façon de poser la question